Analisi 1 - Appunti completi

ANALISI 1

BARTOLUCCI

Cenni di notazione matematica

n = 5 ➔ n + 1 = 6

• ⇒ "implica"
• ⇔ "se e solo se"
• ∀ n ∈ Ν / "per ogni"
• ∈ / "appartiene"
• ∃ / "esiste"
• | "tale che"

• A = {a, b, c, d} INSIEME
• A ⊂ B "sottoinsieme di B ⇔ ∀ x ∈ A , x ∈ B
• A = B (se e solo se) A ⊂ B e B ⊂ A
• U ➔ "unione" A ∪ B = {x ∈ A o x ∈ B}
• A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B
• ∩ ➔ "intersezione" A ∩ B = {x ∈ A e x ∈ B}

Proprietà: unione e intersezione sono simmetriche

Se A ∪ B = Ø A e B sono disgiunti

• A ∪ Ø = A
• A ∩ Ø = Ø
• − \ "differenza" A \ B = { x ∈ A : x ∉ B}

La differenza non è simmetrica

• "differenza simmetrica" A Δ B = B \ A ∪ A \ B
• A ⊂ B il "complementare" di A in B
• C_BA = B \ A
• C_B(A₁ ∪ A₂) = C_BA₁ ∩ C_BA₂
• C_B(A₁ ∩ A₂) = C_BA₁ ∪ C_BA₂

29/08/2015

Massimi, minimi, estrema superiore e inferiore in _R

- Maggiorante: Sia A ⊆ R, M è un maggiorante per A se a ≤ M ∀a ∈ A con x ∈ R

- Minorante: Sia A ⊆ R, m è minorante per A se a ≥ m ∀a ∈ A con x ∈ R

Esempio:

• A = {x ∈ R : 1 < x ≤ 1 } → Maggioranti = {x ∈ R : x ≥ 1} Minoranti = {x ∈ R : x ≤ 1}
• A = {x ∈ Q : x² ≤ 2} = {x ∈ Q : -√2 ≤ x ≤ √2} Maggioranti: {x ∈ R : x ≥ √2} Minoranti: {x ∈ R : x ≤ -√2}
• A = {x ∈ R : x² ≤ 2} = {x ∈ R: -√2 ≤ x ≤ √2} Maggioranti: {x ∈ R : x ≥ √2} Minoranti = {x ∈ R : x ≤ -√2}
• A = {x ∈ R : x < x²} → Maggioranti = ∅ Minoranti = {x ∈ R : x ≤ π} → M non è un maggiorante se ∃ un a > M m non è un minorante se ∃ un a < m

- Massimo: Sia A ⊆ R, M è un massimo per A (max A) se: 1) M è maggiorante di A 2) M ∈ A

- Minimo: Sia A ⊆ R, m è minimo per A (min A) se: 1) M è minorante di A 2) M ∈ A

- Teorema [Unicità del massimo/minimo]: Se ∃ un massimo o un minimo questo è unico. (Dimostrazione Facoltativa)

- A ⊆ R / A è superiore/infimo limitato se ∃ almeno un maggiorante di A: ∀ H ∈ R : d ≥ 1 ∀a ∈ A

Densità:

• ℚ è denso in ℝ. Cioè ∀ x ∈ ℝ, ∀ z ∈ ℝ x ≠ z ∃ q ∈ ℚ : x ≠ qz

2/10/2015

Retta reale estesa:

Si definisce retta reale estesa l'insieme ℝ* = ℝ U {-∞, +∞} dotato della relazione di ordine ≥ e dotato delle proprietà precedentemente elencate (totalità, antisimmetria, transitività) e inoltre:

• (iv) −∞ ≤ x ≤ ∞ ∀ x ∈ ℝ

• Se A⊂ℝ è superiormente/inferiormente illimitato allora ammette supA=+∞ e infA=−∞

Operazioni di somma e prodotto per ±∞: ∀ x ∈ ℝ

1. i) x +∞ = ±∞
2. ∞ ±∞ = ∞
3. 0 x ∞ = 0
4. x x ±∞ => ±∞, x ≠ 0
5. • c) ^x/_∞ = 0
6. • d) (+∞) + (+∞) = ∞
   • (± 0) + (+∞) = +∞

Forme indeterminate:

• (i) (+∞) + (−∞)
• (+∞) / (−∞)

