Appunti di teoria e guide - esercizi Analisi 1

Assiomi di campo

Addizione

Assioma di esistenza dell'elemento neutro additivo

Indica l’esistenza di un elemento il quale sommato a qualsiasi x, non altera la quantità iniziale. Inoltre, tale elemento neutro gode di unicità.

Teorema di unicità dell'elemento neutro additivo

Siano a, b ∈ ℝ. Se si verifica che:

• ∀ x ∈ ℝ, a + x = x + a = x;
• ∀ x ∈ ℝ, b + x = x + b = x;

Allora ne segue che a = b.

Dimostrazione

Dalla prima ipotesi ponendo [x = b], ne segue che [a + b = b]. Dalla seconda ipotesi ponendo [x = a], ne segue che [a + b = a], concludendo che [a = b].

Assioma di esistenza dell'elemento inverso additivo

L’inverso additivo [opposto] è quell’unico elemento tale che soddisfi x + (-x) = (-x) + x = 0. L'elemento inverso di x è indicato con -x.

Prodotto

Assioma di esistenza dell'elemento neutro moltiplicativo

Indica l’esistenza di un elemento il quale moltiplicato per qualsiasi x, non altera la quantità iniziale. Inoltre, tale elemento neutro gode di unicità.

Teorema dell'unicità dell'elemento neutro moltiplicativo

Siano a, b ∈ ℝ. Se si verifica che:

• ∀ x ∈ ℝ, a ∙ x = x ∙ a = x;
• ∀ x ∈ ℝ, b ∙ x = x ∙ b = x;

Allora ne segue che a = b.

Dimostrazione

Dalla prima ipotesi ponendo [x = b], ne segue che [a ∙ b = b]. Dalla seconda ipotesi ponendo [x = a], ne segue che [a ∙ b = a], concludendo che [a = b].

L’unico elemento neutro moltiplicativo è indicato con 1.

Assioma di esistenza dell'elemento inverso moltiplicativo

L’inverso moltiplicativo [o reciproco] di x è l’unico elemento tale che soddisfi Tale elemento ∈ ℝ ∙ x = x ∙ = 1.

Insiemi numerici

Definizione di ℝ

ℝ = ℚ∪ℂ. È l’insieme dei numeri razionali e irrazionali. Include tutti i positivi e negativi, incluso lo zero. Gli unici elementi esclusi sono le radici ad indice pari di numeri negativi. Gode delle seguenti proprietà:

• Corrispondenza biunivoca tra i suoi elementi e la retta reale; Ne segue che è un insieme ordinato.
• È un insieme infinito e non numerabile.
• Addizione, sottrazione e prodotto sono operazioni interne; ogni operazione tra reali restituisce un reale.
• Godono di: Proprietà commutativa, associativa e distributiva.
• Divisione ed estrazione di radice non sono operazioni interne poiché in alcuni casi il risultato non appartiene ai reali bensì ai complessi [come nel caso delle radici pari di reali negativi].
• Gli elementi 0 ed 1 sono elementi neutri rispetto alla somma ed al prodotto.
• L’insieme può essere definito come campo.
• È un insieme denso e completo.
• Lo si può definire spazio vettoriale di dimensione 1 con le usuali operazioni di somma e prodotto.

Densità di ℚ in ℝ

Siano [x, y] due reali tali che [x < y]. Allora esiste q tale che [x < q < y]. Ciò comporta caratteristiche interessanti:

• Ogni elemento di ℚ è un suo punto di accumulazione. I razionali attorno ad 1 si avvicinano infinitamente ad 1 ma non arriveranno mai a “toccare” 1. Ne segue che è un insieme non discreto ma comunque numerabile!
• È quindi privo di punti isolati.
• L’insieme di tutti e soli i punti di accumulazione di ℚ è ℝ.
• Tutti i suoi punti sono punti di frontiera, quindi è privo di punti interni ed esterni.

