Appunti di teoria: dinamica ed energia del lavoro

LE LEGGI della DINAMICA

MASSA INERZIALE = capacità di opporsi ai cambiamenti di velocità, ovvero inerzia

_oggetto ΔV^A _oggetto ΔV^B

^ΔVA/_Δt = m_B

^ΔVB/_Δt = m_A

m_A × |^ΔVA/_Δt| = m_C

^ΔVA/_Δt

m_C × |^ΔVB/_Δt| = m_A

Unità di misura [Kg]

1. LEGGE d'INERZIA = un corpo non soggetto a forze, o con R=0 rimane nel suo stato di quiete o si muove si muove con ur rispetto a un SR

2. F = m × a se un oggetto è soggetto a una forza F≠0 subisce un'accelerazione a

   a ∝ F

   _{MASSA INERZIALE}

3. AZIONE e REAZIONE = se A esercita una forza S_AB B re esercitata su A una uguale e contraria

   T_AB = |F_BA|

F_peso = mġ

F_elastico = -k Δx

F_grav: G ^{m₁ m_2/r2}

_E ^r/ MT

a = G ^MT/r²

È UGUALE TRA TUTTI I CORPI = g g del corpo è indipendente da m

F_centripeta = m ^v2/r

F_attrito = μ × s × N

LE LEGGI della DINAMICA

MASSA INERZIALE

capacità di opporsi ai cambiamenti di velocità determinata dallo stato di inerzia

_Mx = _∆vi/_∆vAi

_My = _∆vo/_∆vAo

unità di misura [kg]

1. LEGGE di INERZIA = un corpo non soggetto a forze oppure con F=0 permane del suo stato di quiete oppure si muovesi muove con m rispetto a un SRI

2. F = m × ∆p/∆t

   se un oggetto è soggetto a una forza ≠ F=0 subisce un'accelerazione α

   a = F/m

   MASSA INERZIALE

3. AZIONE e REAZIONE = se A esercita una forza su B B ne esercita su Auna uguale e contraria

F_peso = mḡ

Felastica = -K∆x

F_grav = GM_Mt/R²_t

a = GM_T/R²

è uguale tra tutti i corpi = g g è uguale = indipendente da m

F_centripeta = mB = -μ_dmg · 2r

L_A->B = -μ_d · mg Δ_s

→ la forza non è conservativail lavoro dipende dal percorso fattonon è definibile U

L_A->B = L_peso + L_attrito ☯

L_A->B = U_A - U_B - μ_dmgcosα l  mgh - μ_dmgcosα l = E_CMB = E_CMA  mgh - μ_dmgcosα l = ½ mV_B²

V_B = √2g(h - μ_dcosα)

P_L = mgcosα

F_att = mgcosαμ_dL_tot = mgcosαμ_d l

ΔE_cinE_cinB = E_cinA

SE _F SONO CONSERVATIVE

L_A->B = U_A - U_B

U_A - U_B = ΔE_cin → VALE SEMPRE

E_totA = E_totB

dove E_tot = ENERGIA MECCANICA si conserva

SE _F NON SONO CONSERVATIVE

L_cons + L_{non cons} = E_cinB - E_cinA

U_A - U_B + L_{non cons} - E_cinB = E_cinA

L non cons = UA + UB + EcinB - EcinA

L non cons = ETOTB - ETOTA

L non cons = ∆E

La variazione dell'energia meccanica

Esercizio

Moto del pendolo = approssimativamente armonico

Siccome non ci sono forze dissipative

ETOTA = ETOTB

mgl - mgl cosθ + 1/2mv²(θ)

1/2v²(θ) = g l - g l cosθ

v²

V(θ) = √2g l cosθ

h = l - l cosθ

U = energia potenziale, esprime il lavoro che un corpo potrebbe potenzialmente fare perché si trova in una determinata posizione

Rapporto U e KU

C non può più tornare in A

Moto Armonico Semplice

Fx = ma_x = -kx = m d²x/dt²d²x/dt² + k/m x = 0

d²x/dt² + ω²x = 0 [1]α = -k/m x → Soluzione in x(t)

x(t) = ? fase inizialex(t) = A cos(ωt + φ_o)

d²x/dt² = -ω²A cos(ωt + φ_o) → sostituisco il valore delle derivate in [1]ωA cos(ωt + φ_o) + ω² A cos(ωt + φ_o) = 0

Condizioni Iniziali1) x(0) = x_o in T_o2) V(0) = 0

x(0) = A cos φ_o = 0V(0) = -ωA sin φ_o

• A cos φ_o = 0
• -ωA sin φ_o = 0

A e ω per forza ≠ 0 Otteniamo il corpo non si spostasin φ_o = 0 → φ_o = π/2

x_o = A in cos (0)x_o = A

x(t) = A cos(ωt + π/2)x(t) = x_o cos(ωt)

NUOVE CONDIZIONI INIZIALI IN t=0

V(0) = V₀ → -ωAsinφ₀ = V₀

X(0) = 0 → Acosφ₀ = 0

x(t) = -^V₀⁄_ωcos(ωt + ^π⁄₂) = ^V₀⁄_ωsinωt

ω = ^π⁄₂

ENERGIA NEL MOTO ARMONICO

K + U = costante

¹⁄₂mv² + ¹⁄₂UX² = ¹⁄₂mV₂

MAX U     MAX U

x(t) = X₀cosωt

V(t) = -xωsinωt

K(t) = ¹⁄₂mV₂ = ¹⁄₂mw²sin²ωt

U(t) = ^{1⁄₂Ux2 = 1⁄₂Ux₀2cos2ωt}

K(t) = ¹⁄₂kx₀sin²ωt

y = sinx

y = cosx

T = ^{1⁄₂cos2ωTK₀2}

K = ¹⁄₄sinωtx₀²

U = ^{1⁄₂cos2ωTκx₀2}

ω² = ^κ⁄_m

Tendono a zero in media

M si muove di moto armonico, molla, m

A = ampiezza

Stabilire quando K = ¹/₂ U

K = ¹/₂ mv²

K = ¹/₂ U

U = ¹/₂ kx²

K = ¹/₄ ka²

U = ³/₈ ka²

x = A ^√3/₂

Moto del pendolo

M_peso = l x mg

M = dL/dt

L = l² m dθ/dt

l mg sinθ

dθ/dt² = - ^g/_l sinθ

Approssimiamo se seno

dθ²/dt² + ^g/_l θ

A cos(ωt + φ₀)

ω² = ^g/_l