Appunti di Scienza delle costruzioni - seconda parte

SECONDA parte Teoria e applicazioni

Teoria

23. Analisi della deformazione

24. Analisi della deformazione Equazioni di congruenza interna / di compatibilità di De Saint-

Venant (DSV) 11

25. Esercizi + Vincoli cedevoli Elasticamente ..19

a. Esercizio metodo cinematico 19

b. Esercizio struttura isostatica

c. Vincoli cedevoli elasticamente

26. Analisi della tensione ..23

a. Principio delle sezioni

b. Postulato di Cauchy

c. Teorema di Cauchy-Poisson ..25

d. Vincoli cedevoli ..27

27. Analisi della tensione ..29

a. Teorema delle reciprocità delle componenti di tensione

b. Corollario del teorema di reciprocità: reciprocità delle tensioni tangenziali

28. Cerchi di Mohr

29. Cerchi di Mohr

a. Continuazione teoria

b. Esercizio ..40

30. Legame costitutivo / reologico

a. Elasticità ..43

b. Linearità ..45

31. Legame costitutivo

a. Isotropia ..48

b. Legge di Hooke generalizzata ..49

32. Teorema dei lavori virtuali (TLV)

a. Ipotesi ..53

b. Tesi

c. Dimostrazione

d. Sforzo normale ..56

e. Momento flettente

33. Teorema dei lavori virtuali (TLV)

a. Taglio

b. Applicazione pratica

34. Applicazione TLV

a. Esercizio 1 ..61

b. Esercizio 2 ..63

35. Problema elastico ..64

a. Spiegazione ..64

b. Risultato: Equazioni di Navier/Lamé ..67

c. Esercizio ..68

36. Strutture iperstatiche (fisse)

a. Spiegazione ..69

b. Esempio ..69

c. Applicazione TLV in una struttura reticolare

d. Problema dei tre fili (o tre bielle)

37. Strutture iperstatiche (fisse)

a. Continuazione problema dei tre fili

b. Metodo di Williot (o cavalletto di Williot)