Inclusione di ℚ in un campo ordinato

Essendo un naturale sottoinsieme del campo dei reali, ne eredita le caratteristiche quindi anche la proprietà di ordinamento degli elementi.

Assioma di completezza

Dati A e B due insiemi non vuoti di numeri reali. Se per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B vale che a ≤ b, l’assioma assicura l’esistenza di un numero reale c che verifica [a ≤ c ≤ b] ∀ a ∈ A, b ∈ B.

Esistenza della radice in campo ordinato e completo

La radice quadrata esiste in ℝ solo se applicata a numeri positivi, altrimenti ricade all’interno dell’insieme dei numeri complessi.

Maggiorante e minorante

Un insieme è limitato superiormente se esiste un elemento M tale che per ogni x ∈ A, x ≤ M.

Un insieme è limitato inferiormente se esiste un elemento m tale che per ogni x ∈ A, x ≥ m.

Estremo superiore ed inferiore

• Un maggiorante dell’insieme A è detto estremo superiore sup(A) se ogni altro maggiorante Z di A è maggiore o uguale ad esso.
• Un minorante dell’insieme A è detto estremo inferiore inf(A) se ogni altro minorante z di A è maggiore o uguale ad esso.

Campo dei numeri complessi ℂ

Indica l’insieme dei numeri rappresentato nella forma [a + bi], a, b ∈ ℝ. È chiaro che l’insieme dei reali a questo punto sia un sottoinsieme proprio del campo complesso, in quanto un numero complesso a parte immaginaria nulla è un reale. Per la loro rappresentazione viene usato il piano di Gauss, che permette di rappresentare i numeri con la corrispondenza con componente immaginaria sull’asse y. (a, b) = (Re(a), Im(b))

Elemento neutro

• Somma: (0,0) coincidente con l’origine del piano complesso.
• Prodotto: (1,0).

Elemento opposto

Coincide con il simmetrico rispetto all’origine, cioè il coniugato: z̅ = (a, -b).

Impossibilità di risolvere in campo ordinato l'equazione x² = -1

Si può notare come l’estrazione della radice quadrata di (-1) comporti qualche problema se si volesse trovare una soluzione nell’insieme dei reali. Questo problema è dovuto al fatto che l’estrazione di radice ennesima non è un’operazione interna all’insieme dei reali, questo perché in molti casi il risultato non è rappresentabile propriamente nell’insieme in questione. Inoltre, come si evince dal teorema fondamentale dell’algebra, non è detto che un polinomio a coefficienti reali di grado n ≥ 2 abbia esattamente n radici reali.

Aritmetica modulare ℤ

Gli interi modulo n

Sistema di aritmetica in cui i numeri si avvalgono su se stessi ogni volta che raggiungono il valore n, detto modulo. Inoltre, è basata sul concetto di congruenza modulo n, una particolare relazione di equivalenza tra interi.

Congruenze e proprietà

• Simmetria: se a ≡ b (mod n) allora b ≡ a (mod n);
• Transitività: se a ≡ b (mod n) e b ≡ c (mod n) allora a ≡ c (mod n);
• Invarianza all’addizione: sommando una quantità uguale a due numeri congruenti tra loro, i nuovi numeri così ottenuti saranno di nuovo congruenti con modulo n;
• Invarianza per moltiplicazione: vale la regola dell’addizione;
• Invarianza all’elevamento a potenza: vale di nuovo la regola dell’addizione.

Classi resto modulo n

Le classi resto raggruppano elementi che hanno stesso resto rispetto alla divisione per un certo modulo, cioè rappresentano oltre ad r stesso, tutti gli interi tali che esistono per qualche intero k: [a = n ∙ k + r].

Aritmetica delle congruenze modulo n

Le invarianze denotano che le operazioni sono ben definite [cioè il risultato rientra nell’insieme di appartenenza dei fattori iniziali], e rispettano le proprietà commutative, associative e distributive. Gli elementi neutri sono rispettivamente le classi [0] ed [1] per addizione e moltiplicazione.

