Appunti di segnali e sistemi

f(t) periodic T

f(t) = a₀ + Σ(a_ncos(nω₀t) + b_nsin(nω₀t))a₀ = ampiezza iniziale ω₀ = ^2π⁄_T A_m = ¹⁄_T∫₀^Tf(t)cos(nω₀t)dtb_n = ¹⁄_T∫₀^Tf(t)sin(nω₀t)dtIn quanto cosA_m = ^V⁄_π cos(^n2πt⁄_T)dt = ^2V⁄_Tπ sin(^nπt⁄_mπ)

b_n = ^2V⁄_π ∫₀^T/2sin(^n2π_t⁄_T)dt = ^2V⁄_2π (-cos(^nπ⁄_n) + Δ) = ^V⁄_πn (1 - cos(nπt)) = = ^2V⁄_πn sen(^nπ⁄_mπ) dispari 0 nei cos pari.f(t) = ^V⁄₂ + ^2V⁄_π [∑ ¹⁄₁ sen(1ω₀t) + ¹⁄₃sen(3ω₀t) + ¹⁄₅sen(5ω₀t) + ...]Spettro nel dominio della frequenze

Trasformata di Fourier

Per applicarla la funzione devono essere assolutamente integrabile e continue a tratti.f(t) = ∫_-∞^{∞ 1}⁄_2π e^-jω = g(ω)g(ω) = trasformata di Fourier ==∫_-∞^∞ f(ξ)e^{-iω ξ}dt Ad esempio Φ_ai prima:g(ω) = v₀ ∫_-T^T/2 (cos(ωt) + i sen(ωt)) dtg(mω) = ^vT⁄_π sen(^nπ⁄_mπ) |g(ω)|Questa funzione è un seno cardinal_ino sinc.

Trasformata di Laplace

È un estensione della trasformata di Fourier per le funzioni che non variano da ipotesi.

f(t) → f(_frequenze)

f(t) periodica T posso svilupparla nella serie di Fourier

f(t) = 1/T a₀ + ∑(a_ncos(nω₀t) + b_nsin(nω₀t))

a₀ = ampiezza iniziale

ω₀ = 2π/T

a_m = 1/T ∫₀^T f(t)cos(nω₀t)dt

b_n = 1/T ∫₀^T f(t)sin(nω₀t)dt

In questo caso

a_n = 2V/π ∫₀^T/2 cos(n(2πt/T))dt = 2V/π [sin(nπt)]

b_n = 2V/π ∫₀^T/2 sin(n2πt/T)dt = 2V/2π [-(cos(nπt)/n

=

2V/πm sin(nπ)

a_n = V/πm (1-cos(nπt)) = dispari

f(t) = V/2 + 2V/π [sen(ω₀t) + 1/3 sen(3ω₀t) + 1/5 sen(5ω₀t)...]

Spettrω nel dominio delle frequenze

Trasformata di Fourier

Per applicarla la funzione deve essere assolutamente integrabile e continua a tratti.

f(t) = 1/2π ∫ g(ω)e^iωt

g(ω) = trasformata di Fourier =

= ∫_-∞^∞ f(t)e^-iωt dt

Ad esempio che hai prima:

g(ω) = ν/π ∫₀^T/2 (cos(ωt) + i sen(ωt)) dt

Proprietà della trasformata

|g(ω)| = V/π sen(πt/2) = 1 |g(ω - ω)|

Questa funzione è un seno cardinale sinc

Trasformata di Laplace

È un'estensione della trasformata di Fourier per le funzioni che non partono da ipotesi.

F(s)=∫₀^∞e^-stf(t)dt

S-variabile complessa

s=σ+jω

Affinché sia possibile l’integrale deve convergere

Definisco il campo di della funzione

σ₀: ascissa di convergenza

∃ Se Re(s) > σ₀

Esiste allora e un’unica trasformata

Ha 8 proprietà

f(t)=¹/_2πj∫_σ0-j∞^σ₀+j∞ F(s) e^stds

a) Linearità

L{Σa_kf_k(t)}=Σa_kF_k

b) Traslazione temporale

L{f(t-t₀)} = F(s) e^-ts

c) Trasformazione in frequenza

L{f(t)e^αt}

d) Derivazione

L{^df/_dt} = SF(s) dim

e) Integrazione

L{∫₀^tf(b)db}=¹/_s F(s)

f) Lim S→0 SF(s)-Lim S→∞ SF(s)

g) Lim sF(s)- Lim s→+∞ (t)

V(s)= R I(s) + ^I/_sc(s) + sL I(s)

I(S)=^V(S)/_{R+L/S + s} Assembliglia al metodo simbolico

27/09/23

Cartarelli Circuiti

Componenti lineari R,C,L

Ainearati nella relazione tensione e corerete

Non lineari: transistor

Componenti passivi R,L,C la potenza in uschta è minone di quella in autata

Componenti attivi, generatore transistor. La potenza in uscita puō senenze maggiore di quella in entrata

v(t)= Ri(t)

v(t)= q(t)=¹/_c ∫₀^t i(t)dt

v(t)=L^di(t