Appunti Scienza Delle Costruzioni - Parte 2

SCIENZE DELLE COSTRUZIONI

"PRINCIPIO DI VOIGT"

• ε_xx
• ε_γ
• ε_t
• ε₄
• ε_l
• S₁/μv

← POSSO METTERE QUESTE DEFORMAZIONI A FORMARE UN VETTORE (6 x 1):

κ * A^ε = ε * A^z * A^τ

SOSTITUENDO ALLE ULTIME 3 LE γ, CIOÈ GLI SCORRIMENTI:

• ε_xx
• ε_γ
• ε_t
• ε₄
• ε_zz
• 2ε_xy
• 2ε_yx

ℒ = ζ^T * Є

SFORZI x DEFORMAZIONI

(RAPPORTI CED.):

• ε_xx | 1 | - v | - v | σ_xx
• ε_γ | v | 1 | - v | σ_γ
• ε_t | v | v | 1 | σ_t
• ε_zz
• ε_zx | ... ... ... | ...
• ε_γx

VETTORE DEGLI SFORZI

COIℰ: LE נ CREANO SOLO CAMBIAMENTI R ANGOLI

נ_zy = ζ^' * ( журнал ) zy -> SE LA INVERTO OTTENGO: נ_zy = ζ^'

ℊ_σ / μ

DIMOSTRAZIONE X IL LEGAME INVERSO ("LEGAME VOLUMETRICO"):

↲ DALLE DEFORMAZIONI CALCOLIAMO GLI SFORZI

• ζ_xx λ | λ+2ζG | λ
• ζ_γ = | λ | λ+2ζG | λ | Є_γm
• ζ_zz | λ | λ+2ζG | Є_zz

MATRICE DI RIGIDEZZA

ζ_χχ = χ(Є_xx + Є_γ + Є_zz) ²G: ζ_σx + 1

ζ_γγ = χ(Є_xx + Є_γ + Є_zz) ²G: Є_γ

ζ_zz = χ(Є_xx + Є_γ + Є_zz) ²G: Є_z

PIANO INVARIANTE, CIOÈ LA TRACCIA, CHE È LA DEFORMAZIONE VOLUMETRICA

-NON FACCIAMO QUESTO ANCHE PER UN х CONJ / DIFERENZ SOLO DA UNA z

Dimostrazione

Siano il legame diretto, cioè:

ε_xx = δ_xx - ν(δ_yy + δ_zz) + νδ_xx - νδ_xx =

ε_yy = δ_yy + νδ_xx - νδ_yy =

ε_zz = δ_zz - ν(δ_yy + δ_zz) + νδ_zz - νδ_zz =

1^o: aggiungo e sottraggo uno stesso numero, cioè è come se facessi + a - zero.

2^o: accorpiamo (raccolgo a fattor comune)

3^o: sostituisco la pressione

= δ_xx(&frac{1+ν}{E}) - ν[(δ_xx + δ_yy + δ_zz) / E] = 3p

= δ_yy(&frac{1+ν}{E}) - ν(δ_xx + δ_yy + δ_zz) = 3p

= δ_zz(&frac{1+ν}{E}) - ν(δ_xx + δ_yy + δ_zz) = 3p

4^o: sommiamo membro a membro le 3 equazioni e otteniamo:

ε_xx + ε_yy + ε_zz = δ_xx(&frac{1+ν}{E}) - 3p + δ_yy(&frac{1+ν}{E}) - 3p + δ_zz(&frac{1+ν}{E}) - 3p =

     =&frac{1}{E}(δ_xx + δ_yy + δ_zz)(1-2ν)

p: k =

5^o: porto dall'altra parte -ν/E

δ_xx(&frac{1+ν}{E}) - ε_xx + ν(δ_xx + δ_yy + δ_zz)

δ_yy(&frac{1+ν}{E}) - ε_yy + ν(δ_xx + δ_yy + δ_zz)

δ_zz(&frac{1+ν}{E}) - ε_zz + ν(δ_xx + δ_yy + δ_zz)

- IN OGNI PUNTO DOBBIAMO SAPERE SFORZI DEFORMAZIONI E SPOSTAMENTI

- METODO SEMI INVERSO: LO SFORZO SULLE FACCE IPOTIZZO SIA UNIFORME, QUEL SI SPOSTA SOLO LUNGO z E IN QUESTO CASO MI ASPETTO CHE SI ALLUNGI LUNGO z. E HO LA CONDIZIONE CHE ε_zz ED ε_zz È UGUALE AD UNA COSTANTE C:

b_zz = C

SOSTITUISCO QUESTA EQUAZIONE NELLE EQUAZIONI INDEFINITE (E SONO TUTTE 0):

• ∂₂/∂_x = 0
• ∂₂y/∂_y = 0
• ∂₂z/∂_z = 0

CASCUNO SFORZO LO POSSO MOTIPOCARE X l'AREA (DIVISA IN PARTI INFINITESIME), E LA LORO SOMMA MI DEVE DARE N:

∫ b_zz ∙ dA = N

MA: b_zz = C

QUINDI:

∫ C∙dA = C ∫ dA = N

c = N / A

- x PASSARE DAGLI SFORZI ALLE DEFORMAZIONI, APPLICO IL LEGAME COSTITUTIVO :

[ ε_xx = ν∙ε_zz 0 ν∙ε_zz ]

[ ε_yy = ν∙ε_zz ε_zz ε_zz ]

SAPENDO CHE b_zz = N / A ε_zz = N / EA

[ -ν∙N / EA 0 -ν∙N / EA ]

[ -ν∙N / EA N / EA N / EA ]

x GLI SPOSTAMENTI, DEVO INTEGRARE:

SAPENDO LE EQUAZ DI CONGRUENZA:

∂w_z / ∂z = ε_zz

LA LEGGE DEGLI SFORZI AMMISSIBILI

σ_max / λ < σ_ammiss ➔ VERIFICA DI RESISTENZA ALLE TENSIONI AMMISSIBILI

• Lo faccio per max σ_amm resistenza caratteristica coeff. di sicurezza (in genere 1.3 ÷ 1.5)
• σ_amm per CLS σmax 1 in trazione 20 MPa in compressione 1.5. λ cemento 200 MPa

Dallo sforzo dobbiamo trovare le deformazioni, attraverso il legame costitutivo:

Guscio trasversale, dove lo sforzo è positivo la trave dilatazione, dove è negativo, con compression, la trave si impagna.

X gli spostamenti, integro :

MOMENTO D'INERZI: