Appunti Segnali e sistemi - Primo semestre

SEGNALE E SISTEMI

1. Tipi di segnali:

• CONTINUO (\u211d)
• Esponenziale: \( s(t) = Ae^{4\pi}\)
• Sinusoidale: \( s(t) = A \cos(\omega t)\)
• Finestra Rettangolare
• Finestra Triangolare
• Impulso Generico
• Segnale Generico
• Rampa Generale
• DISCRETO (\u2124)
• Impulso
• Gradino Generico
• Rampa Generica
• Finestra Rettangolare
• Esponenziale
• Sinusoidale

SEGNALE POTENZA E ENERGIA

• Energia: \( E_s = \int_{a}^{+\infty} |s(t)|^2 dt \)
• Potenza: \( P_s = \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |s(t)|^2 dt \)

Classificazione dei segnali:

1. Numero di variabili indipendenti: monodimensionali, multidimensionali.
2. Natura della variabile indipendente
3. Segnali a tempo continuo (segnale continuo) oppure "forma d'onda"

2.9 SEGNALI A TEMPO DISCRETO (SEGNALI DISCRETI)

O OPPURE "SEQUENZE"

3. AMPIEZZA DI SEGNALI:

3.1 SEGNALI AD AMPIEZZA CONTINUA

"SEGNALI ANALOGICI"

3.2 SEGNALI AD AMPIEZZA DISCRETA

"SEGNALI NUMERICI" O "DIGITALI"

Esempi:

"SEGNALI ANALOGICO TC"

"SEGNALI DIGITALE TC" "SEGNALI DIGITALE TD"

SEGNALI REALI E SEGNALI COMPLESSI:

x(t) ∈ R -> SEGNALE REALE

x(t) ∈ C -> SEGNALE COMPLESSO

("complesso coniugato")

FORMULE di EULERO:

e^jϕ = cos ϕ + j sin ϕ

Cos ϕ = _{e^jϕ + e^-jϕ} / ²

sin ϕ = _{e^jϕ - e^-jϕ} / ^2j

FASORI:

è UNA SEMPLICE oscillazione ARMONICA, descritta dal seguente sinusoidale a tempo continuo

V(t) = A cos (w_ot + ϕ)

A: Valore di Pico o "Ampiezza" della sinusoide

ϕ: L’angolo di FASE (l’istante che il pico del COSENO è spostato dall’origine... All’istante t.

w_o: la pulsazione o FREquenza in Rad/s.

v(t) è PERIODICO di Periodo T₀ = _2π / ^w_o

w_o = 2πf_o

(in Radianti al SECONDO)

f_o = ₁ / ^T_o = _wo / ^2π

(in HZ ccli al secondo)

V(t) = A cos (w_ot + ϕ) = _{A e^{j(wot + ϕ)} + A e^{-j(wot + ϕ)}} / ²

v(t) = A cos (2πf_ot + ϕ)

STABILITA

UN SISTEMA LTI CON RISPOSTA ALL'IMPULSO h(t) è stabile (alla BIBO) se e solo se:

∫_-∞^+∞ |h(t)| dt < ∞

y(t) = ∫_-∞^+∞ x(t-τ)h(τ)dτ: Può non esistere (= non fornire valori finiti) ⇒ succede se il sistema non è stabile BIBO.

L'integrale di convoluzione:

Si definisce convoluzione: x(t) * y(t) = ∫_-∞^+∞ x(t-τ)y(τ)dτ

• SE le funzioni sono SEMPLICI, Calcolo della convoluzione per via grafica.

1. Si ribalta y(t) ottenendo y(-t).
2. Si moltiplica per x(t) e si integra il valore TROVATO e y(t₀).
3. Si TRASLA y(-t) in t₀ per y(t₀-t), si moltiplica per x(t) e si integra il valore TROVATO e y(t₀).
4. Si ripete per tutti i valori di t₀.