c. Esempio di iperstatica labile

d. Esercizio TLV

38. Esercizi iperstatiche con metodo cinematico e TLV ..78

39. Teoremi energetici

a. Teorema di Clapeyron ..89

b. Teorema di Betti

c. Teorema di Maxwell ..91

d. Teorema di Castigliano

e. Teorema di Menabrea ..93

40. Criteri di resistenza ..93

a. Introduzione

b. Criterio Galileo-Rankine-Navier

c. Criterio Grashof-De Saint Venant

d. Criterio Beltrami

e. Criterio Tresca-Guest

f. Criterio Huber-Henky-Von Mises ..98

41. o (o instabilità) 00

a. Introduzione .100

b. Instabilità di prima specie 101

c. Instabilità di seconda specie ..102

d. Prova di instabilità non Euleriana (terza specie) .103

42. Trave di Eulero ..104

a. Spiegazione 104

b. Esempi 106

43. Problema di De Saint Venant (DSV) ..108

a. Introduzione .108

b. Ipotesi 108

c. Spiegazione 111

44. DSV - Continuazione .112

a. Continuazione spiegazione con soluzione 112

45. DSV - Casi della sollecitazione* .117

a. Sforzo normale* .117

b. Flessione retta* ..118

c. Flessione deviata* .119

46. DSV Casi della sollecitazione* e altro 121

a. Tenso (o presso) flessione deviata* .121

b. 122

c. Presso (o tenso) flessione retta* 122

d. 123

e. Torsione semplice* ..124

47. DSV Casi della sollecitazione* e altro 125

a. Torsione semplice* ..125

i. Primo apporccio Problema di Dirichlet .125

ii. Secondo approccio ..125

b. Spostamenti Problema di Neumann-Dini .125

c. Sezione ellittica 127

Analisi della deformazione

Studio l'una all'altra

analisi cinematica legate

geometrico o

di virtuali

Ipotesi spostamenti permane

d. Sezione circolare (Cicala) 127

Il la all'infinitesimo

materiale continuità

fino matematico

si assioma

postula

come

e. Esempi di sezioni 128

di le di

stesse

materia volumi

finiti

hanno proprietà

chidedifinitfiei

48. DSV Casi della sollecitazione* e altro 130

a. Soluzioni approssimate Analogia idrodinamica 130

Ci dalle

disinteressiamo

b. Sezione rettangolare in parete sottile .130

cause

c. Profili chiusi in parete sottile 131

Deformazione dei

di di di

do

ogni volume

d. Taglio retto e taglio deviato* 133

variazione corpi

forma

processo

49. DSV Casi della sollecitazione* e analisi sezione a C 134

le il

Dobbiamo variabili

a. Taglio* 134

identificano

che

identificare processo dello

b. Cicala-Trefftz .134

di O

in

centrato

Prendiamo sistema riferimento qualsiasi

un spazio

un punto

c. Sezione C in parete sottile ..134

50. Esempio di sezione in parete sottile ..138

a. Stato di sollecitazione .138

b. Stato di tensione 138

c. Andamento delle tau ..139

CI

il nella

Ci finale

deformata

continuo

Consideriamo poi o

configurazione

i

ii iii iii XAI YAI

E ZAI

E

deformata A

del

allafine A

A A

detto

A di

trasformato

processo

XII III

TI ZIE

TI_Ia di

vettore A

spostamento

E

ILIADE EEEE

EEEE

funzioni spostamento

vettore

componenti

SI dove

u

u

u che

è vettoriale ci

un campo certe

assolvea

chiediamo se

Gifuni sii nero dipendono

proprietà

d

V V dal

z v

x y s

e

µ potrà ma

qualunque

essere

non il

dovrà congruente

essere con

di deformazione

campo al

nel di

che

Non si continuo

fratture o fessure campo

soggetto

generino

vogliamo

spostamento c

o IO

A

Non che due

vada Quindi

diverse

disporsi trasformate

a su

vogliamo impongo

le CI C

dromia solopunto

in

funzioni

M un

passano

Ci CI

E due

che

Potrebbe diversi

accadere punti

viceversa vadano in unicopunto

si trasformare

a un

Ma che di materia

sia anche

ci quindi

non compenetrazioni

vogliamo

Ci In dire

C che

equivale

conclusione

monodrama a nell

derivabili

biunivoche

io

u e

Efucontinue

u sempre

di

ipotesi spostamenti

piccoli

nel

Torniamo solo a

Iti i

di B

Prendiamo dove

volumetrico

intorno A ci anche

sia

infinitesimo

un A't B

Bi A

A B

A B

Congruenza definizione notgruenza

lo de

dimostriamo dalla

costruzione

non per per processo

Da Tracciamo di

A

di B

vettori

i

ricaviamo

questo una cosa

ne posizione e

de

La

VI il

Se al

fòra secondo

sottraiamo primo

