appunti di analisi 1

Appunti di

Analisi Matematica I

9 CFU

Studente: Flavia Vittori

Voto: 28

Docente: Maria Rosaria Lancia

Codocenti: Di Costanzo, Marconi

Facoltà di Ingegneria Civile e Industriali

Laurea in Ingegneria Civile

Anno Accademico 2019/2020, 1^o semestre

Appunti di Analisi Matematica I

9 CFU

Studente: Flavio Vithon

Voto: 28

Docente: Marco Rosario Olamido

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

Anno Accademico 2010/2011, I Semestre

Concetto di Insieme

S = spazio = collezione di enti di natura qualsiasi

A = insieme costituito da elementi di S, A = {a ∈ S}

In questo caso A è formato da tutti gli elementi di S

A = S

Se A contiene solo alcuni elementi di S: A = {a ∈ S : a soddisfa proprietà P}

A ⊂ S   |   A ⊆ S

A è un sottoinsieme di S se ∀ a ∈ A ⇒ a ∈ S

1. ∀ a ∈ A, a ∈ S   ⇒   a ∈ A

1. Se A e S (2) sono soddisfatte contemporaneamente ⇒ A = S

Opposte valgono contemporaneamente A ⊂ S   e   S ⊆ A

Rappresentazione degli elementi di un insieme

Elementi: = {a, b, c} = {1, 2, 3, n, …} (Classico: pochi elementi)

Proprietà caratteristica: A = {x ∈ ℝ: 0 < x ≤ 2}

Non tutti gli insiemi si possono rappresentare in entrambi i modi

A = {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 3} = {1, 2, 3}

Se A è finito ⇔ è costituito da un numero finito di elementi

A = {1, 2, 3} è finito   Cardinale di A = |A| = 3

Cardinale = numero degli elementi dell'insieme

Esempio: A = ℤ   |ℤ| = ∞

Insiemi finiti positivi

Collezione di tutti gli elementi di un insieme X: P(X)

Se un insieme finito ha cardinalità n, la cardinalità del suo insieme

Complementare di un P

Dato A ≤ S   A' = {a ∈ S: a ∉ A}

Esempio: A = {x ∈ ℝ: x² > 0}

C(A) =   ℝ - A = {x ∈ ℝ: x > 1,   x < -1, x < 2}.   (Vedi)

DEF: La funzione f: A → B è detta iniettiva se

∀x₁, x₂ ∈ A x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

ES:

• f: ℝ → ℝ

  x → y = f(x) = x →

  ∀ x₁, x₂ ∈ ℝ x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

  x₁ → x → x₁ ≠ x₂ ⇒ invertiva

• Nota bene: non si può sostituire i valori a x₁ e x₂ perché bisogna valutare la riducibilità di y₁ ≠ y₂ ∀ x ∈ A

• f: ℝ → ℝ

  x → y = x²

Mi basta trovare un caso per cui y₁ = y₂ x = -1 y = f(1) = 1 x = -1 y = f(-1) = 1 non è iniettiva

Posso renderla iniettiva operando una restrizione

• f: ℝ⁺ → ℝ

  x → y = x²

  è iniettiva

• f: ℝ → ℝ

  x → y = x + 1

  è iniettiva ma anche suriettiva ⇒ la funzione è biunivoca

DEF: F è biunivoca (o biettiva o uno a uno) se è iniettiva

e suriettiva (codominio uguale a B)

Punto di accumulazione di un insieme

DEF: Dato un E ⊂ ℝ, diremo che x₀ ∈ E è punto di accumulazione

per E se ∀ ε > 0, ∃ x ∈ E, x ≠ x₀ : x ∈ I_{x0, h}

E = {1/n}

∖ ∖ (se il punto di accumulazione non appartiene all'insieme

E = {0,1/}

Insieme dei punti di accumulazione? DE (intorno di x)

E = {1,2}

DEF: E\∪ℕ

non ci sono punti di accumulazione → ∃ N → DE → ∅

DEF: x₀ ∈ ∅ ← si dice isolato

TEOREMA di BOLZANO-WEIERSTRASS: ∃ x₀ ∈ E

in xxx vi cadono infiniti punti di E

Esempi

• f(x) = x^1/2
• f(x) = x^-1
• f(x) = x^-1/3

Affermazione

α ∈ R, quindi x^α

f(x) = (x^-3)^1/2 = 1 - x^-3

perché x^-3 ha D = R ma x^-3/2 ha D ⊄ R quindi è neppure

Impare x > 0. A primi esem non 3 ne 1/2 cioè diretto quindi un negozio non e` visivo è un numero (cesco)

Funzione reciproca

g(x) = α

D = R \ {0}, Im (g_f) = R \ {0}; è simmetrica, è suriettiva su R, si biettiva

• x ≥ 0 ⇨ è decrescente ov R^- e ov R⁺
• x < 0 ⇨ è crescente ov R^- e ov R⁺

Esempi

• g(x) = 1/x
• g(x) = -1/x

Funzioni esponenziali

f(x) = a^x a ∈ R \ {1}

• 0 < a < 1 ⇨ D = R; Im (g_f) = R⁺; è crescente, suriettiva su R⁺, biettiva.
• 0 < a < 1 ⇨ D = R; Im (g_f) = R⁺; è iniettiva, suriettiva su R⁺, biettiva, decrescente.

α² x a > 1

⇨ è sempre negativa esistivamente

TRASFORMAZIONI SUI GRAFICI

y = f(x)

trasformazioni:

1. y = f(x) + a
2. y = f(x + a)
3. y = k * f(x)
4. y = f(kx)
5. y = f(x) |
6. y = f(|x|)

1) y = f(x) + a

si ottiene una traslazione verticale di a unità verso l'alto se a>0, verso il basso se a0 verso destra se a1 ➔ dilatazione verticale di un fattore k

|k|1 ➔ compressione orizzontale di fattore 1/|k|

|k| 0 → (-∞, -1) ∪ (1, +∞)

Riprendiamo la funzione y = a^x

y = x^r = g(a^r)

log_e y = log_e g(x^r) → log_e y = g(x) log f(x)

x → f(x) → log_e g(x) = e

Definita in A(>x o), ma deve ricordare anche che

e^a ammesso anche se e (cos.) g(f(x) = e g(x) > 0

g(x) > 0, (x^a)