• (ii) 0 * ∞ → quantità che non si può fissare a priori
• (iii) ^+∞/_+∞, ^−∞/_−∞, ^∞/∞ → quantità non fissate a priori

Dim:

1. (i) Supponiamo (+∞) + (−∞) = 0, 5 + (+∞) − (−∞) = 5 => (+∞) − (−∞) = 5

0 = 5

Insiemi Simmetrici. Funzioni Pari/Dispari

Sia I ⊆ ℝ un insieme simmetrico, ovvero x ∈ I → -x ∈ I

• Una funzione f: I → ℝ si dice pari se

  f(x) = f(-x) ∀ x ∈ I

• Una funzione f: I → ℝ si dice dispari se

  f(x) = -f(-x) ∀ x ∈ I

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate (y)

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine

Esempio:

se a ∈ (0,+∞)  e  I = (-a,a)  o  I = [-a,a] allora I è un intervallo simmetrico

Inoltre  f(x) = x²  ∀x ∈ I   è pari, mentre  f(x) = x³  ∀x ∈ I   è dispari. Più in generale  f(x) = xⁿ   ∀x ∈ I  è pari  se  n ∈ 2ℝ  e dispari se  n ∈ 2ℝ-1

N.B: Non tutti gli insiemi simmetrici sono intervalli. Ad esempio l’insieme ℝ \ {0} è simmetrico ma non è un intervallo.

Studio di funzioni

f(x) = x² - 3x + ⁵/₄ x ∈ ℝ → Parabola verticale

Si ha f(x) = 0 ⇔ x ∈ [¹/₂, ⁵/₂], f(0) = ⁵/₄

Il vertice della parabola è V: (³/₂, -1)

• - Se g(x) = f(x - 2) il grafico si ottiene traslando a destra
• - Se g(x) = f(x) + 2, il grafico viene traslato verso l'alto
• - Se g(x) = f(-x) il grafico si ottiene ruotando il grafico intorno a y
• - Se g(x) = -f(x)

• - Se g(x) = f(-x) il grafico si ottiene ruotando il grafico intorno a x
• - Se g(x) = f(|x|) il grafico si ottiene cancellando f per x < 0 e ruotando il grafico intorno a y

Esempi di successione:

a_n = ⁿ³/_n⁴+1 n ∈ N

oppure f(x) = ⁿ⁴/_n⁴+1

Principio di induzione

[dimostrazione facoltativa]

Per ogni n ∈ N sia P_n una proposizione. Supponiamo che valgano:

1. P_a è vera
2. ∀ n ∈ N, P_n ⇒ P_n+1

Allora ∀ n ∈ N, P_n è vera

Esempio:

Vogliamo dimostrare che ∀ n ∈ N si ha 2ⁿ ≥ n + 1

2³ ≥ 3+1 vero

2² ≥ 2+1 vero

2³ ≥ 3+1 vero

Applichiamo il principio di induzione matematico.

P_n: 2ⁿ ≥ n+1

1. Verifichiamo P(1) = 2¹ ≥ 1+1. Quindi P(1) è vera
2. Supponiamo che sia vero per ogni n ∈ N, allora dimostriamo che è vera P_n+1

P_n ⇒ P_n+1, ∀ n ≥ 1

2ⁿ ≥ n+1 ⇒ 2ⁿ⁺¹ ≥ (n+1)+1

2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ ≥ 2·(n+1) = 2n + 2 = n+n+2 > n+2 = (n+1)+1

Allora P_n è verificato

Limiti di successioni

Definizione: Sia P_n una proprietà definita per n ∈ ℕ. Si dice che P_n vale definitivamente (rispetto ad n) se ∃γ ∈ ℕ: P_n è vera ∀ n > γ.

Es: b_n = 3ⁿ + (100 - n)

c_n = 3ⁿ

P_n : b_n ≤ c_n vale definitivamente in n ∀ n ≥ 100

• Cerchiamo...

Disegno modulo

λ ∈ ℝ ⟹ Δ = { x ∈ ℝ : |x - L| < 1 }

(prendiamo tutte le x interne a (L - 1, L + 1))

=> |x - L| < L - 1 < x < L + 1 = -1 < x - L < 1

ε > 0

A = { x ∈ ℝ : |x - L| < ε }

-ε < x - L < ε