Definizione di campo

Struttura algebrica composta da un insieme non vuoto K e da due operazioni binarie interne di somma e prodotto, le quali seguono le usuali proprietà già note. [esempi: campo complesso, razionale, reale] ℂ, ℚ, ℝ [Nota: ℤ non è un campo perché i soli elementi ad avere inverso moltiplicativo sono ±1].

Inoltre, K è campo se valgono le proprietà:

• (a+b)+c = a+(b+c);
• a+b = b+a;
• 0+a = a+0 = a;
• Per ogni a esiste (-a) tale che (-a+a) = 0;
• (a∙b)∙c = a∙(b∙c);
• a∙b = b∙a;
• 1∙a = a∙1 = a;
• Esiste un elemento b tale che ∀ a ≠ 0, a∙b = b∙a = 1;
• Moltiplicazione distributiva rispetto all’addizione.

È un campo mentre ℤ non lo è

ℚ è un campo, mentre ℤ non lo è. Perché l’insieme delle classi resto modulo p con le operazioni di somma e prodotto forma un campo se e solo se p è numero primo.

Leggi di cancellazione

Si basano sul principio che se a quantità uguali si aggiungono o si tolgono quantità uguali, si ottengono quantità uguali. Nello specifico, valgono le relazioni:

• Diretta: a + x = b + x allora a = b.
• Inversa: a - x = b - x allora a = b.
• Diretta: a∙x = b∙x allora a = b.
• Inversa: a / x = b / x allora a = b.

Legge di annullamento del prodotto

Se due reali moltiplicati tra loro danno prodotto zero, allora almeno uno dei due è zero.

Il campo dei razionali ℚ

ℚ: Comprende tutti i numeri preceduti da segno + o – ed esprimibili attraverso una frazione, il quale unico elemento di segno nullo è lo zero. Le operazioni di addizione, sottrazione, prodotto e divisione sono interne, cioè forniscono risultati appartenenti di nuovo all’insieme di partenza. Inoltre, dato che in ℚ le operazioni godono di commutatività ed associatività con esistenza di elemento neutro ed inverso per entrambe, allora l’insieme è un campo. (ℚ, +,∙)

Assiomi d'ordine

Ogni coppia di elementi verifica una o entrambe delle relazioni [x ≤ y, [x ≥ y] con le proprietà:

• Se x ≤ y e y ≤ x, ne segue che x = y;
• Se x ≤ y e x ≤ z, ne segue che x ≤ z;
• Se x ≤ y ∀ z ∈ ℝ, allora x + z ≤ y + z;
• Se 0 ≤ x e 0 ≤ y, allora 0 ≤ x∙y.

È campo ordinato mentre ℤ non lo è

Il campo dei razionali è un campo ordinato perché rispetta gli assiomi d’ordine oltre ad essere chiuso rispetto alle varie operazioni. Il campo ℤ invece non è un campo, perché oltre a non essere chiuso rispetto al prodotto, è campo solo se n è numero primo.

Numeri complessi e polinomi

Prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica

Considerando i due complessi espressi in forma trigonometrica:

• z₁ = r₁ (cos(θ₁) + i sin(θ₁))
• z₂ = r₂ (cos(θ₂) + i sin(θ₂))

Il prodotto necessiterà di moltiplicare i due moduli sommando invece gli angoli:

z₁ ∙ z₂ = r₁ ∙ r₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)].

Dimostrazione

Eseguendo il prodotto termine a termine:

• z₁∙z₂ = (cos θ₁ cos θ₂ + i cos θ₁ sin θ₂ + i sin θ₁ cos θ₂ - sin θ₁ sin θ₂)

Sapendo che i² = -1, possiamo sostituire ed ottenere:

z₁∙z₂ = r₁∙r₂ (cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)).

