Appunti di scienza delle costruzioni - modello di trave piana

Trave piana

Una trave si definisce piana quando il suo asse giace su piano Π (detto piano della trave) ed inoltre sia le forze agenti su di essa che gli spostamenti subiti dai punti della trave giaciano in un piano, detto fattipiano nel piano Π.

Piano della trave

Consideriamo una generica trave _C ad asse rettilineo. Sia Σ(t) la generica sezione retta della trave _C, sia _G0, _f1, _f2, _τ il riferimento ortogonale avente origine nel baricentro _G0 della sezione retta iniziale Σ₀ di _C. D'ora in poi definiremo come piano della trave il piano di proiezione frontale, individuato dagli assi (_f1, _τ). (_τ = m)_f2 = u_{G2 τ}. Inoltre, si suppone che la trave resti vincolata col proprio asse, cioè per costruzioni coincide con l'asse τ.

Spostamenti generalizzati di una trave piana

Sappiamo che gli spostamenti generalizzati per una trave solida sono individuati dai vettori (V, φ), estremità funzione t e nei sottocampi aventi ciascuno 3 componenti, in particolare:

• V = (V₁, V₂, V₃) rappresenta la traslazione lungo l'asse _{f i}
• φ = (φ₁, φ₂, φ₃) rappresenta la rotazione intorno all'asse _{f i} (i=1,2,3)

Trave piana

Una trave si definisce piana quando il suo asse giace in piano π (detto piano della trave) ed inoltre sia le forze agenti su di essa che gli spostamenti subiti dai punti della trave giacciono in un piano, noti precisamente nel piano π.

Piano della trave

Consideriamo una generica trave τ ad asse rettilineo. Sia Σ(t) la generica sezione retta della trave τ, sia G₀, ξ₁, ξ₂ e τ il riferimento cartesiano avente origine nel baricentro G₀ della sezione retta iniziale Σ₀ di τ. D'uso, si può identificare come piano della trave il piano di proiezione ortogonale, individuato dagli assi (ξ₁, τ).

• ξ₁ = x
• ξ₂ = y
• Σ_x = N
• φξ₂ = v

Inoltre, si suppone che la trave resti coincidente col proprio asse, e si costruisca coincidente con l’asse τ.

Spostamenti generalizzati di una trave piana

Sappiamo che gli spostamenti generalizzati per una trave solida sono individuati dai vettori (V, φ), entrambi funzioni di τ e gli entrambi vettori ciascuno 3 componenti, in particolare:

• V = (V₁, V₂, V₃) dove V_i: (i=1,2,3)] rappresenta la traslazione lungo l'asse ξ_i
• φ = (φ₁, φ₂, φ₃) φ_i: (i=1,2,3) rappresenta la rotazione intorno all’asse ξ_i (i=1,2,3)

Sezione nella trave piana di seiassi posti nel piano

Le uniche componenti di spostamento della generica sezione retta sono:

• V₂ = spostamenti lungo l'asse ξ
• V₃ = spostamenti lungo l'asse ζ
• Φ₁ = rotazioni intorno all’asse ξ

Nella trattazione seguirà conosciuta:

• V₂ = V
• V₃ = W
• Φ₁ = Φ

Quindi un capo di spostamento per una trave piana sarà del tipo: μ = (V, W, Φ)

Deformazioni generalizzate per la trave piana

Le uniche componenti delle deformazioni generalizzate sono:

• ξ₂ (t) = dV₂/dt + Φ₁ — DEFORMAZIONE TAGLIANTE LUNGO L’ASSE
• ξ₃ (t) = dV₃/dt — DEFORMAZIONE ASSIALE
• ξ₁ (t) = dΦ/dt — CURVATURA FLESSIONALE

Per semplicità notazionale poniamo:

• ξ₂ (t) = γ
• ξ₃ (t) = Ε
• ξ₁ (t) = Θ

Il vettore delle deformazioni della trave piana sarà quindi: Ε = (γ, Ε, Θ)

N.B. Adesso Ε rappresenta il vettore delle deformazioni generalizzate della trave piana, non il tensore della deformazioni.

Ricordando le rotazioni prima avviate poniamo quindi che:

• γ = dV/dt + Φ
• Ε = dW/dt
• Θ = dΦ/dt

Forze generalizzate per le travi piane

In una trave piana le uniche componenti della forza generalizzata risultaranno essere:

• Q₂ → componente lungo ξ₂ = Y del carico distribuito q
• Q₃ → ξ₃ = τ q
• Q₁ → ξ₁ = M della coppia distribuita e

Avremo una volta per semplicità notazionale, si pone: Q₂ ≡ q ; e ≡ Q