Appunti di teoria e guide - esercizi Analisi 1

AREA DEL SOTTOGRAFICO DI UNA PARABOLA:

Se sono verificate le condizioni esposte sopra, allora si può concludere che l’area del trapezoide coinciderà con

%

l’area dell’integrale definito di f(x) sull’intervallo [a,b] .

= ()

∫

!,[$,%] $

SOMMA INTEGRALE SUPERIORE ED INFERIORE:

Si traccia la Si traccia la

perpendicolare del perpendicolare del

punto minore del punto maggiore del

segmento scelto e la segmento scelto e la

si proietta fino ad . si proietta fino ad

'

Cosi facendo si . Cosi facendo si

()'

ottiene una ottiene una

approssimazione approssimazione

inferiore dell’area reale del grafico. superiore dell’area reale del grafico.

FUNZIONI INTEGRABILI SECONDO RIEMANN:

Una condizione necessaria e sufficiente per definire una funzione integrabile secondo Riemann è la seguente:

Sia [a,b] intervallo chiuso e limitato dei reali, una funzione limitata è integrabile secondo Riemann se e

: [, ] → ℝ

solo se per ogni esiste una decomposizione dell’intervallo [a,b] tale che il valore assoluto della differenza

> 0

tra le somme superiori e le somme inferiori è minore di .

INTEGRALE DEFINITO E SUE PROPRIETÀ: [area con segno]

Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato e sia limitat, è integrabile in [a,b] se è verificata la condizione di

: [, ] → ℝ

integrabilità di Riemann. Solo e solamente in quel caso, si può chiamare integrale definito di f(x) su [a,b] il reale:

% e l’insieme delle funzioni integrabili è solitamente denominato

() = (, ) = (, ) ℛ(, ).

∫ * *

$

PROPRIETÀ:

Linearità:

• [∫ [∫

() + () ] = () + () ];

∫

o [∫ [

∙ () ] = () ].

∫

o

Additività degli estremi: se si deve integrare su un intervallo A=[a,b], si può spezzare l’integrale in due integrali

• della stessa funzione con estremi [a,c] [c,b] dove c è punto interno dell’intervallo A;

Estremi coincidenti: comportano un’area nulla;

• % $

Invertibilità degli estremi: .

• () = − ()

∫ ∫

$ %

ESEMPIO DI FUNZIONE NON INTEGRABILE SECONDO RIEMANN:

Una funzione non integrabile secondo Riemann è la funzione di Dirichlet. Questo perché il suo integrale superiore

non coincide con l’integrale inferiore, venendo meno alla condizione necessaria per l’integrabilità di Riemann.

INTEGRABILITÀ SECONDO RIEMANN DELLE FUNZIONI LIMITATE MONOTONE O

CONTINUE A TRATTI:

Se la funzione è monotona allora essa risulta integrabile secondo Riemann sull’intervallo [a,b], poiché è

: [, ] → ℝ

sempre possibile trovare una partizione che rispetta la condizione di integrabilità di Riemann.

Le funzioni invece continue a tratti sono comunque integrabili secondo Riemann, purché siano comunque limitate

e presentino un numero limitato e definito di discontinuità.

TEOREMA DELLA MEDIA: ! !(-)/-

∫

Se allora dove .

∈ ℛ([, ]) inf () ≤ ≤ (), = " %)$

FUNZIONE INTEGRALE E SUE PROPRIETÀ:

-

La funzione integrale è definita come e grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale, si

() = ()

∫

- #

0

può dire che ()

= (). 1(-)

Un estremo dell’integrale può essere anche un’altra funzione sempre continua e derivabile del

() = ()

∫

- #

0

quale si può dire che ()

= J()K′().

TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO INTEGRALE:

1) Sia una funzione limitata ed integrabile in [a,b]. Allora la funzione integrale F(x) è continua

: [, ] → ℝ

nell’intervallo [a,b].

Se inoltre f(x) è una funzione continua su (a,b) allora la funzione integrale F(x) è derivabile in ogni punto in cui è

0

continua f(x), e risulta che ( )

= ( ).

2 2

2) Sia una funzione che ammette una primitiva G(x) su [a,b]. Allora vale la formula fondamentale del

: [, ] → ℝ %

calcolo integrale .

() = () − ()

∫

$

PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE: 0

Data una funzione si dice primitiva di f la funzione la funzione tale che ()

: → ℝ, : → ℝ = ().

UNICITÀ DELLA PRIMITIVA DEFINITA SU UN INTERVALLO A MENO DI COSTANTE:

Se in un intervallo [a,b] una funzione f(x) ammette una primitiva F(x), allora f(x) ha infinite primitive che

differiscono per una costante additiva da F(x). Come interpretazione geometrica, avendo il grafico di F(x), tutte le

altre differiranno per una traslazione sull’asse verticale.

CAMBIAMENTO DI VARIABILE NEGLI INTEGRALI DEFINITI:

Sia una funzione continua e funzione derivabile con derivata continua. Si ha che:

: → ℝ : →

0 () [∫

J()K = ()] = ().

∫

INTEGRALI INDEFINITI:

Viene detto integrale indefinito di una funzione f(x) l’insieme delle sue primitive F(x)+c e viene indicato con

().

∫

METODO DI INTEGRAZIONE PER PARTI:

Siano due funzioni continue e si supponga che le loro derivate siano altrettanto continue su [a,b]

, : [, ] → ℝ

% %

0 0

allora: per gli integrali definiti mentre per gli integrali

() ()()

() = ()() − ()() −

∫ ∫

$ $

0 0

indefiniti vale la forma () ()()

() = ()() − + .

∫ ∫

INTEGRALI IMPROPRI DI 1° SPECIE:

Sia una funzione integrabile secondo Riemann negli intervalli del tipo [a,c] per ogni si può

: [, ∞) → ℝ ≥ ,

definire l’integrale improprio di prima specie della funzione f su il limite dell’integrale definito su [a,c]

[, ∞)

3 5 .

lim () = ()

∫ ∫

$ $

3→5

CRITERIO DEL CONFRONTO E CONFRONTO ASINTOTICO:

Criterio del confronto: se allora si distinguono due casi:

0 ≤ () ≤ () ∀ ∈

diverge e quindi diverge;

• () ()

∫ ∫

converge quindi converge, risultando .

• () () 0 ≤ () ≤ ()

∫ ∫ ∫ ∫

Criterio del confronto asintotico: se per dal lato di allora ne segue che gli integrali indefiniti e

~ → ()

∫

hanno lo stesso carattere compreso il segno dell’infinito nel caso in cui siano divergenti.

()

∫ LINEARIZZAZIONI

LINEARIZZAZIONE DI UNA FUNZIONE:

Data una funzione derivabile in E, la si può scrivere attraverso lo sviluppo di Taylor centrato in

: ⊆ ℝ → ℝ ∈

!

arrestato al primo ordine come dove la notazione o-piccolo indica che

()(

() = () + − ) + ( − )

%("'$) cioè che il resto trascurato è infinitesimo di ordine superiore al primo.

lim = 0

"'$

"→$

Ciò che si ottiene è una retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa a, calcolabile solo nelle funzioni derivabili

almeno una volta in tale punto.

LA LINEARIZZAZIONE È LA MIGLIORE APPROSSIMAZIONE AFFINE DELLA f(x):

È una diretta conseguenza al limite esposto al paragrafo precedente. Stando a indicare che il limite dell’errore di

approssimazione tende a zero, vuol dire che linearizzando la funzione si commette il minimo errore possibile,

rendendo l’approssimazione la migliore approssimazione affine possibile della funzione trattata.

FUNZIONI DI CLASSE :

)

Una funzione f(x) è appartenente alla classe se essa è derivabile almeno k volte con continuità sull’insieme di

derivabilità.

FUNZIONE DERIVABILE E CONTINUA MA NON DI CLASSE :

+

*

9 : ∈ [−1,0) ∪ (0, 1] Essendo composizione di funzioni derivabili, anche la f(x) è derivabile,

() = 5 " 0 = 0

lasciando come unica incertezza il punto x=0. Studiando limite destro e limite sinistro si evince che sono uguali,

permettendo di concludere che la funzione è derivabile.

Studiando di nuovo limite destro e sinistro della sua derivata, si evince che non esistono quindi non può essere una

+

funzione di classe in quanto la sua derivata prima non è continua nell’intervallo.

POLINOMIO DI TAYLOR E

POLINOMIO DI MACLAURIN

POLINOMIO DI TAYLOR:

Essendo i polinomi tra le funzioni più facili da usare, molte funzioni sono approssimabili attraverso il polinomio di

Taylor se rispettano la condizione di derivabilità per almeno n-1 volte con ≥ 1.

(") (& )

$

!(*"

# ( è l’espressione formale del polinomio di Taylor.

(, ) ( )( ) ∑ $

) = ( + − + ⋯ = ( − )

! " " " "

(!

POLINOMIO DI MACLAURIN:

È una particolare forma del polinomio di Taylor in quanto gli sviluppi in serie di Maclaurin si ricavano sviluppando la

funzione con la serie di Taylor, valutandola poi nel punto .

=

"

SIMBOLO DI O-PICCOLO:

Date le funzioni f(x) e g(x) definite nell’intorno del punto reale, f(x) è definibile o-piccolo di g(x) per x che tende

"

$(&)

ad se è verificata la condizione

lim = 0.

" ,(&)

&→& $

POLINOMIO DI MACLAURIN DI UNA FUNZIONE PARI/DISPARI:

Una particolarità utile del polinomio di Maclaurin è che sviluppando una funzione pari, si avranno nel polinomio solo

potenze pari, mentre sviluppando una funzione dispari si avranno analogamente solo potenze dispari.

ALGEBRA DEGLI O-PICCOLI:

- ( ./0 (-,()

• o() ± () = ()

- - con fattore c positivo e non nullo

• ]

o[() = ()

- ( -(

• o() ∙ () = ()

- ( -