Appunti Segnali e Sistemi

SEGNALI E SISTEMI

1- Tipi Segnali

• Continuo (t ∈ R)
• Esponenziale → s(t) = Ae^φ₀t
• Sinusoidale → u(t) = A cos(ωt + φ)
• Finestra rettangolare → AΠ(t/T) T=1
• Finestra triangolare → AΛ(t/T) T=2
• Impulso generale → δ(t-t₀) = 1, ∞ t=t₀
• Gradino generale → A S_g(t-t₀) = A t > t₀
• Rampa generale → A S_u(t-t₀) = A t t > t₀
• Discreto (k ∈ Z)
• Impulso → δ(k-k₀) = 1 k = k₀
• Gradino generale → A S_g(k-k₀) = A k > k₀
• Rampa generale → A S_u(k-k₀) = A k k > k₀
• Finestra rettangolare → Π_N(r) = 0 KεK≠1
• Esponenziale → u(k) = Ac^φ₀k
• Sinusoidale → u(k) = Acos(θk + φ)

2- Segnali Potenza e Energia

Energia

E_υ = ∫_-∞^∞ (u(t))² dt

Potenza

P_υ = 1/2T ∫_-T^T (u(t))² dt

3- Sistemi a Tempo Continuo

(Analisi in t)

1 Modello Generico

∑_i=0ⁿ a_i dⁱ u(t)/dtⁱ = ∑_i=0^m b_i dⁱy(t)/dtⁱ

• n≥m → Sistema proprio
• n>m → Sistema strettamente proprio

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Evoluzione libera

* Equazione caratteristica

\(\sum_{i=0}^{N} a_i \dot{q}_i = 0\)

* \(a_{2}s^2 + \dots\)

• \(\Delta > 0 \quad \Rightarrow \quad q(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t} \quad \Rightarrow \lambda_1 e \lambda_2 \) soluzione dell'eq.caratteristica
• \(\Delta = 0 \quad \Rightarrow \quad q(t) = C_1 e^{\lambda t} + C_2 te^{\lambda t} \quad \Rightarrow \lambda \) soluzione dell'eq.caratteristica
• \(\Delta < 0 \quad \Rightarrow \quad q(t) = C_1 e^{\alpha t} \cos(\beta t) + C_2 e^{\alpha t} \sin(\beta t) \quad \Rightarrow\) soluzione dell'eq.caratteristica

* Evoluzione libera generica

\(q(t) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{k=0}^{n_i - 1} C_{ik} e^{\lambda_i t} \frac{t^k}{k!}\)

\(\Rightarrow\) \(n\) soluzioni equazioni caratteristiche

Asintotica stabilità

Dobbiamo imporre \(\lim_{t \to \infty} q(t) = 0\).

Risposta impulsiva

\(h(t) = d_0 s(t) + \sum_{i=0}^{n} \sum_{k=0}^{n_i - 1} d_{ik} e^{\lambda_i t} \frac{t^k}{k!} \int_0^t s(\tau) \, d\tau\)

\(d_0, d_1, \dots d_k\) si calcolano mantenendo al modello generale \(u(t) = S(t)\) e \(q(t) = h(t)\).

Evoluzione forzata

\(q_{ef}(t) = h(t)*\mu(t) = \int_0^t h(t-z)\mu(z) \, dz\)

\(= \int_0^t h(t-z)\mu(z) \, dz\).

Risposta in frequenza

\(\mu(t) = A e^{i(\omega t + \phi)}\)

\(\Rightarrow q(t) = A_0 A e^{i(\omega t + \phi + \phi_0)}\)

\(\begin{cases} A_0 = |H(i\omega)| \\ \phi_0 = \angle (H(i\omega)) \end{cases}\)

NB Se il sistema è bibi-sibile il \(H(i\omega)\) è uguale a \(H(s)\) con \(s = j\omega\).

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Proprietà

• Linearità

a₁v₁(t) + a₂v₂(t) ⇒ b₁V₁(f) + b₂V₂(f)

• Traslazione tempo

v(t-t₀) ⇒ V(f) e^-j2πft₀

• Traslazione frequenza

v(t)e^j2πf₀t ⇒ V(f-f₀)

• Convoluzione

v₁(t) * v₂(t) ⇒ V₁(f) · V₂(f)

N.B.

V(f) = ∑_k=-∞^∞ μk δ (f-k/T) ⇒ serie di fourier

9 - Caratterizzazione energetica segnali

Distinguiamo

SIGNALI ENERGIA

* Densità spettrale di energia (esd)

S_v(f) = |U(f)|²

SIGNALI POTENZA

* Densità spettrale di potenza (psd)

S_N(f) = lim (V_t(f))² t→∞ 2T

N.B.

v_t(f) → trasformata fourier segnale limitato.

10 - Sistemi tempo discreto

Modello generale

∑_i=0ⁿ Θ_i v(k-i) = ∑_i=0ⁿ b_i μ(k-i) k∈Z

a_o≠0 → sistema proprio a_o=0, b_o=0 → sistema strettamente proprio.

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15 - TRASFORMAZIONE DISCRETA FOURIER

DFT_k

V(N) → N-sequenza → V(k)=0 per k∉0 e k∉N

DFT^k =

1. ∑_k=0^N-1V(N)e^{-i 2πk/N} h=0, .., N-1
2. 0

LEGAME DTF↔DTF_T

DFT = DTF_T |_{μ = h/N}

La DFT è una versione campionata della DTFT con frequenza μ= h/N.

RICOSTRUZIONE SEGNALE

V(k) = 1/N ∑_k=0^N-1v(h)e^{i 2π/N kh}

Se h>N

DFT = DTF_T |_{μ = h/N}