Appunti di Probabilità e statistica

Lezione 1: martedì 01.03.2022

Esperimento aleatorio: è un’osservazione su un fenomeno il cui esito non è determinabile a priori.

• Per darne una descrizione matematica, dobbiamo costruire un opportuno modello probabilistico.
• Un mod. prob. è definito tramite uno spazio di probabilità.

Lo spazio di probabilità discreto relativo ad un esperimento aleatorio si compone di 3 elementi:

1. Spazio campionario: Ω = {esiti possibili dell’esperimento} Esempio: Lancio di dadi: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Osservazione: se Ω è finito o numerabile si dice spazio discreto
2. Eventi: sono affermazioni sugli esiti dell’esperimento che vengono identificati con i sottoinsiemi di Ω dati dagli esiti che soddisfano l’evento Esempio: “Il lancio di un dado R_o esito pari” = {2, 4, 6} ⊂ Ω → In definitiva, gli eventi sono elementi di P(Ω) = insieme delle parti di Ω.
3. Vengono denotati con lettere maiuscole: evento A, B, C... L’evento Ø si dice evento impossibile
4. L’evento Ω si dice evento certo

Operazioni tra esiti:

operazioni logiche tra le affermazioni cui corrispondono operazioni tra insiemi

Se A, B ⊆ Ω, allora:

• “Avviene A e avviene B” ↔ A ∩ B
• “Avviene A o avviene B” ↔ A ∪ B
• “Non avviene A” ↔ Ω \ A
• “Avviene A e non avviene B” ↔ A ∩ B^C = A \ B

Si ricordano le regole di De Morgan

(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

Si ricorda che se A ∩ B = Ø ⇒ A e B si dicono disgiunti

3. Misura di probabilità:

Def: Sia Ω un insieme dato. Una funzione P: P(Ω) → [0,1] è una probabilità su Ω se:

1. P(Ω) = 1
2. Per ogni successioni di eventi (A_n)_n∈N a due a due disgiunti (A_i ∩ A_j = ∅ ∀ i ≠ j) si ha: P(U_n∈N A_n) = ∑_n∈N P(A_n) (σ-additività)

Da questa definizione discendono varie proprietà.

Prop. 1:

P(∅) = 0

Dim: Sia (A_n) _n∈N t.c. A_n = ∅ ∀ n ∈ N. Per la σ-additività di P, P(U_n∈N A_n) = ∑_n∈N P(A_n) = ∑_n∈N P(∅) = P(∅)

Prop. 2:

Una probabilità P su Ω è (fortemente) additiva, ovvero ∀n∈N, e dati A₁,…,A_n eventi a 2 a 2 disgiunti, si ha P(U_i A_i) = ∑ P(A_k) (additività)

Dim: Introduciamo gli eventi A_n+1 = ∅ ∀ x n+1, così da ottenere una successione (A_n)_n∈N a due a due disgiunti. Per la σ-additività di P: P(U_k A_k) = ∑ P(A_k)

Osservazione: il viceversa è falso in generale. Se un funzione è finitamente additiva, non è detto che sia σ-additiva.

Valgono le seguenti:

Proprietà fondamentali:

Siano A,B ⊆ Ω e P probabilità su Ω:

1. P(B\A) = P(B) - P(A∩B)
2. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Infatti, B = (B\A) ∪ B∩A ⇒ per additività finita: P(B) = P(B\A) + P(A∩B)⇒ segue: 1. se A ⊆ B : P(B\A) = P(B) - P(A) 2. se B = Ω : P(A^C) = Ω - P(A)

Infatti: A∪B = A ∪ (B\A) ⇒ per additività σ : P(A∪B) = P(A) + P(B\A) = … prop. 1

Osservazione: Poiché ∀ C ⊆ P(Ω) vale P(C̅) = Ω - P(C), allora P(A∪B) ≤ P(A) + P(B), dove l'idemità si verifica solo se A e B sono disgiunti.

