Statistica - Appunti

Teorema 1

Dimostrazione

E(X) = _x=1^m x ^m!/_x!(m-x)! . p^x(1-p)^m-x == _x=1^m (m-1)!/_(x-1)!(m-x)! p^x(1-p)^m-x = (*) = mp _j=1^m-1 (m-1)!/_(x-1)!(m-x)! p^x-1(1-p)^m-x = Devo solo far vedere che... = _j=1^m (m-1)!/_(x-1)!(m-x)! p^x-1(1-p)^m-x = 1

Interpretazione

(m=100, p= 1/2) E(X) = mp = 100.1/2 = 50 successi

p = 0,75 E(X) = mp = 100.0,75 = 75 successi

Teorema 2

Se X ~ Bim (m,p) => Var(X) = m.p(1-p) = _{prob. di successo} ^{prob. di insuccesso}

Se m=1 => Var = p(1-p) σ(X) = ^√mp(1-p) =/ unità di misura delle deviazioni

Interpretazione

m=100 σ = √100. 1/2 .3/2 = 5 ci aspettiamo di trovare 85 successi che hanno 5 unità di deviazione

Teorema: Bim E(X) = mp

Dimostrazione

E(X) = _x=1^m x _m!/^x!(m-x)! . p^x (1-p)^m-x == _j=1^m (m-1)! / (x-1)!(m-x)! p^x (1-p)^m-x == mp _j=1^m-1 m-1! / (x-1)!(m-x)! p^x-1 (1-p)^m-x = Devo solo fare vedere che... = _j=1^m (m-1)! / (x-1)!(m-x)! p^x-1 (1-p)^m-x = 1

Interpretazione

(m=100, p=¹/₂) → E(X) = mp = 100 * ¹/₂ = 50 successi

p = 0,75 → E(X) = mp = 100 * 0,75 = 75 successi

Teorema: Se X ~ Bim (m,p)

→ Var (X) = mp (1-p) Cor se m=1 → Var = p(1-p) → σ(X) = √mp (1-p)

Interpretazione

m=100 p=¹/₂ σ = √100 * ¹/₂ * ¹/₂ = 5