Appunti di teoria Analisi 1

Proprietà di ℚ

A ⊆ ℝ < ℚ denso in ℝ se ∀a∈ℝ, b∈ℝ (a<b), ∃ x∈A ⊓ ]a,b[

ℚ è denso in ℝ

Proprietà di Archimede

Se a b∈ℝ con a < b > 0, allora ∃ n∈ℕ/ n a > b

Dim

Poniamo A={na; n∈ℕ} l’insieme di tutti i multipli di A

dimostriamo che A non è limitato superiormente

Assumiamo per assurdo che M = sup A esiste

=> ∃ x∈A / M-a < x ≤ M.

(ε = a)

=> ∃ p∈ℕ / M-a < pa ≤ M

(x = pa)

=> M < pa+a ❌ => M < (p+1) a

∈A

L’estremo superiore è strettamente minore di un elemento di A

Assurdo!!!

{(notazione tedesca)}

=> A non è limitato superiormente

=> b non può essere un maggiorante di A

(esiste un elemento di A più grande di b)

=> ∃ m∈ℕ / ma > b

Dimostrazione della densità

(Q denso in ℝ)

Siano a < b. Dimostriamo che ]a,b[ ∩ ℚ ≠ ϕ

Poiché Q non è limitato né superiormente né inferiormente,

in particolare a non è un minorante di Q

=> ∃ q ∈ ℚ / q < a

(esiste un elemento

9.——|□□□□□□□□□]———〈 b

a

^b

Lo scopo è trovare un numero razionale

dall'interno dell'intervallo

per non superare b, e preso in considerazione la distanza tra a e b

d = b-a>0

applico Archimede ⇒ ∃n ∈ N / nd > 1 <=> d > ¹⁄_n

tra (a) e (b)

introduco l'insieme E = {m ∈ N^* : q + m¹⁄_n > a } (a sera O)

E ≠ ∅ (applico Archimede a ¹⁄_n e (a -q) )

m₀¹⁄_n > a –q

∈ E ⊆ N

un sottoinsieme di N ammette sempre un minimo

∃m₀ = minE

il minimo è un elemento dell'insieme E

m₀ ∈ E ⇒ q + m₀¹⁄_n > a

m₀ -1 ∉ E ⇒ q + (m₀ -1)¹⁄_n ≤ a

=) q + ^{m₀ -1}⁄_n ≤ a ⇒ q + ^{m₀ -1}⁄_n ≤ a + ¹⁄_n

=) q < q + ^m₀⁄_n ≤ a + ¹⁄_n < a + d = q + (b - a)

ho trovato un numero razionale tra a e b

la calcolatrice approssima un numero reale, al numero

razionale più vicino

Teorema dei Carabinieri

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

lim_x➡x0 f(x) = lim_x➡x0 h(x) = l ⇒ lim_x➡x0 g(x) = l

∀ε>0, ∃δ₁>0 / |f(x)-l|<ε ∀x∈D e |x-x₀|<δ₁ x≠x₀

∀ε>0, ∃δ₂>0 / |h(x)-l|<ε ∀x∈D e |x-x₀|<δ₂ x≠x₀

e-ε < f(x) < e+ε

e-ε < h(x) < e+ε

e-ε ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < e+ε

e-ε < g(x) ≤ e+ε

⇒ lim_x➡x0 g(x) = l

Funzioni Continue

Sia f: D➡R e x₀∈D

Si dice che f è continua in x₀ se

lim_x➡x0 f(x) = f(x₀) (⇒) ∀ε>0, ∃δ_ε>0 / |f(x) - f(x₀)|<ε,

∀x∈D |x-x₀|<δ_ε

f è discontinuo in x₀ se f non è continua in x₀

Punti di Discontinuità

1. 1^a specie lim_x➡x0⁺ f(x) ≠ lim_x➡x0^- f(x) S_(x0) = lim_x➡x0⁺ f(x) - lim_x➡x0^- f(x)
2. 2^a specie se lim dx o sx non esiste oppure è infinito
3. 3^a specie lim_x➡x0 f(x) = l ∈ ℝ ma l≠f(x₀)

Teorema di Rolle

Sia β: [a,b] → ℝ continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[

Sia β(a) = β(b) allora ∃c ∈ ]a,b[ / β'(c) = 0

Dim:

• Se β è costante, allora β'(x) = 0, ∀x ∈ ]a,b[
• Se β non è costante

Teorema di Weierstrass → funzioni massimi e minimi

β(x₁) = max_a≤x≤b β(x)

β(x₂) = min_a≤x≤b β(x)

Ovviamo per assurdo che x₁, x₂ ∈ {a, b}

⇒ β(x₁) = β(x₂) appl. ipotesi β(a) = β(b)

⇒ max_a≤x≤b β(x) = min_a≤x≤b β(x) ⇒ β è costante (assurdo)

Quindi almeno uno dei due x₁ ≠ x₂ ∈ ]a,b[

Sia per assurdo x₂ ∈ ]a,b[ derivata

• lim_x→x2⁺ β(x) - β(x₂) / x - x₂ > 0
• lim_x→x2^- β(x) - β(x₂) / x - x₂ ≤ 0

Perché lim_x→x2⁺ β(x) - β(x₂) / x - x₂ = lim_x→x2 β(x) - β(x₂) / x - x₂ = β'(x₂)

⇒ β'(x₂) = 0

Teoremi della media

1. Se _a ^b f limitato e integrabile secondo Riemann

   => m(b-a) ≤ ∫_a^b f(x)dx ≤ M(b-a)

   dove m = inf_[a,b] f(x), M = sup_[a,b] f(x)

2. Se f: [a,b] → R continua

   => ∃ x₀ ∈ [a,b] t.c. ∫_a^b f(x)dx = f(x₀)(b-a)

Dim.

f continua in [a,b] => f integrabile e limitata => m(b-a) ≤ ∫_a^b f(x)dx ≤ M(b-a)

(l'immagine di un compatto è un compatto)

Dal teorema di Weierstrass => m = min_[a,b] f, M = max_[a,b] f

=> m ≤ ∫_a^b f(x)dx / (b-a) ≤ M

=> ∃ x₀ ∈ [a,b]: f(x₀) = ∫_a^b f(x)dx / (b-a)

=> ∫_a^b f(x)dx = f(x₀)(b-a)

per il teorema dei valori intermedi (Bolzano) f assume tutti i valori compresi tra il max e min