Appunti teoria Scienza delle costruzioni - parte 1

COSTRUZIONI (agire alle)

→ STRUTTURA: obbiettivo sopportare azioni esterne

“ossatura” funzione di tipo strutturale

STRUTTURA è soggetta ad azioni esterne (note)

l’azione esterna è nota ANALISI STRUTTURALE

obbiettivo: determinare risposta STRUTTURA

↓

verifica di tipo prestazionale sulla struttura

(è adatta o no) idonea

Costruire un modello matematico

↓

STRUTTURA in un insieme di equazioni

↓

Risolvere

↓

Trovo risposta STRUTTURA

2 modelli strutturali: - solidi deformabili

Travi

• travi

1 dimensione che prevale sulle altre due

costruiremo modello per le travi

Travi

Poiché le travi hanno la caratteristica geometrica di essere allungate, noi definiamo due elementi geometrici:

• asse
• sezione trasversale

Riduciamo il comportamento geometrico

• asse geometrico

(ad ogni punto è assegnata la sezione)

immaginiamo di separare il corpo in due parti

(forze di tens. uniformi)

la coppia S e M si chiama AZIONE INTERNA 3 componenti 3 componenti

(6 comp) caratteristica dell' azione della sollecitazione interna

mom. vede per le tensioni vedo rise e momento riso. (perché ho ridotto tutto all'asse)

solido 3D -> tensioni (punto per punto) trave -> Azione interna (scelto rise e mom. rise)

equilibrio

N+dN - N + ρ * dz = 0

_{forza interna}

^dN/_dz + ρ = 0

equaz indefinita di equilibrio

_{forza esterna}

equaz. ai cimitì (alle estremità della trave)

z = 0 , z = l

lo sforzo normale va a coincidere

con la forza concentrata applicate

dell'estremità in direzione dell'asse

equaz. equil. ai limiti quando N é noto

^z=0_N=HA equilibri

^z=l_N=F

p*dz - N = 0 → N = 0

risposta della struttura

conoscono

W, E, N

Se è equilibrio è possibile (la solu esiste)

allora la soluzione è unica

a meno di un moto rigido

esempi

F non esiste

F unica

W=0 N=F

dN/dz = 0

costante

N = C₁ j z⁰ l

N=F

C₁ = F

dW/dz = F/EA

W = F/EA z + C₂

N = EA e

e = F/EA

allungamento elastico

W=F/EA z

W(0) = 0

C₂ = 0

2- Le due sezioni subiscono uno spostamento relativo in sezione trasversale all'asse

3 - Rotazione relativa

_curvatura

equazioni indefinite di congruenza, legano spostamenti e deformazioni, conoscere la deformazione della trave significa

le sezioni si mantengono piane e ortogonali all’asse geometrico deformato

dualità eq e congruenza

dN/dz + ρ = 0

dT/dz + q = 0

dM/dz = T

N = EAε

T = GAℓγ

M = EIχ

ε = dw/dz

γ = dv/dz + φ

χ = dφ/dz

equazioni del modello

alle estremità conosciamo N₁, u₁, T₁, v₁ M₁, φ₁

π/2 - φ = γ

ε = 0   γ = 0   χ = 0 ↔ moto rigido

1) w = cost, v_z = 0, φ = 0   trasl. oriz

2) w = 0, v_z = cost, φ = 0   trasl. verticale

3) w = 0, φ = φ₀, v_z = -φ₀ z   rotazione

Risolviamo questo caso utilizzando le equazioni del modello trascurando la deformazione e igorio

ε = 0

χ = -_Cz / _EI

d_ω/d_z = ε

φ = -_Cz²/_EI2 + C₅

ψ = -d_v/d_z

v = -_Cz³/_EI6 - C₅z + C₆

d_N/d_t = 0 → N = C₁

d_M/d_z = T

μ = -_Cz / _EI

M_z = C₃t + C₅

C₂ + C₃ = -c₄

Struttura isostatica

Riesco solo con eq di equilibrio

Se fosse iperstatica dovrei mettere tutte le equazioni insieme

quello che conta è il

piano tangente alla top da

ho scelto nel punto P

e qui non

cambia perché abbiamo stesso piano tangente

possibili piani tangenti

sono comunali infiniti

la tensione

DIPENDE dal punto

e dalla GIACITURA

(piano di tel,)

tangente

tensione

giacitura di normale

t_a

P

a =

versore

normale

(la normale)

mi identifica la giacitura

tensione si dice

nel punto e su quale

giacitura e

a

cambio

giacitura

cambia

tensione

(verso, direz,

intensità)

t_a = t_a · a = s_a · a = s_a1 s_a2 a

t_ab = t_a · b = s_a · b = b^T s_a a

due giaciture in un punto

leggi reciproca delle tensioni tangenziali

(x simmetria):

t_ab = t_ba

DIM.: t_ab = t_a · b = s_a b = b^T s_a =

t_ba = t_b · a = t_b · a =

possibile pensà:

tens degl sforzi

è simmetrico

→

= a^T s_b b = →

= s_b b · a = t_b a · →

= t_ba

isoliàmo una parte

forma qualunque

→ dobbiamo mantenerlo immoveblió.

∫ d du_s ^{t_a dS} = 0 ∫p

parte tiddessa il

area

autovalori

de tutte le direz

del piano ortogonale

degenei sono auto vettori

se coincidono abbiamo sono auto vettori se coincidono qualunque è auto vettore

(_σ1, a₂^-)

(_σ2, a₂)

(_σ3, a₃^-)

dell termine della matrice dei coef=0

determinanti invalicanti dei minori di tensione di sempo

non dipendano I₁^- I₃^- di co

del sistema di riferimento

la matrice che rappresenta le componenti dipende del sistema di riferimento, mentre autovalut e autovettori no otteniamo gli stessi

primi di (A^(-)1) direz.

calcolo autovalori e autovettori

(σ_i, i₃^-)