Appunti Scienza Delle Costruzioni - Parte 2

SCIENZE DELLE COSTRUZIONI

22/09/2017

"PRINCIPIO DI VOIGT":

E^e = ^T

POSSO METTERE QUESTE DEFORMAZIONI A FORMARE UN VETTORE

X^e = Δ^e x E^e = Δ₃ x Δ^T

SOSTITUENDO ALLE ULTIME 3 LE

L_σ = G^T . E^e

FORZE x DEFORMAZIONI

=

=

VETTORE DEGLI SFORZI

G^-1₇

DIMOSTRAZIONE x IL LEGAME INVERSO ("LEGAME VOLUMETRICO")

i

TENSORE DI RIGIDEZZA

PIANO INVARIANTE, CIOÈ LA TRACCIA

NON FACCIAMO QUESTO ANCHE PER LE x

Scienze delle Costruzioni

"Principio di Voigt":

Posso mettere queste deformazioni a formare un vettore

Sostituo alle ultime 3 le , cioè gli scorrimenti:

Sforzi e Deformazioni

Vettore degli sforzi

cioè le creano solo cambiamenti di angoli

se la inverto ottengo:

Dimostrazione per il legame inverso ("legame volumetrico"):

dalle deformazioni calcoliamo gli sforzi

tensore di rigidezza

piano invariante, cioè la traccia, che è la deformazione volumetrica

- non facciamo questo anche per ∪, che dipende solo da una .

Dimostrazione:

Sappiamo il legame diretto, cioè:

E_xx = ^δ_xx/_E - ^ν/_E (δ_yy + δ_zz) + ν ^δ_xx/_E - ν ^δ_xx/_E =

E_yy = ^δ_yy/_E - ^ν/_E (δ_xx + δ_zz) + ν ^δ_yy/_E - ν ^δ_yy/_E =

E_zz = ^δ_zz/_E - ^ν/_E (δ_xx + δ_yy) + ν ^δ_zz/_E - ν ^δ_zz/_E =

1. Aggiungo e sottraggo uno stesso numero, cioè è come se facessi + x - zero.
2. Accorpiamo (raccolgo a fattor comune)
3. Sostituisco la pressione

= ^{δ_xx (1 + ν)}/_E - ^ν/_E (δ_xx + δ_yy + δ_zz) = ^{δ_xx (1 + ν)}/_E - ^ν/_E · 3pI^o invariante

= ^{δ_yy (1 + ν)}/_E - ^ν/_E (δ_xx + δ_yy + δ_zz) = ^{δ_yy (1 + ν)}/_E - ^ν/_E · 3p

= ^{δ_zz (1 + ν)}/_E - ^ν/_E (δ_xx + δ_yy + δ_zz) = ^{δ_zz (1 + ν)}/_E - ^ν/_E · 3p

-3p -3 volte la pressione

4°: Sommiamo membro a membro le 3 equazioni e otteniamo:

E_xx + E_yy + E_zz = ^{δ_xx (1 + ν)}/_E - ^ν/_E · 3p + ^{δ_yy (1 + ν)}/_E - ^ν/_E · 3p + ^{δ_zz (1 + ν)}/_E - ^ν/_E · 3p =

= ^3p/_E + ^{δ_xx + δ_yy + δ_zz}/_E (1 - 2ν)

- ^3p/_E (1 - 2ν)

k = ^E/_{3(1 - 2ν)} p = k ·

"Bulk Modulus""Modulo Volumetrico"

5°: Porto dall'altra parte - ^ν/_E (nella formula che avevo prima di sommare membro a membro)

^{δ_xx (1 + ν)}/_E - E_xx + ^ν/_E (δ_xx + δ_yy + δ_zz)

^{δ_yy (1 + ν)}/_E - E_yy + ^ν/_E (δ_xx + δ_yy + δ_zz)

^{δ_zz (1 + ν)}/_E - E_zz + ^ν/_E (δ_xx + δ_yy + δ_zz)

6º: Moltiplichiamo per E/(1+ν) a sx e a dx:

bˣˣˣˣ = E/(1+ν) · ɛₓₓ + ν/E · (bˣˣˣˣ + 6γᵧ + 6γᶻᶻ)

3Φ = E/(1-2ν)

7º: Sostituiamo:

bˣˣˣˣ = E/(1+ν) · ɛₓₓ + E/(1+ν) · (ν/(1-2ν)) · Φ

bˣˣˣˣ = 2μ · ɛₓₓ + λ

"Teoria della trave secondo de Saint-Venant"

• Noi stiamo affrontando il problema strutturale
• Il solido "trave" secondo de Saint Venant è un oggetto in cui la lunghezza è molto maggiore rispetto alla sezione trasversale (circa 10 volte).
• Ipotesi di de Saint Venant: