Analisi 1 - Appunti completi

Cenni di notazione matematica

n=5 ⇒ n+1=6 ⇒ "implica" ⇔ "se e solo se" ∀n ∈ N "per ogni" ∈ "appartiene" ∃ "esiste" "tale che"

Insiemi e sottoinsiemi

A = {a, b, c, d} insieme

A è un sottoinsieme di B ⇔ ∀ x ∈ A, x ∈ B

A ⊂ B (se e solo se A ≠ B)

A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A

Operazioni sugli insiemi

∪ "unione" A ∪ B = {x ∈ A o x ∈ B}

Se A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B

∩ "intersezione" A ∩ B = {x ∈ A e x ∈ B}

Proprietà: unione e intersezione sono simmetriche

Se A ∪ B = ∅, A e B sono disgiunti

A ∪ ∅ = A

A ∩ ∅ = ∅

\ "differenza" A \ B = {x ∈ A, x ∉ B}

La differenza non è simmetrica

"differenza simmetrica" A Δ B = B \ A ∪ A \ B

A ⊂ B il "complementare" di A in B

C_BA = B \ A

C_B(A₁ ∪ A₂) = C_BA₁ ∩ C_BA₂

C_B(A₁ ∩ A₂) = C_BA₁ ∪ C_BA₂

Insiemi numerici

Insieme dei numeri naturali

N = {1, 2, 3, ...}

1 ∈ N

n ∈ N ⇒ n + 1 ∈ N

0 ∉ N

se n ∈ N, m ∈ N ⇒ n + m ∈ N

se n ∈ N, m ∈ N ⇒ n ⋅ m ∈ N

Quindi l'insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto alla somma e al prodotto.

Invece: se n ∈ N, m ∈ N ≯ n - m ∈ N

Insieme dei numeri interi

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, ...}

se n ∈ Z, m ∈ Z ⇒ n + m ∈ Z

se n ∈ Z, m ∈ Z ⇒ n ⋅ m ∈ Z

0 elemento neutro rispetto alla somma: n + 0 = n ∀ n ∈ Z

1 elemento neutro rispetto al prodotto: n ⋅ 1 = n ∀ n ∈ Z

Nei numeri interi esiste anche l'opposto: n + (-n) = 0

La divisione introduce un altro insieme più grande dove valgono anche le proprietà precedenti:

[n ∈ Z, m ∈ Z \ {0} ≯ n/m ∈ Z]

Insieme dei numeri razionali

ℚ = 1^ℚ = {x = n/m; n ∈ Z, m ∈ Z \ {0}}

con m e n primi tra loro (non hanno fattori comuni)

n ∈ Q, m ∈ Q ⇒ n ± m ∈ Q

n ∈ Q, m ∈ Q ⇒ n : m ∈ Q

n _k ∉ Q

L'insieme dei numeri razionali coincide con i numeri che hanno sviluppo decimale finito o illimitato periodico

[1, 48) ∪ (1, 78]

I numeri razionali sono chiusi rispetto a somme, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni

Dimostrazione per assurdo

log₂ 3 ∉ Q ⇒ Dimostrazione per assurdo

Supponiamo per assurdo che ∃ n ∈ Z \ {0} e che m ∈ Z tale che log₂ 3 = m/n

2 ^{log₂ 3} = 2 ^m/n

3 = 2 ^m/n

Supponiamo che n, m ∈ N

⊗ Elevo tutto alla n

3 ⁿ = 2 ^m

Otteniamo un numero dispari (3 ⁿ) e un numero pari (2 ^m)

Assurdo ☋

Insieme dei numeri pari

∃ n = {m ∈ N: m = 2n, n ∈ N}

Insieme dei numeri dispari

⊗ ∃ 2N-1 = {m ∈ N: m = 2n-1, n ∈ N}

⊗ Se sono m, n tutte e due negativi, semplifico il meno e rimane uguale

Se uno è negativo e l'altro positivo possiamo supporre senza perdita di generalità

m = k ∈ N e n ∈ N ⊗

Procedo come prima e ottengo 3 ⁿ = 2 ^-k → Assurdo perché 2 ^-k n > 1

Dimostrazione della irrazionalità di √2

√2 ∉ Q

Dimostrazione.

Per assurdo ∃ m ∈ Z ∩ n ∈ Z \ {0} | √2 = m/n

m e n primi tra loro per def

m, n ∈ N \ N ∩ {0} → senza perdita di generalità

2n² = m² ⇒ m² ∉ 2N ⇒ m ∈ 2N ⇒ ∃ k ∈ N m = 2k, k ∈ N

Dimostrare che m ∉ 2N m ∈ 2N

2n² < 4k² ⇒ n² = 2k²

n è pari, m è pari. Assurdo perché hanno 2 fattori in comune. Non è possibile perché devono essere primi tra loro

Insieme dei numeri irrazionali

(hanno sviluppo illimitato aperiodico)

Insieme dei numeri reali

R = Q ∪ I (l'estrazione della radice o del logaritmo sono ben definite in R)

30/09/2015

L'insieme dei numeri reali è dotato della relazione d'ordine ≤ con le seguenti proprietà:

1. a ∈ R, b ∈ R ⇒ a ≤ b o b ≤ a [TOTALITÀ]
2. a ∈ R, b ∈ R ⇒ a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b [ANTISIMMETRIA]
3. a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R ⇒ a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c [TRANSITIVITÀ]

Se a ≤ b ⇒ a > b

R⁺ = {x ∈ R : x > 0}

R⁻ = {x ∈ R : x < 0}

(la stessa cosa si può fare per Q)

Maggiorante e Minorante

• Maggiorante: Sia A ⊆ ℝ, M ∈ ℝ è un maggiorante per A se a ≤ M   ∀   a ∈ A con M ∈ ℝ
• Minorante: Sia A ⊆ ℝ, H ∈ ℝ è minorante per A se a ≥ H   ∀ a ∈ A con H ∈ ℝ

Esempio: A = { x ∈ ℝ | x ≤