Trave di De Saint Venant, appunti lezioni Scienza delle costruzioni

A S

A Se

A -

Vi

deformata Finale

= es

Usa

Ora ho tutto e posso calcolare Als = - 4 =

=

2x

Tra

Ot 25 E

* =

45 2

x(12

= - -

3EI

Trovo ora l’effetto del cedimento

RB 6x al

= - -

L

B

VB B si

Cioè abbassa

-

=

Deformata di B che si abbassa

= V 14 v 4

3

+

= =

Zuß

45 Ac

4s

Als + o

=

= -

Esercizio a i 1

=

⑪ Non essendo una struttura ad asse rettilineo non vale l’equazione della linea

elastica (così come non vale la formula dei cavalieri Simpson). Possiamo

applicare il principio dei lavori virtuali poiché localmente se la curvatura non è

eccessiva rispetto alla sezione trasversale posso dire ancora che

nell’elementino infinitesimo e lo sforzo normale

M EI X AL

EA

N

= =

·

X .

=

(iX

= N = Lavoro virtuale : (Nd

(Mixds

di

Schema

Spostamenti +

=

: I

Ma XMQ

M N

+

= XNQ

Na +

N En-Area

= Sezione

Ge

Schema isostatico equivalente 0)

(1

0 =

= .

·

Forze

Schema Momento punto

nel S

Anomalia

↑ ①

N RSinG

=

⑦ M(0)

-- ①

-S

·

.. N(0) 1 Sing

= . di geometria

-per motivi

8

I -- N

· I-O ~

V ~ equilibrio

N fare

deve 1

forma O ad

angolo

la verticale e

con un

Centro Rsing braccio

+ tangente da lo

1 sforzo

nella

proiettato normale

ci

· ;

da taglio

nella

proiettato normale il

I

· ci

Sulla struttura con carico distribuito avremo: -gR(1-coso)

CosO)

M(G) R(1-

ar gr

= . 2

N(0) 9RcosO qR(1-coSO) cost

+

-

=

aR

↑

L’equazione dei lavori virtuali sarà:

(MOROXRO

Nota: funicolare

Struttura carichi propri

> con

Arco forma

3 qualsiasi

cerniere

a con

al

↓ il sistema non è in equilibrio poiché manca la reazione orizzontale; la trovo imponendo che

i

Y il momento in cerniera e chiave sia zero

-Hf =

H 2 dametro

-

al a

a H =

- Cioè la reazione orizzontale è pari al momento in chiave che avrebbe la trave

sempre appoggiata diviso la freccia. La struttura invece che portare il carico come

momento flettente, porta il carico come forza normale. La spinta per la freccia è

pari al momento.

L’arco ha un certo spessore e se c’è momento flettente, avremo nello spessore dell’arco delle tensioni di trazione

e di compressione. Qui invece il momento flettente non è al braccio interno della sezione ma alla freccia

dell’arco

il momento flettente sarà

atz-a o

= az-a-a-

a

So H

che =

: = ) E)

4f(E

-

4 = -

Questa prende il nome di funicolare del carico, nella struttura il momento è nullo.

30/04/25 1)

(Alfano Il principio della risoluzione delle iper statiche è che uno

Esercizio 11

1 . . spostamento impedito diventi consentito

i 1

=

F

m B ha

. Si

in :

Sollecitazione

- esterna

>

-

S

cedimento Am

momenta

V xd xs

anelastico no

L12 M3Y + m 0

=

L -

1 -

I

I flettente sollecitazione

↳ momento

B Interna che agisce

T Md_MS Sulle facce dell'elementino

+ o

m =

-

f

Declasso l'appoggio cerniera

in : done

e

· Il diagramma del momento fa piegare la trave

↓ d F

X in funzione di come è diretto il momento

-54m

V m

- AQB

XS Nota: la deformata dipende dal diagramma

0

=

salitazione tu

~ del momento. Se ho una trave appoggiata

1 Interna consegue

ne che con lo stesso diagramma del momento

-

Xapache

XS + avrò anche la stessa deformata

xd

adestra m

no +

I 9L

9214 Posso fare anche sovrapposizione degli effetti e considerare il risultante

922 della del carico che agisce su EA e un’altra parte che agisce su AB

corda

- Ho

V parabola

M ↑ ,

V

- Cè

Bo -

>

C

A - m

E come

A · M fosse

Se

Y1

Sommand a 4 Carichi diversi che provocano stesso

cerniera

una

a 0

=

M

polche = diagramma del momento provocano la

↑ a stessa deformata

94/4

! La

V A

-

IBS Data dalla sovrapposizione del diagramma del momento

provocato dal carico tra AB e il diagramma provocato dalla Nota v

:

coppia esterna Se abbiamo:

-I B -

! Fa

=

A

IIIII ↓ 8 GEI

.

a M

C · ↑

alla C

4972794/8

B4 Zal

A ↓

93 a Co za] momento

= e se

I

2 +può essere mesministra poi

Deformata (dalla

AB

di cerniera in

- Non mettiamo mai cerniere in 31

ES fino

=+ min 50

37

a

44

punti che poi si possono :

