Scienza delle Costruzioni - Appunti

La deformazione

Applicando azioni esterne (forze e spostamenti) produce variazioni di forma e di volume; l'analisi della deformazione si occupa di studiare gli aspetti geometrici delle variazioni. Se prendo un provino e comincio a tirarlo agli estremi, questo si allunga.

Coefficiente di dilatazione lineare

Si definisce coefficiente di dilatazione lineare il rapporto tra la variazione di lunghezza e la lunghezza iniziale:

ε = (l_iniziale - l_iniziale) / l_iniziale = Δl / l₀

ε < 0 accorciamento ε > 0 allungamento

ε è adimensionale perché è una lunghezza su un'altra lunghezza.

Deformazione nel tratto AB

La deformazione nel tratto AB è lineare ma potrebbe anche variare con il punto; ciò significa che ho un ε nell'intorno del punto e posso scomporre la deformazione lungo 3 direzioni che, nella configurazione iniziale, saranno mutualmente ortogonali.

Deformazione e configurazione

Applicando carichi esterni (forze e spostamenti) produce variazioni di forma e di volume; l'analisi della deformazione si occupa di studiare gli aspetti geometrici delle variazioni. Se prendo un provino e comincio a tirarlo agli estremi, questo si allunga.

Si definisce coefficiente di dilatazione lineare il rapporto tra la variazione di lunghezza e la lunghezza iniziale:

ɛ = _{lfinale - liniziale} / _liniziale = _Δl / _l0

ɛ < 0 accorciamento ɛ > 0 allungamento

ɛ è adimensionale perché è una lunghezza su un'altra lunghezza.

La deformazione nel tratto AB è lineare ma potrebbe anche variare con il punto; ciò significa che ho un ɛ nell'intorno del punto e posso scomporre la deformazione lungo 3 direzioni che, nella configurazione iniziale, saranno mutualmente ortogonali mutualmente dopo possono subire variazioni negli angoli.

Quando quindi un punto è messo i 3 assi x y e z: i suoi spigoli saranno infinitesimi di questi punti.

Configurazione iniziale e finale

Configurazione iniziale o di riferimento

Configurazione finale o deformata

La variazione angolare di due direzioni inizialmente ortogonali è misurata dal coefficiente di scorrimento angolare

γ_ab = ^π/₂ - φ_finale

anche il coeff. di scorrimento è una grandezza adimensionale

γ_ab>0 l’angolo si riduce γ_ab<0 l’angolo incrementa

In 3 dimensioni ho 3 coefficienti γ_xy γ_xz γ_yz

Sia i coefficienti di dilatazione lineare (ε_x, ε_y, ε_z), siano quelli di scorrimento angolare (γ_xy, γ_zx, γ_yz), nella deformazione lineare sono trattabili come infinitesimi.

Spostamento del punto

Un'altra cosa importante è lo spostamento S(p) del punto p rappresentato dal vettore che unisce la posizione di p nella configurazione iniziale alla posizione in quella finale.

Lo spostamento varia da punto a punto, quindi sarebbe giusto che lo spostamento fosse infinitesimo; per facilitare le cose scelgo come spostamento un generico Δx e poi con il limite per Δx → d x trovo lo spostamento infinitesimo. Considero i due punti A e B che si spostano in seguito alla deformazione in A' e B'.

Il punto A subisce uno spostamento u, il punto B invece subisce uno spostamento u + Δu comprensivo dello spostamento Δu del punto A e dell'incremento (positivo come in tutte le dimostrazioni tacitite) di spostamento Δu maturato lungo Δx!

Non è il punto che si deforma ma un suo intorno. Il coefficiente di dilatazione viene, per definizione,

ε_x = lim_{Δx → dx} ^{A'B' - AB}/_AB = lim_{Δx → dx} ^{[(Δx - u) + (u + Δu)] - Δx}/_Δx == lim_{Δx → dx} ^Δu/_Δx = ∂u/∂x

Essendo in R³ ho un coefficiente simile per le altre due direzioni ε_y = ∂v/∂y   ε_z = ∂w/∂z

Scorrimento angolare

A questo punto devo trovare i valori di scorrimento angolare relativi ai 3 lati (o alle 3 direzioni). L’angolo α = ^du/_dy poiché ^du/_dy = ^du/_dy = ^{sen α}/_{cos α} = tg α

Ma con α infinitesimo ho tg α ≈ α e quindi ^du/_dy = α

La lunghezza dx finali si può approssimare al dx iniziale perciò, dato che si parla sempre di spostamenti infinitesimi, dovrebbe essere dx · cos α cos γ = 0°, cioè dx · 1 = dx. A questo punto...