Appunti di scienza delle costruzioni - modello di trave piana

TRAVE PIANA

Una trave si definisce piana quando il suo asse giace in piano π (detto piano della trave) ed inoltre sia le forze agenti su di essa che gli spostamenti subiti dai punti della trave giacciono in un piano, detto

PIANO DELLA TRAVE

Consideriamo una generica trave Ξ ed il suo asse rettilineo Σ(ź) che è la proiezione a misura retta della trave Ξ.

Sia G₀, G₁, G₂ e τ il riferimento scelto avente origine nel baricentro G della sezione retta iniziale Σ₀ di Ξ.

Detto infine che consideriamo come piano della trave il piano di proiezione (notoriamente perpendicolare al proprio asse (vedi sopra).

Inoltre, si suppone che la trave resti concicente col proprio asse, etc per costruzione coincidente con l'asse τ

Spostamenti generalizzati di una trave piana

Sappiamo che gli spostamenti generalizzati per una trave solida sono individuati dai vettori (V, φ), entrambi funzioni di τ ed entrambi aventi ciascuno 3 componenti, in particolare:

• V = (V₁, V₂, V₃) dove V_i (i = 1, 2, 3) rappresenta le traslazioni lungo l'asse G_i
• φ = (φ₁, φ₂, φ₃) dove φ_i (i = 1, 2, 3) rappresenta le rotazioni intorno all'asse G_i (i = 1, 2, 3)

Siccome nella trave piana vi siano punti nel piano _G1, _G3 (_E3 = ξ),

le uniche componenti di spostamento della generica sezione retta _Σ(t)

saranno:

• V₂ = spostamenti lungo l'asse _ξ2 = V
• V₃ = spostamenti lungo l’asse _ξ3 = W
• φ₁ = rotazioni intorno all’asse _ξ1 = Φ

Nella trattazione seguente scriveremo sinteticamente

• V₂ = V
• V₃ = W
• φ₁ = φ

Quindi un campo di spostamento per una trave piana sarà del tipo:

μ = (V, W, Φ)

Deformazioni generalizzate per la trave piana

le uniche componenti delle deformazioni generalizzate (γ, θ) sono:

• γ₂ (t) = dV₂/dt + φ₁ DEFORMAZIONE TAGLIANTE LUNGO L’ASSE _Εg2 γ
• γ₃ (t) = dV₃/dt DEFORMAZIONE ASSIALE Ε
• Θ₁ (t) = dφ₁/dt CURVATURA FLESSIONALE Θ

Per semplicità notazionale poniamo:

• γ₂ (t) = γ
• γ₃ (t) = Ε
• Θ₁ (t) = Θ

Il vettore delle deformazioni della trave piana sarà quindi:

Ε = (γ, Ε, Θ)

N.B. Adesso Ε rappresenta il vettore delle deformazioni generalizzate della trave piana, non il tensore delle deformazioni.

Ricordando le rotazioni prima dette possiamo dire che:

• γ = dV/dt + φ
• Ε = dW/dt
• Θ = dΦ/dt

Che rappresentano le deformazioni generalizzate per la trave piana

risulteranno intercettati ad un'uguale distanza dall'asse della trave. L'angolo formato da tale piano sarà proprio pari a d

Geometricamente risulta che

Nota:se fa semplicemente ruotare ela,il momento applicato all'elementoinferiore del trav... è partiuse lo espece al senso corrispunkteil tutto varía.

use ₃ = 0, quindi:

₃ = ¹/_{B 13} = ₂₃/

però ₃ = e G risulta proprio:

= ₃ = ₂₃/

da cui si riceve

₃ = ₃ e ₂₃ = ₃

Riepilogiamo sul che:

1. ₃ è la componente della torsione locale _C lungo _r, quindi:l'integrale di tutte le ₃ sulla sezione retta Σ(t) ci dà proprio lo sforzo normale

N = ∫_{Σ(t) 3} dΣ

2. ₂₃ è la componente dello sforzo locale τ diretto lungo ₂ quindi:l'integrale di ₂₃ sulla generica sezione retta Σ(t) ci restituiràil taglio

T = ∫_{Σ(t) 23} dΣ

3. Il prodotto fra ₃ e la distanza γ lungo ₂ dal punto incui è applicata ₃ rispetto all'asse ₁, ci restituirà il momentoflettersi intorno a ₁

d'integrale di sulla sezione retta Σ(t) ci restituirà il momento flettente

= ∫_Σ(t) dΣ = ∫_{Σ(t) 3} .γ dΣ