Probabilità e statistica - Appunti

Probabilità e statistica

Varianza

La previsione di un evento è il valore centrale della distribuzione di probabilità di X, analogo al baricentro. La varianza è tanto più grande quanto più è dispersa la distribuzione intorno a m. In generale, dato un numero aleatorio X con ( ) =P X mσ²X( ) ( ) = 2= −Var X P X mn ( )∑( ) 2= −Var X p x mi ii=1.

Varianza di un indicatore

Dato un evento E che ha probabilità di verificarsi p e probabilità di non verificarsi 1-p=q, ed essendo la previsione di E coincidente con p, si ha che la Var(|E|) = pq.

Covarianza

Dati 2 numeri aleatori X, Y, si indica con Prev(X)=m e prev(Y)=m la previsione dei due numeri aleatori X+Y è Prev(X+Y)=m + m. Allora, Var(X+Y)=Prev[(X+Y)-(m + m)] = Var(X)+Var(Y)+2Prev[(X-m )(Y-m)].

La quantità Prev[(X-m )(Y-m )] si definisce covarianza di X e Y e si indica con Cov(X,Y). In particolare, la covarianza di X con X è uguale alla varianza di X.

Proprietà della covarianza

Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y).

Coefficiente di correlazione

σCov(X,Y )ρ = = XYσ σXY Var(X)Var(Y ).

X Y dimostrazione − X m Y m 1 ( ) ρ= =X YCov , Cov X,Y σ σ σ σXYX Y X Y.

Probabilità condizionate

Formula di disintegrazione

Per probabilità condizionate si ha che P(E)=P(EH )+...+P(EH )=P(H )P(E|H )+...+P(H )P(E|H )

Indipendenza stocastica

Se P(E|H)=P(E) allora E è stocasticamente indipendente da H.

Teorema di Bayes

P(EH)=P(E|H)P(H)=P(H|E)P(E). Allora P(E | H ) P(E | H )= =P(H | E) + c cP(E) P(H )P(E | H ) P(H )P(E | H ).

Se H rappresenta un’ipotesi incerta ed E un fatto osservabile di probabilità condizionata ad H, allora il teorema di Bayes ci dice che il grado di fiducia rispetto ad H si modifica supposto di aver osservato E.

Distribuzione binomiale

Se ho n eventi indipendenti ed equiprobabili con P(E )=p e P(E )=(1-p)=q, allora X=E₁ +E₂ +...+E_n è il numero aleatorio di successi sulle n prove con codominio {1,2,3...n}. La distribuzione di probabilità di X: P(X=0)=P(E E ...E )=(1-p)ⁿ =qⁿ P(X=n)=P(E E ...E )=pⁿ.

X ~ B(n, p)

P(X=h) = ⁿC_h p^h q^n−h

Previsione

∑= =Pr(X) P(E ) npii=1.

Varianza

Per l’indipendenza degli eventi E₁,...,E_n si ha Cov(|E_i|,|E_j|)=P(E_iE_j)-P(E_i)P(E_j)=0. Quindi la varianza di X Var(X)=npq coincide con la somma delle varianze.

Estrazione con restituzione da urna di composizione nota

Si effettuano n estrazioni con restituzione da un’urna contenente N palline, di cui pN bianche e qN nere. Se E_i = l’i-esima pallina estratta è bianca con i=1,...,n, allora ∑=X | E |ii=1 è il numero aleatorio di palline bianche estratte nelle n prove. Gli eventi sono indipendenti ed equiprobabili quindi X ~ B(n, p).

Estrazione senza restituzione da urna di composizione nota

Si effettuano n estrazioni da un’urna contenente N palline di cui pN bianche e qN nere. Valutando una serie di eventi allora pN= =P(E ) p₁ N −pN₁ pN= + = + =cP(E₂) P(E₂|E₁)P(E₁) P(E₂|E₁) p q p− −; N−1 N−1( ) ( ) ( )− − N−1 N−2 ... N−i−1 pN= =P(E_i) p( ) ( )− − +i N N−1 ... N−i−1.

Se si fanno estrazioni in blocco si avrà una distribuzione di probabilità ipergeometrica X ~ H(N,n,p).

Previsione

Come per la binomiale si ha Prev(X)=np.

Covarianza

Cov( E_i, E_j) = −P(E_iE_j) − P(E_i)P(E_j) = (pq) − (pq)(pq) − N−1

Varianza

−(n−1) Var(X) = npq ⁻1 − N−1

Estrazioni con restituzione da un’urna di composizione incognita

Considero n estrazioni da un’urna contenente N palline di cui r bianche con r incognito. Se introduco la partizione H che indica che nell’urna ci sono r palline bianche r=P(E_i|H_r). Come si vede, E₁...E_n sono equiprobabili perché ∑ ∑= = ⋅P(E_i) P(E_i|H_r)P(H_r) P(H_r)

Gli eventi E₁ E₂ sono correlati positivamente.

P(X=h) ⁼ⁿC_h P(X=h|H_r)P(H_r) P(H_r)_r=0 ^rN_r=0 binomiale. Ovvero, la distribuzione di probabilità di X è una distribuzione.

Estrazioni senza restituzione da un’urna di composizione incognita

Gli eventi sono sempre equiprobabili ∑=P(E_i) P(H_r)_rN_r =P(E_i|H_r).

P(X=h|H_r) ⁼ⁿC_h ^rN_r ipergeometrica. Perciò X|H ha una distribuzione.