Appunti Teoria dei segnali

TEORIA DEI SEGNALI

La teoria dei segnali si occupa dell'estrazione ed elaborazione dei segnali che vengono generati da dei sensori analogici (che molto spesso generano dei segnali aleatori).

Un segnale è la funzione in uscita da un sensore e la teoria dei segnali si occupa di studiare metodi per progettare e realizzare strumenti per l'estrazione di informazioni (di alto livello) dai dati grezzi (acquisita dai sensori).

Sensore - Elaborazione del segnale acquisito - Informazione (teoria dei segnali)

Campo applicativi: multimedia, biomedicina, telerilevamento, comunicazioni digitali.

Operazioni di un sistema di elaborazione dei segnali:

• Acquisizione/Campionamento: registrazione di una grandezza fisica in una forma manipulabile da sistemi elettronici (dal tempo continuo analogico a tempo discreto).
• Elaborazione (analisi): definizione di un sistema a tempo continuo/discreto, studio delle sue proprietà e degli effetti sui segnali elaborati (con la trasformata di Fourier).
• Progetto (sintesi): progetto di strumenti per l'estrazione di informazioni dai dati.

Nella rappresentazione di Fourier dei segnali, lo spettro (costituito da impulsi) ed importante il suo sviluppo del segnale è formato dalle ampiezze di ciascuna componente sinusoidale, la banda indica invece la frequenza massima presente nelle componenti sinusoidali (aventi ampiezza significativa). Per esempio la banda vocale è di circa 4kHz, mentre quella musicale è di 20kHz.

La definizione di segnale coincide con quello di funzione (y=f(x)). La variabile indipendente può essere a una dimensione (tempo) oppure a più dimensioni (come le coordinate spaziali, nel caso di elaborazioni di immagini). Si deve capire la natura di queste variabili per selezionare i giusti strumenti matematici.

La variabile indipendente può essere:

• continua (segnali analogici): trasformata di Fourier continua
• discreta (tempo discreto, cioè definita solo in certi punti): trasformata di Fourier per sequenze

La variabile dipendente invece può essere:

• deterministica: trasformata di Fourier
• aleatoria (quando, facendo un esperimento, ottengo sempre un segnale diverso): densità spettrale di potenza

Un segnale s(t) è a tempo continuo se è possibile associare V(t)ER un valore alla variabile s(t)

Un segnale s(t_k) è a tempo discreto se è possibile associare un valore di s(t_k) solo ai valori discreti della variabile indipendente (t_k=t₀+k·T_s, con _Z)

Un segnale è deterministico se il valore ad ogni istante è noto

Un segnale è aleatorio (o stocastico) se le quantità s(t) o s(nT_n) sono variabili aleatorie

La potenza elettrica è proporzionale al quadrato dei segnali V(t) o I(t). Nella teoria dei segnali si definisce la potenza istantanea del segnale s(t) (senza unità di misura) come segue:

POTENZA ISTANTANEA: P_i s²(t)

POTENZA MEDIA IN UN INTERVALLO T: P_m = 1/T₂ - T₁ ∫_T1^T₂ s²(t) dt

POTENZA MEDIO: P_m = lim_{T → ∞} 1/T ∫_−T/2^T/2 s²(t) dt

Un segnale è a potenza finita se P̅ < ∞

ENERGIA DEL SEGNALE: E = ∫_−∞^+∞ s²(t) dt

Un segnale è a energia finita se E < ∞ (un segnale a potenza finita è a energia infinita)

Un segnale è periodico (di periodo T₀) se s(t) = s(t + T₀)

Un segnale ha durata finita T se s(t) ≠ 0 per t &element; [−T₂, T₂]

Considero f(t) definita ∀t∈[a,b] con l'ipotesi che f(t) abbia energia finita ( ∫_a^b|f(t)|²dt < ∞

Tutte le funzioni quadrato-integrabili formano uno spazio lineare

Posso definire il prodotto scalare ⟨f,g⟩ = ∫_a^bf(t)*g(t) dt e quindi:

||f|| = √⟨f,f⟩ = √^a_b|f(t)|²dt e d(f,g)=||f-g||=g|| = √^a_b|f(t)-g(t)|²dt

E=⟨d(f,S_n)²⟩⟨f-S_n, f-S_n⟩

Siano f e g le funzioni a energia finita in [a,b], definisco Ψ: i{Ψi(t);i∈ℂN} con Ψi(t) ortogonali fra loro, cioè ⟨Ψs Ψs⟩ = ε se i ≠ j

⟨ΨiΨi⟩ = ∫_a^tΨi(t)Ψ*_i(t)dt=ε

Questo insieme di funzioni Ψ costituisce una base ortononale.

Definisco ora una base ortononale con segure (con un insieme di funzioni ortononale).

φ = {φi(t); i∈N} con φi(t) = ν;

||φi(t)|| = 1

Definisco S_n(t) ∑_i=0 c_i φ_i(t) tale che x(t)≈S_n(t) costruendo l'errore globale di approssimazione E_n= ^a_b|x(t)-S_n(t)| dt = < x - S_n, x - S_n ⟩

Devo quindi determinare c_i;i=0,1,2....n tale che E_n sia minima

Usando le proprietà del prodotto scalare otteniamo:

E₂ = ⟨x - ∑'_i=0 c_i φ_i, x - ∑_i=0 c_i φ_i ⟩=∑_Σ x, x - c_i φ_i + ΣΣΣ - ΣΣΣ