Appunti di segnali e sistemi

f(t) = (frequenze)

f(t) periodica T posso svilupparla nella serie di Fourier

f(t) = a₀ + ∑ (a_m cos(mωt) + b_m sin(mωt))

a₀ = ampiezza iniziale

ω = 2π/T

a_m = 1/T ∫₀^T f(t) cos(mωt)dt

b_m = 1/T ∫₀^T f(t) sin(mωt)dt

In questo caso

a_m = 1/T ∫₀^T/2 2V/T cos(n2πt/T)dt = 2V/T sin(nπ)

b_m = 2V/T ∫₀^T/2 sin(2πt/T)dt = 2V/πm (1-cos(mπ))

b_m = 2V/πm sin(mπ) = dispari

f(t) = V/2 + 2V/π [sin(ωt) + 1/3 sin(3ωt) + 1/5 sin(5ωt) + ...]

Spettro nel dominio delle frequenze

Trasformata di Fourier

Per applicare la formula devono essere assolutamente integrabili e continue a tratti.

f(t) = 1/√2π ∫₀^∞ g(ω)e^iωt dω

g(ω) = trasformata di Fourier

g(ω) = ∫₀^∞ f(t)e^-iωt dt

Ad esempio se fai prima:

g(ω) = √T ∫₀^T/2 (cos(ωt) + i sin(ωt)) dt

g(ωnω) = V/π sin(ωt) = 1 g(ω=-w)

Questa funzione è un seno cardinali sinc

Trasformata di Laplace

È un'estensione della trasformata di Fourier per le funzioni che non sottiano le ipotesi.

F(s) = ∫₀^∞ e^-stf(t)dt

s - variabile complessa s = σ + iw

Affinchè sia possibile l'integrale deve convergere.

Definiamo il campo di definizione della funzione

F(s) -   

dominio di convergenza

∃ se Re(s) > σ_c

Esiste audio e l'anti trasformata

F(t) = ¹/_2πj ∫_σ-j∞^σ+j∞ F(s) e^st ds

Ha 8 proprietà

A) Lineare L{af(t)+bf(t)} = Σ c_n e_n

B) Traslazione temporale L{f(t-t₀)} = F(s) e^-tos

C) Trasformazione in frequenza L{F(t)e ^- }=

D) Derivata L{ ^df/_dt } = SF(S) lim

E) Integrazione L{ ∫₀^t f(b)db } = ¹/_S F(S)

F) lim sF(S) - lim F(t)

G) lim SF(s) lim F(t)

∫_s→0          ∫_t→∞

^{s→0             t→∞}

V(S) = RI(S) + ¹/_sc I(S) + slI(S)

I(S) = ^V(S)/_{R2 + 1/s + s}

Assomiglia al metodo simbolico

27/9/2021

Richiamo circuiti

Componenti R,C,L    Elementi nella relazione tecnica e costante

Non lineari:

Componenti passivi R,L,C

   la potenza in uscita è minore di quella in entrata

Componenti attivi, generatori, transistori. La potenza in uscita

   può essere maggiore di quella in entrata

V(t) = Ri(t)

Impedenzia {Z} (

τ(t) = q(t) = ¹/_c∫₀^t i(t)dt

                          v(t)=L di(t)/dt

Come si comportano CR ed RC come integratori e derivatori

1. CR Derivatore

   T_rc = τS V_o(S) = T(S) V_i(S) = τS V_i(S)

   Faccio l'antitrasformata di SVi(S) ed è dV_i/dt

   Quindi V_o(t) ≃ τ dV_i/dt

2. RC Integratore

   T_rc = 1/τS V_o(S) = 1/s V_i(S)

   Antitrasformo V_i(S)/S → ∫₀^t V_i(t') dt'

   V_b(t) ≃ 1/τ ∫₀^t V_i(t') dt'

3. Risposta impulsina derivatore

   V_b(S) = τS V_A/S → V_o(S) = τ V_A

   V_b(t) ≃ V_A τ δ(t)

4. Risposta impulsina integratore

   V_o(S) = 1/τS² V_A

   V_b(t) ≃ V_A t/τ

Il derivatore fornisce il tempo di arrivo di un segnale. L’integratore somma tutto il pezzo della funzione. Ad esempio dà anche confini nel seguito della sua antitrasformata.

I_C = α_F I_E α_F = 0.98-0.995

I_C + I_B + I_E = 0

I_B = (1- α_F) I_E → I_E = - I_B / 1 - α_F

I_C = α_F / 1 - α_F

β_F

I_C è circa dalle 50 alle 300 volte I_B

Questo sistema, in attivo-inverso ha da α = 0.05

9/10/2017

Legge di Mora:

• Come si possono polarizzare i transistor
• Config. a base comune
• Config. a emettitore comune (è quella più usata)
• Effetto Early (le curve hanno una pendenza positiva)
• Config. a collettore comune

Come posso usare un transistor come amplificatore

A_V = - 1/R_C I_t I_C / V_T amplificazione

Il valore sarà stabile rispetto al segnale di ingresso.

Se R_e non segnale simmetrico

Punto di lavoro è dentro nella regione attiva A_Vmax = V_CE / 2V_T

• Controllare sempre che il transistor si trovi nella regione attiva
• Modello in continua del transistor
• Effetto Early: β_F dipende dalla tensione V_CE e V_iE
• Quando aumenta la regione di saturazione a cavallo della giunzione base-collettore si disimputa la base e migliorando l'efficienza.
• i_c = I_se^V_BE/nV_T(1 + V_CE/λnV_T)
• Polarizzazione di un transistor

I_BE = V_BE-V_BE / R_E + R_E / R_E + β_F

Modelli lineari per piccoli segnali