Formula di De Moivre

Dato un numero complesso in forma trigonometrica o esponenziale, la formula di De Moivre è utile per calcolarne una sua potenza di n come:

(cos(θ) + i sin(θ))ⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ)).

Dimostrazione

Usando la formula di Eulero:

e^iθ = cos θ + i sin θ

si possono applicare le proprietà delle potenze ottenendo:

(e^iθ)ⁿ = e^i(nθ) = rⁿ[cos(nθ) + i sin(nθ)].

Proprietà delle radici di un polinomio a coefficienti reali

• Relazione di somma tra le soluzioni di equazione di secondo grado, applicabile solo se ∆ ≥ 0. = x₁ + x₂ = -b/a;
• Relazione di prodotto tra le soluzioni di equazione di secondo grado, applicabile solo se ∆ ≥ 0. = x₁∙x₂ = c/a;
• Forma alternativa dell’equazione, per esprimerla quando si conosce somma e prodotto tra le sue soluzioni: x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0;
• Formula di scomposizione di un polinomio di secondo grado conoscendo le sue radici espresse come: (x - x₁)(x - x₂) = x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂.

Fattorizzare polinomio reale in fattori irriducibili reali complessi

Irriducibilità su campo complesso

Per il teorema fondamentale dell’algebra, un polinomio è irriducibile sul campo complesso se e solo se ha grado 1;

Irriducibilità sul campo reale

Si ha un polinomio irriducibile sui reali se il grado è 1 e se il delta è minore di zero. Ne segue che ogni polinomio a coefficienti reali è prodotto di polinomi di questi tipi. Ciò è dovuto al fatto che se un numero complesso z è radice del polinomio, allora lo è anche il suo complesso coniugato, risultando come prodotto un polinomio a fattori reali.

Interpretazione geometrica dei polinomi di 2° grado

f(x) = ax² + bx + c.

La funzione rappresenta sul piano una parabola con asse verticale e con concavità rivolta verso l’alto [a>0], avente come soluzioni le intersezioni con l’asse x. Presenta un punto di minimo assoluto [e di massimo qualora a>0]. Nel punto di vertice [ovvero dove la derivata prima si annulla] la distanza dall’asse x corrisponde al valore della funzione in quel punto. NOTA: se a>0 il vertice deve trovarsi al di sotto dell’asse x, ed avrà quindi valore negativo, oltre al ∆> 0.

Interpretazione geometrica dei polinomi di 3° grado

f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

La funzione polinomiale è rappresentata nel piano da una curva ad S orizzontale, dove per equivalenza asintotica verso l’infinito, si ha un comportamento sempre più approssimabile ad ax³. In corrispondenza dei valori di x dell’ordine di grandezza dei coefficienti, la curva presenta un punto di flesso, che passa da una concavità verso il basso alla concavità verso l’alto. Si ha anche un minimo ed un massimo relativi.

Successioni numeriche

Definizione di successione

Una successione è una funzione che ha come dominio il campo dei naturali e come immagine il campo dei reali, cioè: f: ℕ → ℝ.

Limite finito ed infinito di successioni

• Se lim_n→∞a_n = a, si dice che la successione è convergente ad a;
• Se lim_n→∞a_n = 0, si dice che la successione è infinitesima;
• Se lim_n→∞a_n = ±∞, si dice che la successione è convergente ad infinito o divergente.

1° Teorema ponte

Condizione necessaria e sufficiente perché valga lim_n→∞f(x_n) = L & lim_n→∞x_n = c & L ∈ ℝ → L=f(c). Cioè una funzione f(x) ammette limite in un punto reale c se e solo se il punto in questione è punto di accumulazione per il dominio di f(x). Allora la successione delle immagini convergerà a L.

2° Teorema ponte

Una funzione f(x) è continua in x = c se e solo se per ogni successione x_n → c, si verifica che f(x_n) → f(c).