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X115d X 1.5_1.5 11 I0 X 0.51,2 2.5Gi 62 630.5 2.02.5 tu malefatto adisegnoti Rione733 0TEma pò s onCa III geometriaUn di direttorecostante diluogo arcopunti cosenocon circonferenzadirettori costantidue coseni puntoprincipalecirconferenzaIl tensione èmassimaconluogo deidadato coseniuno zerosempre soloaltri V72glie se sonose ecirconferenzaprincipalesu unaSe cerchideiinprincipaliunonon sono cheè 450averonon sono conaltredue direzionile2 principali perdirettoriché dei coseniunose nonè 11 fanonzero unoiii 2 2si vida dila condizionequindi Perciòanaliticamentenormalizzazioneche chemai laèintuiamo non verotangenzialemassimacomponente fuorida dei cerchi siaprincipaliuno cosìdisposta deiilDeterminiamo puntiluogoV3ha 3002La il didell'arco omoteticacirconferenzaraggioètensionetargetinggassingDaMohr ETESEIConni cor 6 62 63 _nicoTi_ 61262 6ECon_GIHo stessodiversa centroottenuto circonferenzauna ma con dell'arcoraggioRim
MICIELI3 di circonferenzaomoteticaI matte Tmax mene1.3N69Nel dentrodirettoredi costantecasoparticolare sononaconun coseno sempredi Mohr l'omotetical'arbelo è piùsicuramentequindi dell'originariae piccolaavrebbecostanti avutomentre l'omotetica piùgrandensnese raggioocostruzione geometricaper CVIIIntdel ècheGiacitura Sappiamopunto neTraccioun'altraunitariaènPerché non iltra Quindil'intersezione prendofare circonferenzecirconferenza aper dilodi Se iltrovo Romcentro mettons n0 nell'equazioneraggioCE 0.75pergeometriaRIE CETmax RsRIE 1.5 n 03 VÈEQuindi direttoriho armata otutti cosenii dallacondizioneottenutadi normalizzazione ensnanecostitutivoLegame redogicoil deiVediamo materiale continuicostituente deldi unireCi tensioni deformazioni cerchioquadraturapermetterà conE E I equilibriolegameElastici icostiLINEARI Eg congruenzadirettoriscontrohaOMOGENEI non di didistribuzioneindipendenza
proprietà del punto materiale dalla direzione
Isotropi indipendenza
Elasticità la base di elasticità elastico materiale di
L'ipotesi cui si definizione esu di esistenza che è postuliamo modo deformazione Assumiamo o potenziale un'energia che di esista durante abbia deformazione un'energia e processo della le di quale deformazioni immagazzinamento spesa energia vengono la volta eliminata deformante recuperate causa una Il di deformazione definiamo vi scalare potenziale o energia come di
L'esistenza elastico anche chiamato Viene definisce questo potenziale potenziale elastico che materiali le ipotesi che ci interessano i quelli però sono per vale materiali un'altra proprietà elastici anche per
Itd elastico EEU potenziale o di deformazione energia nostra deve portarci è un'energia lo il di sbatti di in
Notazione vettore tensione tensore Voigt ese un prendi il di la d prendi tensore V quella stessa fai n deformazione e
eItd che di Quando è
dentrodevolavoroscriviamo buttareE formaunavalorii seguenti ExOx 6 TaTyTay deSy zz yde znel delleNondevo tensore a oxypiccoleconteggiarel altrimenti dlavoro12deformazioni 8gnon nasce za saxilcheesistaE descrivereelastico materialepotenzialesufficiente unpertraelastico relazionetrovare tensioni deformazionie una eIn darealtà ilil l'elasticità solosia potenzialenecessario potenzialeperno seppure biunivocaelasticoèdefi sufficientenon un legameperÈdue dadex te desEs_Èdu txT didalla definizione potenzialeExQuindi TayYe IfiE ilGEtrovato E cioè tensionecheabbiamo legamedeformazioni Il bastaelasticoE il contrario