Appunti di teoria Analisi 1

Proprietà di EA non denso in R

Se ∀ a, b ⊂ R (a < b), ∃ x ∈ A ∩ ]a, b[. Q è denso in R.

Proprietà di Archimede

Se a, b ∈ R⁺ con a ≥ b > 0, allora ∃ n ∈ N / na > b.

Dimostrazione

Pensiamo A = {ma; m ∈ N} l'insieme di tutti i multipli di A.

Dimostriamo che A non è limitato superiormente. Assumiamo per assurdo che M = sup A esiste ∃ x ∈ A / M - a ⇒ A non è limitato superiormente ⇒ b non può essere un maggiorante di A (contiene un elemento di A più grande di b) ⇒ ∃ m ∈ N / ma > b.

Dimostrazione della densità (Q denso in R)

Siano a < b, Dimostriamo che ]a, b[ ∩ Q ≠ φ. Poiché Q non è limitato né superiormente né inferiormente, in particolare a non è un minimo di Q ⇒ ∃ q ∈ Q / q < a (esiste un elemento più piccolo di a) d = b - a > 0.

Proprietà di ℝ

A ⊆ ℝ è denso in ℝ se ∀ a, b [∃ x ∈ A ∩ ]a, b[. Q è denso in R.

Proprietà di Archimede

Se a, b ∈ ℝ con a ≥ b > 0, allora ∃ n ∈ ℕ/na > b.

Dimostrazione

Poniamo A = { ma; m ∈ ℕ } l'insieme di tutti i multipli di A. Dimostriamo che A non è limitato superiormente. Assumiamo per assurdo che M = sup A esiste ∃ x ∈ A / M - a ∃ ρ ∈ ℕ / M - a. M ∈ A.

L'estremo superiore è strettamente minore di un elemento di A (M A non è limitato superiormente b non può essere un maggiorante di A (esisterà un elemento di A più grande di b) ∃ m ∈ ℕ a > b.

Dimostrazione della densità

Siano a. Poiché Q è limitato né superiormente né inferiormente, in particolare a non è un minorante di ℚ ∃ q ∈ ℚ / q (se esiste un elemento più piccolo di a) d = b - a > 0 applico Archimede ⇒ ∃u ∈ ℕ / mu > 1 <=> d > ¹/_u introduco l'insieme E = { m ∈ ℕ^* : q + m⋅¹/_u > a } (a tertia or) E ≠ ∅ (applico Archimede a ¹/_u e (a-q)).

mu⋅¹/_u > a - q. E ⊆ ℕ un sottoinsieme di ℕ ammette sempre un minimo. m₀ = min E, il minimo è un elemento dell'insieme E. m₀ ∈ E ⇒ q + m₀⋅¹/_u > a. m₀ - 1 ∉ E ⇒ q + (m₀ - 1)⋅¹/_u ≤ a.

⇒ q + ^m₀/_u - ¹/_u ≤ a ⇒ q + ^m₀/_u < a + ¹/_u ⇒ q < q + ^m₀/_u 1/_u ho trovato un numero razionale tra a e b.

Principio di induzione

Sia P una proprietà definita in N o in un sottoinsieme di N. Se valgono le seguenti ipotesi:

1. La proprietà è verificata per il primo elemento m₀ ∈ N.
2. ∀n ∈ N, n ≥ m₀ verifica P implica n + 1 verifica P (n verifica P ⇒ n + 1 verifica P).

Allora P è verificata per ogni n ≥ m₀.

Dimostrazione

Definiamo A = {m ∈ N : m > m₀ e m non verifica le proprietà P}. Assumiamo per assurdo che A ≠ ∅. Un sottoinsieme di N non vuoto ammette un minimo ∃m₀ = min A. In particolare m₀ ∈ A ⟷ m₀ > m₀ e m₀ non verifica P. m₀ - 1 ≥ m₀.

m₀ - 1 = m₀ verifica P per Hp (2) ⇒ m₀ verifica P. m₀ - 1 0 e m₀ - 1 non verifica P ⇒ m₀ - 1 ∈ A ξ m₀ - 1 verifica P (2) m₀ verifica P ξ. Quindi, A = ∅ significa che tutte le m ≥ m₀ verificano P.

Funzioni reali

Siano A, B ⊆ &Ropf;. Una funzione di A in B è una legge che ad ogni elemento di A fa corrispondere un elemento di B. Si dice che:

• f: A → &Ropf; è iniettiva se ∀ x₁ ≠ x₂, allora f(x₁) ≠ f(x₂).
• f: A → B è suriettiva se ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A tale che f(x) = y.
• f: A → B è biiettiva (o invertibile) se f è sia iniettiva che suriettiva.