SE UN SEGNALE POSSIEDE PARTE IMMAGINARIA NULLA

(= FT di UN SEGNALE Reale, PARI)

SE S(t) R_eaL_e = PARI = S(t) e posso scrivere:

F_polare: e^jwt = Cos (wt) - j Sen (wt) e S(t) è REALE

S(w) = ∫ s(t) [cos(wt) - j sin(wt)] dt

S(w) = ∫ s(t) cos(wt) dt - j ∫ s(t) sin(wt) dt

SE s(t) = S(t) (ovvero SE È PARI) il secondo integrale si ANNULLA (il SENO È DISPARI)

S(w) = {∫ s(t) cos(wt) dt} - [s(t)cos(wt) dt

S(w) È REALE, DEVE INOLTRE ESSERE PARI.

(Cioè solo il COSENO che è PARI)

FT di : UN SEGNALE REALE DISPARI:

SE S(t) = sia reale che dispari ^⇒ S(t) + S(-t)

s(t) è dispari e immaginario puro.

ovvero Re lo potete Ra po

S(w) = - j ∫ s(t) sin(wt) dt = {∫ 2j [s(t)sin(wt) dt]}

di NATo che prodotto di DUE FUNZIONE dispari è pari

È dispari si compara solo come argomento del SENO

che si DISP_ori

TRASFORMATE NOTE VOLI

Esponenziale:

∫_-∞^+∞ e^-|t| e^-j2πftdt = ∫_-∞⁰ e^αte^-j2πftdt + ∫₀^∞ e^-ßte^-j2πftdt

∫_-∞^+∞ e^-|t|e^-j2πftdt = ¹/_{α + j2πf} + ¹/_{α - j2πf}

Rettangolo:

Notazione: Π ( ^t/_T)

F ( Π ( ^t/_T) ) = ∫_-T/2^T/2 e^-j2πftdt

= ∫_-T/2⁰ e^-j2πftdt + ∫₀^T/2 e^-j2πftdt

= ¹/_Tπ (e^{j2πf T/2} - e^{-j2πf T/2}) / 2j

Dalla FORMULE DI EULERO

F ( Π ( ^t/_T) ) = ¹/_T sin (2πf T/2)

= T sin (fT)

∴ F ( Π ( ^t/_T) ) = T sin (fT)

Sinc:

È definito da: sinc X = ^sin(πX)/_πX

Il suo andamento è sinusoidale smorzato

Si annulla per "valori interi" di X

È vale uno nell'origine

L'inviluppo dei lobi si attutisce come 1/|X|

T sin (fT) è REALE E PARI, dato che Π ( ¹/_T) è pari e reale

I suoi zeri sono m = k/T

F (sinc (αt)) → ¹/_α Π ( ^f/_α )

L'area della sinc: ∫_-∞^+∞ sinc (αt) dt = ¹/_α Π ( ⁰/_α ) = ¹/_α

Serie di Fourier:

È un particolare tipo di rappresentazione su base ortogonale con funzioni sinusoidali o esponenziali complesse.

x(t): un segnale ad energia finita definito sull'intervallo (a₀, a₀+T₀) può essere rappresentato in tale intervallo dalla serie di Fourier:

x(t) = ∑_n=-∞^∞ C_me^j_nw₀t

Con C_m = ¹⁄_T0 ∫ x(t)e^-j_nw₀t dt

Con w₀

W₀ = 2πf₀ = ^2π⁄_T0

La condizione affinché la serie di Fourier esista:

• Energia finita (condizione sufficiente)
• Le condizioni di Dirichlet (anche se app.)

Cioè che qualunque segnale ad energia finita può essere scomposto in una somma di infiniti esponenti complessi Φ_m(t) e^j_mw₀t

Φ_m(t) per m ≠ 0 è periodica di periodo T₀/n

Per m = 0: Φ₀(t) ≡ costante = c₀

x(t)

f₀ = ¹⁄_T0 è detta fondamentale

x(t) sono dette armoniche

Φ_m(t) sono periodiche con periodo comune T₀

Minimo ΔT₀ (→ se il segnale x(t) è periodica di periodo T₀, la rappresentazione mediante serie di Fourier vale su tutto il fascio