potenziale nonE EEtrovare EDobbiamo biunivoca perchélegameun spieghiamoora elasticità lineareuna non dada didefinizionequi potenzialeperÌÒ il dallaè tratto sotteso curvatratteggiatoMa allo divalore tensionestessoquiIÉ ridiamoIII che biunivocanoi siae comevogliamo dobbiamoquindilegameaggiungereclasseIi ulteriore diE unaggiungoderivazione dellederivateHdel matriceessianapo quadrata parzialidella cuiseconde annettefunzione aHit IEEE p un'altradire existeche complementare aacorrisponde energiadi chiamache sideformazionequella proprioI complementare complementarepotenziale energiao di 4domanda èl'esistenzaTE_a laE direE E che entrambestessa cosale O chiedo2 osopraITE didiNotazione di il le tensionetutteèVoigt componentiprodotto conEticitàEtere4 ACz WEEyGyGx E OxyEx Xyz TAZ ZZ GzXyle3 AIE ieeisiiiT.ttdevoderivareATTENZIONE unprodottoi FE EEEELa di potenzialeelasticodefinizione ExII SeQuindi E E esistesse ilE complementarepotenzialenonil vedi 4invertibile suirisulterebbe non 2 graficilegame al dellachedelle modo classeinpotenzialeelasticorestrizioni partefacciaAggiungiamo ildet Hchepiù2 yoPerché ilchesi definire elastico sialegame obisogna potenzialepossache il neldell'assianodi chenullodeterminante siaclasse puntoe nonole due Infatticheesistarelazioni ègraziecoincidano complementarel'energiaead il legameinversoesplicitarecheriusciamoa quest'ultimaLinearità Non dic'è6 più bisogno imporrehoinvertibileperchésicuramente ma proporzionalità 4diretta vie ugualie sonoIl il potenzialecomplementarepotenziale eelastico 92ugali valgonosono e12Y 6 EWPrendiamo il potenzialega ggeaSiamo diipotesiin deformazionespostamentipiccoli possiamoedi Mclaurin indiintorno stato deformatoserie ininsviluppareora un ÉTÉFELYA NYErW Ex LE iIEJELEMENTI CI dozxkftp.eestaf aGfgeE fszx aanaturalestato tensionatoquando deformato nonma liberobarrad'acciaio riscaldamentoesempio asoggettadella ci saràbarra sollecitazioneaggiuntivamaallungamento nessunanonleCosì tutte autotensioni se vannonediventataè 0forma quadraticaW unalaSe matriciale costruzionescrivo in forma per dettaE1 E sicuramente 0oleQuando stato abbiamodi tuttenulledeformazioneindeformatocomponenti sonoche si banale cioèdicesoluzione èquella l'energia zeroA il terminedellodello stato eliminaresoloindeformatoseguito primopossiamolo stato che didobbiamo tuttenaturaleinserire eliminareci consentepoisviluppole derivatelederivateprima Quindi solovediamo seconde perchénon compareallelederivatel'assiano dellache suevariabiliinserisco 2 funzione rispettooggetto loSi statostatodovuta naturaleche indeformato anchesiaimpone unotuttecosì letensioni cosìcitogliamo perlinaE GENEFEDELI IENEFI haIIa GILDEperchéderiva glitroncatodall'averLinearizzata infinitesimisuperiori 2adidalil vistalinearizzataè algebricoquindi puntopotenzialeperLet dinellerisultano6 lineare deformazionecomponentiessere espressione troncatoAbbiamo è troncatalinearizzato nonavessimoperché avremmose noniopiù noi bastacosìlinearizzazione amaunaIn matricialeformaE Cioè LEIE WiiihoQuindi insiememessoLa
La linearità dell'averdi l'elasticità linearità deriva richiede comportamento e linearizzato matematicamente. Il dilineare è certo ciascuna componente comportamento perché per dilineare tutte di tensione combinazione componenti deformazione le dell'assiano costanti che attraverso sono componenti queste il vale invertibile è l'assiano perché viceversa sempre.
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