de de

da

_Sa ds

dove di

Definiamo spostamento

una nuova gradiente

grandezza dal Le

le salir

cui

E tensore proprietà indipendenti

sono

un operatore

t

di dette dal d

matrice

sono

un indipendenti

componenti r

e sono

non s

CI

I

LI

I derivate e I

Se

E SI de

3 3 simmetrica antimetrica

simmetrica

ami

It

E CI simmetrica

E y y emisimmetrica

I dirette

deformazioni

E

Se Sa E de de vedi lezione

fine del

scorrimentiangolari ameno

42 vedi

lezione

fattore successiva

èt'ellediàtefitazioni

E c

EEEE

ha S

Si

spostamenti

piccoli di ge.ca

gradienti spostamento

piccoli e intesi

tenore

Isifi tensore

di rotazione

Geni rigida

o

i

cambiano segni

ha rotazioni attorno

E Wiz Wx agli assi

Wy

componenti

come

la

Analizziamo formula di

del

lo l'ipotesi

campodispostamen prevedeavendo rimosso

sviluppo che dello alla

dovuta

sia

rigido spostamento deformazione

parte

una quota

corpo cinematico

il

che metodo

anticipavano con

pura gia il termine

solo

di

Supponiamo avere primo

SI cioè

I ipotesi Ejjafini una

sovrapponibili

tà di alla

che volta

analizzare

mi consente di

effetti contributo

degli un e

totale

il dei

studiare effetti

singoli

somma

come

Stoke

dovuta a

A da

B due punti e

e sono HA

Se SI BE

Se

DEI di traslazione

identifichiamo un processo

rigida

termine

Quindi il traslazione

rigida

rappresenta

primo appunto

termine

Ora il

vediamo secondo

de la al

SI tensore

associata

E quadratica

forma nulla

ami

simmetrico è A

date de do

Vuol dire B

che in

9 se riguardiamo

il E

visualizziamo vettore di

e

che è rotazione

rigida

una

ed rotazione

termine

Quindi il secondo rigida

rappresenta appunto

Infine il delle

il terzo tensore

termine deformazioni

rappresenta pure

fisicodelle da

il

Ora modo

in

studieremo comprendere

sue componenti

significato

che il delle

tensore

dentro ci quantità

deformazioni sono

riconducibili

piccole

deformazioni

a pure del delle

Nota le tensore

all'interno

quantità piedenadifeiffiondi mesi

dal

definizione di

partire

a spostamento

gradiente

Quindi l'unità

scalari deformazione

una

quando

funzioni

sono rappresentiamo

ma c'è

di misura non

appunto il termini

Cerchiamo di dei

capire fisico

significato diagonali

il A

in

d

Spostiamo r

s Z TE dI

È tax

Égypte dotti

y

L di

la Stokes

Utilizziamo decomposiz

Èàà

Feritoie

B

in

deformazione

da la

da

Riscriviamo è

variabile

If rappresentativa x di

che consentono

mi

la fibra

della

calcolarmi deformata

lunghezza dex

La la

di de di lungo

z z

lungo per

proiezione proiezione

geometria

de T

ITdx

7E

VGI.ie

Mclaurin

III p

i

Ex D di

Ex diè relativa della

è variazione

una lunghezza

diretta

deformazione delle

del

Quindi le tensore

chiameremo deformazioni piccole

diagonali

componenti del

dirette In

deformazioni particolare seconda

come a segno

le dilatazioni

contrazioni

chiameremo o elongazione

oppure il delle

Che è

diretta

cos'è deformazione qual significato

una meglio

o

componenti

Questa fibra

misura

quantità disposta

una

diagonali originariamente

per

di al

la della medesimo

stessarispetto

variazione

asse lunghezza

lungo un

asse

Quando questenotazioni chiamano

si notazione

scriviamo ingegneristica

all di della

derivazione

si simbolo

associa componente

operazione

particolare

un ad Quindi

di di

coordinata le ipotesi

una

spostamento rispetto piccoli

ecco

dove da

di definizione

spostamenti piccoli spostamento

gradienti

e la

che

di unità

ha di misura

visualizza deformazione

nuovo non

Analisidella

Continuazione deformazione

al breve

ripasso d

ha il

Torniamo del cui

interno

in continuo su r

s

un punto origine di

Quindi i trasform

7 lunghezza passaggi

n

de deformata

fibra

dyle

daggett fat

day B B

CE

C

da

Itza

à le

Con moti

rigidi

of ipotesi no A

A in

rimane

Stokes

BA le

solo

rappresentati

qui sono proiezioni

Bit leloro è trascurabile

nel

l'errore C

confondere proiezioni

ma e con