:

muovere. Voglio conservare i

punti notevoli sempre fissi,

che non traslano Foto

-

3 = -

4

= -

Il metodo delle forze vale la ricerca della reazione iper statica tra le infinite

reazioni equilibrate. Si sceglie l’unica che rispetti la compatibilità

cinematica cioè la congruenza è

cedimento

il

Se f

elastico modulo

ai

il Se il punto cece dobbiamo studiare la struttura senza

,

5

vincolato reazione

pende

al dalla

vincolare carichi esterni. Quando il vincolo è cedevole

S R

= anelasticamente vuol dire che il lavoro del cedimento

R non dipende da forze applicate. Il vincolo si abbassa di

valuta

si una quantità fissa. Quando si ha un cedimento di

cedimento del valore

Spostato

anelastico prefissato

impedisce

(o

non questo tipo basta togliere il vincolo cedevole e dire

Spostamento dice

-

che può

esso cosa succede se il vincolo non c’è? Quel vincolo in

divenire.

C'è spostamento

uno

ha

che valore realtà non impedisce lo spostamento ma lo prescrive

un

Stabilito

Sullo schema isostatico il cedimento produce un come valore

abbassamento della trave I

48 56

Fino

Se d 34

:

: 2 -

S ↑ M

*

Esercizio 2 -

-

L

i ↓

1

= reazioni

L L opposte

& Che formano

Y X

11 coppia oraria

momento ↑

L L

polche

cost

· T

taglio O

è

11

Schema isostatico equivalente

Se avessimo

> messo

cerniera sul carrello

avremmo ottenuto

fisso

è può una Struttura

si

non abbassare labile

↑

hostamento

↑

verticale B

nullo D

< L Ca o

=

L & x

A 11 Se in B il momento non fosse nullo cosa succederebbe in AB? Ci sarebbe

M ga un diagramma lineare che in A è zero e arriva a B dove arriva; ciò vuol dire

1 Tes che in AB c’è taglio, cioè c’è reazione orizzontale in A. Tuttavia la reazione

orizzontale in A è nulla poiché non vi sono altre forze orizzontali (reazione

del carrello è verticale), per cui il valore del momento in AB è costante, in

particolare è nullo e in B allora è zero

"nulla

11 poiché ci

non

Sono altre forze

orizzontali

↳ è

Il taglio il

o e è

momento AB

in

costantemente Voglio calcolare Pa

Zero Supponiamo che i punti restano fissi se devono impegnare la

deformazione assiale; le aste non si accorciano o comunque si

2 trascurano gli accorciamenti rispetto alle rotazioni. Quindi il punto B è

- S

↑ un punto fisso agli spostamenti verticali. Per cui BC è una trave

& 1 appoggiata (vale per entrambi i casi, cioè entrambe le strutture).

Bel

↓ La deformazione BC é: appoggiata

vedo tra ve

la come una

reazioni 7

-

opposte

& Che formano 1

Y X B

11 C

coppia -

oraria -

momento ↑ Questo perché i punti non

↑

L

polche

cost ha

· T un

taglio O diagramma si abbassano

è GB

↑ SI

non

>

-

9

triangolare Spostano

EI .

Nel secondo caso:

2 ↑ I

Queste deformate sono a meno di un moto rigido perché si è dato per scontato che B e C sono

due punti fissi; in realtà questi hanno spostamento verticale nullo ma quello orizzontale non è

nullo poiché in C vi è il carrello che si può spostare e la trave AB potendo ruotare intorno ad A

può far spostare la struttura in orizzontale. Per cui queste deformate sono “sbagliate”.

Il nodo B, se le deformate fossero state quelle sopra, si sarebbe spezzato poiché per continuità la

curva deve essere con le tangenti che si proseguono

Le deformate reali sono: aEI

L’angolo di rotazione è e affinché la colonna conservi la

B

1 - tangente deve ruotare anche lei dello stesso angolo PA GB

=

D Si spostano quindi anche i vincoli

11 Se il punto B fosse fermo la trave verticale AB si

2 deforma come in figura (parte evidenziata) e

· 43 -I

=

Però se così fosse B si romperebbe, cosa che non succede. Per cui B si

sposta verso destra allora: conco

perle e

-

= viste prima

orizzontale che

non conosco

Ca d

xL +

= 2EIL

Con il virtuali

lavori

del

principio i 1

=

L L

⑳0

11/ Ca 0

L = S Mr Ad

Ca

1 = .

.

Ex ,

11

Avremo: --

% ↓ cD

Applico la formula dei cavalieri Simpson

Ga

93 + 2x x =

0

> =

12EI SEI cambio verso

Supponiamo che l’esercizio sia finito, la struttura è ora isostatica, il cui diagramma del momento è

a

922/8 IIIIII

&

· af

M +

,

a

Come calcolo lo spostamento verticale del punto D, ? Uso i lavori virtuali. Si deve fare un

Vo

nuovo schema di forze sulla struttura isostatica caricata con una forza unitaria che fa lavoro

su CD ↳ di

la X incognita

in cui -

è

Si

prima trovata ed e

diventata esterno

voglio carico

se

cospostamento

MX metto una

Forza

a S

l XMf

-1 MY Ma

1 +

=

VD .

.

212

E nonese El

&

lalta

t

q Se

V +

= .