Def: La tripletta (Ω, P(Ω), P) è detto spazio di probabilità, dove il 2° termine è a volte lasciato sottointeso: (Ω, P)

Esempio: sia Ω = ℕ₀, sia ρ: Ω → [0,1] c.t.c. P(Ω) = C ln^-1 0 con C^-1 ∈ ℝ(2) := ∑_n=1^∞ 1/n²⇒ P(A_n) · ∑_1/n ρ(n) = ∑_n=1^∞ C/k²

Esempio:

1. Sappiamo che |Ω| < ∞ e c'è per ragioni di simmetria gli estin w ∈ Ω siano equiprobabili.Pqice ∑_w∈Ω P(w) = 1 → ρ(w) = 1/|Ω| (densità uniforme su Ω)

La probabilità di estn associata |Ω| tale per cui ∀ A ⊆ Ω P(A) = 1/ρ ∑_wεA P(w) = |A|/|Ω| = # estn favorevole/ # estn possibili

2. Sia Ω fondo e iato H: Ω ↠ ℝ_+;∞

La densità di Gibbs su Ω è p_β: Ω → [0,1] c.t.c. P_Ω(w) = e^-ρ(w)_Zγ Z_θγ = ∑_{w∈ε Ω} e^-ρ(w)

Lezione 3: Lunedí 07.03.2021

Ricordo:

• Densità di probabilità su Ω e t.c. ρ: Ω → [0,1] 
• ∑_w∈ε P(w) = 1

• ρ densità → probabilità P

Esempio: sia |Ω| < ∞ e consideriamo ρ: Ω → [0,1]P(w) = ρ(w) = 1/|Ω|, ∀ w ∈Ω

VA e EC(Ω): P(A) = |A|/|Ω|

Calcolo Combinatorio:

Teorema (Fondamentale del calcolo combinatorio)Supponiamo che gli elementi di un insieme E siano determinati tramite k scelte successive, dove ogni scelta può essere eseguita in un numero fissato di modi. Allora se a scelte distinte corrispondono elementi di E distinti ⇒ |E| = n₁ x n₂ x ... x n_k

Esempio:Sia E = {a_i, b_i} con a_i ε A, b_i ε B, |E| = |A| · |B||sia E= {|a_α,...,β| α, ...γ· γ A con α≡γβγ≠γ j}

Estrazione senza reimmissione

Ω = { B ⊂ {1,...,N} t.c. |B|=n } comb. semplici di n su N, cosicché |Ω| = (N su n)

P misura di probabilità uniforme su Ω.

Siano A_k = {B ∈ Ω : | B ∩ {1,...,m } | = k } con k ∈ {0,...,n}

Calcoliamo |A_k|. Identifichiamo i suoi elementi tramite:

1. scelta di k elementi tra {1,...,m}
2. scelta di n-k elementi tra {m+1,...,N}

=> |A_k| = (m su k) ⋅ (N-M su n-k) => P(A_k) = (m su k) ⋅ (N-M su n-k) / (N su n)

modello ipergeometrico

Osservazione:

P(A_k) ≠ 0 se k ∈ [0, min(m,n) ]

Permutazione aleatoria (punti fissi)

Problema dell'assegnamento casuale: ci sono n persone ad una festa che lasciano il proprio cappello all'entrata. Alla fine della festa, gli viene riconsegnato il cappello in modo casuale.

Qual è la probabilità che solo m persone, 1 ≤ m ≤ n, ricevono il proprio cappello?

Ω = { σ : {1, 2,..., n} -> {1, 2,..., n} } = S_n.

f = uniforme su S_n. Sia P(C) = 1/n!

Sia C_m = "esattamente m persone ricevono il proprio cappello" = { σ ∈ S_n : σ ha m punti fissi } con m=0,...,n

|C_m| in generale non è semplice.

Scomponiamo il problema in 2 passi:

Caso m=0

Caso m ≠ 0

caso m=0:

C₀ = { σ ∈ S_n : ∇ σ ha 0 pt. fissi }

=> C₀ = ∑_i∈S : ∇ σ ha almeno 1 pto fisso } C_i dove F_i := { σ ∈ Ω : σ(i) = i }

P(C₀ᶜ) = P(∪_i∈1 F_i) = ∑_{1 ≤ i ≤ n} (-1)^k+1 (n su k) ((n-k)! / n!)

P(C_n, F_i)

Ma P((∩_i=1 F_i) = 1/n ⋅ F_i) = (n-k)!