iii

lo

Definiamo Xxy

inni

scorrimento E

angolare come I_0

due

tra

scorrimento fibre

dell'angolo ortogonali

Ci li trovo correlazione

concentriamo individuo

dy perché se

ax e una con

su e

delle

del

le correlazione

tensore ho

piccoledeformazioni

componenti una con

stimpifàiandoeetinfinièsimi dalla

Quindi

Aga

quindi trigonometria

a

Ida 9

d

di

iii Ex ex

1

ordine

superiore

lo

stesso definizione

rimane per

delle

il tensore piccole

Éperché

A gag

Yi è

y le

che

Abbiamo del extra

fattoreMa

ritrovato diagonali

componenti

a meno fisicodi scorrimenti

significato

Fiji III

Se altri duepiani

ripetiamo procedura

questa negli

angolari la relazione

identificano

le delle

tra variazioni component

corrispondenza al

di rispetto

spostamento

dite

Reparti le

di

terzo coordinate

sistema

I e

effettive deformazioni

if Ex 3

di

tra

cinematica

l'ammissibilità

Definiscono deformazioni

spostamento e

campo

Sono di

set

No relazioni qualifica

di

relazioni un

questo

sempre congruenza di

solo da

parte

si spostamentocon

se e un

se

congruente campo

processo

le indicate

restrizionisopra niente

fratture

derivabili

continue

funzioni di materia

compenetrazione

no

istigarono

Se la

così più

assicurerebbero

fosse

non non congruenza

di

dallo

cioè stato deformazione

parto

se voglio

e

Pecapitalaspofamento realtà

devo lo In

dimostriamo

non

integrare la Quindi

di

le

bastano costanti assicurare

non per

integrazione congruenza

C di

da Ch set di

abbiamo relazioni

un

per bisogno

passare aggiuntive

da memoria

a

imparare Cioè

di di

anche che

relazioni il

Sono deformazione

garantiscono processo

congruenza il di Ni

quindi

sia parto

spostamento

con se

congruente campo

sì altrimenti

ftp.onidiiggititie.tofatto bene devo

no

seta usare un

e

tÌÈÈÈÉÈ

ÈÈ

il delle la

tensore

Riscriviamo piccoledeformazioni con di la

scorrimenti a

angolari meno

Jef

Ex In gli stessi

anche tengo

se

indicinellaparte

DEI

Ey

E simmetrica

meta cambia

non

E dirette

deformazioni

teoremaspettrale

Sì il

E matrice diagonalizzabile

una per

Perché simmetrica è

è quindi forza

per

diagonalizzabile

extra nulle

tutte

soli le diagonali

diagonali

componenti

esiste simmetrica

Si appunto

perché reali

In che detto

che

autovalori siano

gli è

più non

sono

sappiamo

E'un autovalori

agli

problema

A X coincidenti

E essere

I possono

E E

E

principali

deformazioni Ea

1 3

le di

direzioni

autovettori

gli deformazione

principali principali

e sono delle

di il

In tensore

sistema deformazione piccole

principale siccome

un delle

il

di tensore piccoledeformazioni

sistemaprincipale deformazione le dirette

solo sole

vedo

contrazioni deformazioni

cioè

presenta e

elongazioni

chiamate

Che normali

deformazioni

sono

spesso dirette

le

Quindi Es

principali Ea

Ea

deformazioni deformazioni

sono

dal che

deriva si

direzione

autovalori

agli ciascuna

anzi principale

problema

presenta come le

Gli autovalori deformazioni

0 sono

È attàtiàtori le direzioni

E sono

g di deformazione

principali

o di

è

Una direzione scorri

risulta

associata

deformazione

principale a

se

nulli

menti definizione

contemporaneamente

angolari per

Le dimostrato hanno

abbiamo che fisico

diagonali significato

componenti E3

di dirette dirette

Ea Ea deformazioni

quindi

deformazioni e sono

detto prima

come di

Una direzione solo

deformazione

è principale se e se

Dik

Vij direzione

i principale

O con

il

Se sto di

il valori

cercando dei deformazione

minimo

massimo e

le

tra

diretta ricadono

essi deformazioni principali

E

Ea

Ea

Ei

Max

min

Se succede questo esempio

per È 5 principale

E o o

1 0 mu

nulli

associata scorrimenti entrambe

angolari

a di

risolvere

Quindi inutile andare

è 30

problema grado ora

un

a

di ha nulla che

Direzione deformazionenon a una

principale con

fare

d'inerzia

direzione principale

AI XI

CA XI O

I

A

det XI O reali

di terzo radici