Appunti di scienza delle costruzioni modello di Timoshenko - di Eulero Bernoulli

MODELLO DI TIMOSHENKO E MODELLO DI EULERO BERNOULLI

Consideriamo un esempio applicativo che risolviamo sia con il modello di Timoshenko, sia con il modello di Eulero Bernoulli e risolviamo quando si disfa uno e quando l'altro.

Calcoliamo le rotazioni θ_B considerando il modello di Timoshenko la trave di Timoshenko si fa sull'ip... elle nella deformazione, la direzione della trave si considera piano, una trave accorcivamente ortogonale alla configurazione deformata delle linee di asse.

Questo è un problema flessionale nel piano (y, z)

1. \( \dfrac{dT}{d\it{t}} + \varphi = 0 \)
2. \( \dfrac{dH}{d\it{t}} - T + \epsilon^0 = 0 \)
3. \( \gamma = \dfrac{K\it{T}}{GA} \)
4. \( \Theta = \dfrac{H}{6\it{T}} \)
5. \( \gamma = \dfrac{d\it{v}}{d\it{t}} + \varphi \)
6. \( \Theta = \dfrac{d\varphi}{d\it{t}} \)

Le condizioni al contorno sono:

• V_A = 0
• T_B = 0
• \( \varphi \)_A = 0
• H_B = 0

Integro la 1)

\( \int_{0}^{l} \dfrac{dt}{d\it{t}} dt + \int_{0}^{l} \it{q} dt = 0 \)

poiché si deve per z = l, il taglio è nullo.

\( \it{T} (t) - \it{T} (l) + \varphi (z - l) = 0 \rightarrow \it{T} (t) = \it{q} (l - z) \)

Indico la ^q

∫_a^b q _{Δ 2} dt = q

∫_a^b q d

∫_a^b q d

q_a q_a + q_b

Indico ⁶

∫^b_a d₂ dt =

q_a (- q¹²_a- q²¹_a + q¹³_a)

∫ q²¹_a

V (q) = q² + q²

q²_a q²

X

Adesso, qualora le coppie distribuite e sono nulle, la 1.b) diventa

dH/dt² = 0

e cioè T - dH/dt = 0

unendo le 6) risulta:

T - EI d³v/dt² = 9

Infine, grazie alla 7), la 1.a) diventa:

-EI d⁴v/dt⁴ + 9 = 0

e cioè:

d⁴v/dt⁴ = 9/EI

8)

da 8) prende il nome di EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA Si tratta di un'equazione differenziale del 4º ordine, lineare, ad un'efficienza e ai coefficienti costanti.

Sappiamo che la soluzione alla 8) sarà una funzione V(t) somma della soluzione dell'uguaglianza associata alla 8) e della soluzione particolare Vₚ(t):

V(t) = V₀(t) + Vₚ(t)

dove

V₀(t) = a₀ + a₁t + a₂t² + a₃t³ d⁴v/dt⁴ = 0

Vₚ(t) = 9t⁴/24EI

OSSERVAZIONE: La soluzione particolare della 8) è una soluzione derivata. Proprio a tale soluzione si ottiene proprio il coefficiente costante d'integrale generale della 8) serve dunque:

V(t) = a₀ + a₁t + a₂t² + a₃t³ + 9t⁴/24EI

9)

da 9), detto integrale generale della linea elastica.

Tale integrale ci permette di conoscere le diverse caratteristiche della sollecitazione rispetto alla struttura (taglio e momento di flessione)

insiste e potrà anche, se si prenda conoscere le deformazioni che la struttura subisce rispetto le sue rappresentate oltre che le variazioni integrali della struttura, ossia le deformazioni risultano note;

CARATTERISTICHE ULTIME DELLA SOLLECITAZIONE

Nel corso della teoria di SLU abbiamo definito i valori dei coefficienti di sicurezza parziali di fase F e sezioni R.

Nel metodo delle tensioni ammissibili abbiamo trovato che per ogni punto della sezione retta, dove vale la relazione:

dove la σ_amm è un progetto che dipende dalla resistenza del materiale.

Nel metodo delle tensioni ammissibili abbiamo introdotto un coefficiente di sicurezza:

Vediamo ora che il metodo degli STATI LIMITE

STATO LIMITE: significa raggiungimento di una "particolare condizione" oltre la quale la struttura non assolve il compito per cui è stata progettata.

Esistono:

• SLU → che rappresentano la condizione oltre la quale la struttura "collassa"
• SLE → che rappresentano la condizione la quale la struttura non è più soddisfatta nella evoluzione di condizioni di versatilità e funzionamento, per la quale è stata progettata.

In formula se ho sempre lo SLE la struttura non collassa mai, serve per esempio progettare a trasferimento.

Negli Stati Limite i valori dei carichi prendono il nome dei CARICHI CARATTERISTICI, i valori F_k, si trasformano in F_d dette azioni di progetto da relazione tra F_d ed F_k e la seguente:

^F_d = γ_F F_k

con γ_F = coeff. parziale delle azioni (o dei carichi)

Nota: i carichi F_k sono normati e rilevati secondo del tipo di esercizio a cui è destinata la struttura.

I coeff. γ_F sono detti coeff. amplificativi cioè amplificano i valori dei carichi F_k

γ_G = 1^,3 ÷ 1^,5

γ_F

γ_Q = 1^,5

N.B. da sforzo normale ultimo è detto quello sforzo di plastificazione.

MOMENTO ULTIMO (Mu) [caso della flessione retta]

Dai diagrammi costitutivi, sappiamo che il materiale può assumere tre comportamenti differenti che sono rappresentati nel seguente grafico.

N.B: Il rapporto _dσ/_dε può:

• dare luogo ai incrudimenti
• dσ/dε = 0 campo durocentesco, elasticità, perfettamente plastico
• dσ/dε < 0 fragili (sforzo-plastici con incrudimento negativo)

Dal prefisso notiamo che al raggiungimento della σy la deformazione εy non ci indica il comportamento del materiale;

per capire il comportamento del materiale bisogna aumentare la σy.

Quello che a noi interessa è la deformazione ultima Eu

Esempio sezione rettangolare.

• M/I = h/2 H/bh₂/12
• e
• c = h/2 e G = 1/3

C e T sono le risultanti degli sforzi di compressione e trazione rispettivamente.

• M/I = h/c = h g₁₂/10

In termini di diagramma degli sforzi normali risultante nel caso del nostro esempio:

Quando, in tutti i punti della sezione retta avremo raggiunto il valore δy, il diagramma degli sforzi avrà il seguente:

In corrispondenza dell’asse neutro, lo sforzo è sempre nullo. Inoltre, se la sezione non fosse stata posizionata rispetto al baricentro, il diagramma avrebbe assunto il valore mentre traslato.N.B. L’asse neutro si porta nella direzione opposta della zona che si plasticizza per prima.

Quando si arriva al punto in cui lo sforzo normale risulta pari al carico di snervamento in tutta la sezione della trave, siamo in quello stato il prodotto momento attivo, cioè il minimo stato locale del momento che si oppone alla deformazione plastica della trave.

Per valori che eccedono sulla trave, che producono rotazioni tali da superare il valore del diagramma di cui ci si può attentare che aumenta la sezione che si oppone alle deformazioni plastiche della trave. Pertanto, oltre tali valori la trave non resisterebbe senza poi continuare nei risultati di fatto snervante, favorendo la stabilità della sezione plastica.