Appunti di scienza delle costruzioni modello di Timoshenko - di Eulero Bernoulli

Modello di Timoshenko e Modello di Eulero Bernoulli

Consideriamo un esempio applicativo che risolviamo sia con il modello di Timoshenko, sia con il modello di Eulero-Bernoulli e vediamo quando si deve utilizzare uno e quando l'altro.

Calcoliamo lo spostamento V_B considerando il modello di Timoshenko.Da teorema di Timoshenko si basa sull'ip. che, nelle deformazioni, la generica sezione retta della trave si consideri piana ma non necessariamente ortogonale alla configurazione deformata della linea d'asse.

Questo è un problema flessionale nel piano (y,ζ)

1. dT/dt_z + φ = 0

2. dH/dt_y − T + q = 0

3. γ = κT/GA

4. Θ = M/EI

5. γ = dv/dt + φ

6. Θ = dφ/dt

Le condizioni al contorno sono:

• V_A = 0

• T_B = 0

• φ_A = 0

• H_B = 0

Integro la (1)

∫₀^l dT/dt dt + ∫₀^l φ q dt = 0

poiché si che per z = l, il taglio è nullo.

T(t) − T(l) + φ (z−l) = 0 ⇒ T(t) = q(l−ζ)

MODELLO DI TYMOSHENKO e MODELLO DI EULERO BERNOULLI

Consideriamo un esempio applicativo che risolviamo. Se uso il modello di Timoshenko, se uso il modello di Eulero-Bernoulli e risolviamo quando si abusa tutto l'uno e quando l'altro.

Calcoliamo lo spostamento V₀ considerando il modello di Timoshenko da quello di Timoshenko si fare sull' hp: che, nella deformazione, la generica sezione retta della trave si consideri piana ma non necessariamente ortogonale alla configurazione deformata della linea d' asse.

Questo è un problema flessionale nel piano (y, z).

1. _Tz²/d_t + φ = 0
2. dH^zy/d_t - T + e_z⁰ = 0
3. γ = Kτ/GA
4. Θ = M/EI
5. γ = dv/dt + φ
6. Θ = dφ/dt

Le condizioni al contorno sono:

V_A = 0

T_B = 0

φ_A = 0

H_B = 0

Integro la 1)

1. ∫₀^l dt/dt dt + ∫₀^l q dt = 0

Poichè si che pone per z = l, il taglio è nullo.

T(z) - T(l) + φ(z-l) = 0 → T(t) = q(l-t)

Integro la

∫_γ^{c dH}⁄_dt dt - ∫_γ^c dt = 0 ⇒ ∫_γ^{ξ dH}⁄_dt dt - ∫_γ^ξ q(l-i) dt = 0

M(ξ) - M(γ) = q l ξ - q ξ²⁄₂

M(γ) = q l γ - q γ²⁄₂ + q l²⁄_γ

M(ξ) = qlξ - qξ²⁄₂ + q²l²⁄_γ

∫_γ^{ξ dφ}⁄dt = ∫_γ^{ξ M}⁄_EI

ξ_y = 0 ⇒ φ = 0

φ(ξ) = - ¹⁄_EI ( q l ξ² - q lξ² ξ - qξ³⁄₆ + q ξ²⁄₂)

I = - ¹⁄_EI ( -q ξ³⁄₆ + q l ξ - q lξ² + q lξ²)

Integro

∫_γ^{ξ dV}⁄_dt dt + ∫_ty^t φ dt = ∫_ty^{t χ T}⁄_GA dt

V(ξ) = ^{q l4}⁄_{8 EI} + q ^ξ2⁄_{2 GA}

^dν⁄_dt

^d2i⁄_dt² = -EI ^d3ν⁄_dt³

q⁹ = EI d⁴v/dt => d⁴v/dt² = q/EI

Risolvendo l'equazione delle linee elastiche ottengo:

V(x) = qQ²/4EI x² - qL/6EI x³ + qL⁴/24EI

V_B = V(x=L) = qQ⁴/24EI - qL⁴/6EI + qQ⁴/4EI = 1 - 4+6/24EI Qq⁴ = i/8 qQ⁴/6EI

Quindi:

V_B^(E-B) = qQ⁴/8EI

V_B^(T) = qQ⁴/8EI + X qQ²/2GA

Definiamo Δv^(T), XqQ²/6GA la quantità che differenzia lo spostamento secondo Euler-Bernioulli allo spostamento secondo Timoshenko. Quindi abbiamo:

Δv^(T) = X qQ²/6GA , V_B^(E-B) = qQ⁴/8EI

Effettuiamo il rapporto:

Δv^(T)/V_B^(E-B) = XqQ²/6GA qQ⁴/8EI = 4.XEI/GA Q²

Per una sezione rettangolare

I_x = b h³/12 , Δ = b.h

Problema di flessione e taglio secondo la teoria di Eulero-Bernoulli

Consideriamo le equazioni indeterminate di equilibrio per una trave piana

1. dT/dt + p = 0