Appunti Scienza Delle Costruzioni - Parte 2

Scienze delle costruzioni 22/09/2017

Principio di Voigt

"Principio di Voigt": E^e = ^T

Posso mettere queste deformazioni a formare un vettore X^e = Δ^e x E^e = Δ₃ x Δ^T

Sostituendo alle ultime 3 le LEL_σ = G^T . E^e

Forze x deformazioni = = vettore degli sforzi G^-1₇

Dimostrazione x il legame inverso ("legame volumetrico")

Tensore di rigidezza

Piano invariante, cioè la traccia

Non facciamo questo anche per le x

Scienze delle costruzioni

Principio di Voigt

Posso mettere queste deformazioni a formare un vettore

Sostituisco alle ultime 3 le , cioè gli scorrimenti:

Sforzi e deformazioni

Vettore degli sforzi

Cioè le creano solo cambiamenti di angoli

Se la inverto ottengo:

Dimostrazione per il legame inverso ("legame volumetrico")

Dalle deformazioni calcoliamo gli sforzi

Tensore di rigidezza

Piano invariante, cioè la traccia, che è la deformazione volumetrica

- Non facciamo questo anche per ∪, che dipende solo da una .

Dimostrazione

Sappiamo il legame diretto, cioè:

E_xx = ^δ_xx/_E - ^ν/_E (δ_yy + δ_zz) + ν ^δ_xx/_E - ν ^δ_xx/_E =

E_yy = ^δ_yy/_E - ^ν/_E (δ_xx + δ_zz) + ν ^δ_yy/_E - ν ^δ_yy/_E =

E_zz = ^δ_zz/_E - ^ν/_E (δ_xx + δ_yy) + ν ^δ_zz/_E - ν ^δ_zz/_E =

• Aggiungo e sottraggo uno stesso numero, cioè è come se facessi + x - zero.
• Accorpiamo (raccolgo a fattor comune)
• Sostituisco la pressione

= ^{δ_xx (1 + ν)}/_E - ^ν/_E (δ_xx + δ_yy + δ_zz) = ^{δ_xx (1 + ν)}/_E - ^ν/_E · 3p I^o invariante

= ^{δ_yy (1 + ν)}/_E - ^ν/_E (δ_xx + δ_yy + δ_zz) = ^{δ_yy (1 + ν)}/_E - ^ν/_E · 3p

= ^{δ_zz (1 + ν)}/_E - ^ν/_E (δ_xx + δ_yy + δ_zz) = ^{δ_zz (1 + ν)}/_E - ^ν/_E · 3p

-3p -3 volte la pressione

4°: Sommiamo membro a membro le 3 equazioni e otteniamo:

E_xx + E_yy + E_zz = ^{δ_xx (1 + ν)}/_E - ^ν/_E · 3p + ^{δ_yy (1 + ν)}/_E - ^ν/_E · 3p + ^{δ_zz (1 + ν)}/_E - ^ν/_E · 3p == ^3p/_E + ^{δ_xx + δ_yy + δ_zz}/_E (1 - 2ν)- ^3p/_E (1 - 2ν)

k = ^E/_{3(1 - 2ν)} p = k · "Bulk Modulus" "Modulo Volumetrico"

5°: Porto dall'altra parte - ^ν/_E (nella formula che avevo prima di sommare membro a membro)

^{δ_xx (1 + ν)}/_E - E_xx + ^ν/_E (δ_xx + δ_yy + δ_zz)

^{δ_yy (1 + ν)}/_E - E_yy + ^ν/_E (δ_xx + δ_yy + δ_zz)

^{δ_zz (1 + ν)}/_E - E_zz + ^ν/_E (δ_xx + δ_yy + δ_zz)

6º: Moltiplichiamo per E/(1+ν) a sx e a dx:

bˣˣˣˣ = E/(1+ν) · ɛₓₓ + ν/E · (bˣˣˣˣ + 6γᵧ + 6γᶻᶻ)

3Φ = E/(1-2ν)

7º: Sostituiamo:

bˣˣˣˣ = E/(1+ν) · ɛₓₓ + E/(1+ν) · (ν/(1-2ν)) · Φ

bˣˣˣˣ = 2μ · ɛₓₓ + λ

Teoria della trave secondo de Saint-Venant

Noi stiamo affrontando il problema strutturale

Il solido "trave" secondo de Saint Venant è un oggetto in cui la lunghezza è molto maggiore rispetto alla sezione trasversale (circa 10 volte).

Ipotesi di de Saint Venant