Appunti di meccanica analitica

Meccanica Analitica

Riformulazione di meccanica newtoniana ed ha lo scopo di studiare il moto di sistemi materiali.

Perché si è arrivati alla riformulazione?

• Molti problemi complessi non erano risolvibili, si cerca quindi di arrivare ad una descrizione che sia la più semplice possibile.
• La formulazione newtoniana (f=ma) non sempre è la più semplice, anzi.

Infatti:

1. Spesso è più semplice l'uso di coordinate non cartesiane -> leggi del moto in altre coordinate
2. A volte vi sono proprietà del sistema che possono semplificare la descrizione e queste non sono così evidenti in modo esplicito nella newtoniana.

-> La formulazione newtoniana non è sempre adatta.

-> La nuova riformulazione ci permette quindi di studiare sistemi più complessi e di comprendere il moto più a fondo. Inoltre è alla base di sviluppi successivi della fisica moderna.

Punti Fondamentali della Newtoniana

• Il punto materiale

- un punto materiale p, con sistema di riferimento (O, x₁, x₂, x₃). Ad esso si associa in ogni istante un vettore posizione xi(t, x₁, x₂, x₃)

la legge oraria t=xi(t) diventa e² E (R) ³

v⃗ = ẋi(t) = dx / dt

a⃗ = ẍi(t) = dv / dt

Vale la legge di Newton

m ẍ = f(x, ẋ, t)

f = f(x) => CAMPO DI FORZE

Lo legge oraria è quindi la soluzione di questa legge imponendo però le soluzioni a contorno

Cauchy

m ẍ = f(x, ẋ, t)

x(0) = x₀

v(0) = v₀ => Soluzione unica

Quantita' di moto p = mv

d' => ṗ = ma = f

angolare

Momento della q.d.m.

N

L = x × p

N = dL/dt

L = x × p

Lavoro compiuto da una forza

W_{1 2} => ∫ f dx = Δk

dove k = 1/2 mv²

Se il campo è conservativo ossia ∮ f dx = 0

=> ∃ V(x) t.c.

W_∞ - V₁ - V₂ = -ΔV

=> k + V = cost.

Moto uni-dimensionale di punto materiale e forza posizionale f = f(x)

=> f conservatrice V(x) = -∫_x₀^x f(x') dx' V = -∫

H(x, x) = 1/2 m ẋ² + V(x)

è conservata sulle soluzioni della legge di Newton

H(x(t), ẋ(t)) => dH/dt = ∂H/∂x ẋ + ∂H/∂ẋ ẍ = V' + mẍẋ =

+∂H/∂x ẋ => {f(x) + V'(x)} ẋ = 0

Ponche l'energia

^._{(x) + V(x)}

Ponche l'energia si conserva posso trovare subito

una soluzione in forma implicita. tramite la

riduzione alle quadrature

>

Dati x₀, v trab

1/2 m ẋ(t) + V(x(t)) = E = 1/2 E₀

{ dx/dt

2/2 m(E - V(x(t))) > 0

=> dx = ∫ dx = ∫ 2/√u 1/√u (E - V(x(t)))

Quindi ora descriviamo la nostra funzione

dφ_i/dt = ∂φ_i/∂x₁·ẋ₁ + ∂φ_i/∂x₂·ẋ₂ + ∂φ_i/∂x₃·ẋ₃ + ... + ∂φ_i/∂x_n·ẋ_n + ∂φ_i/∂t

comportiamola ∇L = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) con f(x_1, x_2,) = f(x_1, x₁², x₁ x_2, x₂, x₂ x₃)

=> ∇x₁ f = (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₁², ∂f/∂x₂ x₃), ∇x₂ f = (∂f/∂x₂, ∂f/∂x₃)

=> dφ_i/dt = ∇x_i φ_i · ẋ_i + ∇x₂ φ_i ·ẋ₂ + ... + ∇x_n ẋ_n + ∂φ_i/∂t

0 = ∇x_i φ_j · ẋ_i + ∂φ_i/∂t ∀ j = 1...m -> n vincoli

Bisogna notare che se il vincolo è fisso si perde la dipendeza dal tempo φ_j(x₁,...,x_n) = 0 j = 1...m => ∇x_i φ_j · ẋ_i = 0

2) Vincoli abdomomi: vincolano i possibili ami di moto del sistema (es. la ruota)

a_ij·ẋ_i + a₀j = 0 j = 1...m

dove a_ij, a₀j sono costanti e non integrabili

=> φ_i(x₁,...,x_n,t) {∇x φ_j = a_ij, ∂φ/∂t = a₀j

Se infatti questo accadesse ogni vincolo olonomo può essere scritto come abdomomo

Definizione di vincoli bilaterali perfetti:

Quei vincoli per i quali le relazioni vincolari che possono essere esercitate sono tutte e sola quelle per cui:

∑(f_i · δx_i) = 0 per tutti gli spostamenti virtuali {δx_i} i=1,...,N

Se i vincoli sono superfici curve in cui i punti materiali possono muoversi, questo implica che tutti gli f_i sono normali al vincolo.

I vincoli lisci sono perfetti al contrario di quelli scabri.

Equazione di d'Alembert (simbolica della dinamica)

Dati N punti materiali con vincoli denommi bilaterali perfetti con masse {m_i} e posizioni {x_i} soggetti a forze attive f_i(X, X', t) si può scrivere:

∑(m_ix_i - f_i) · δx_i = 0

Quindi: X(t) = {x_i(t)} x_i(t)} è soluzione dell'equazione del moto m_ix_i = f_i + f_i se e solo se X(t) è soluzione dell'equazione di D'Alembert per tutti gli spostamenti virtuali.

Dimostrazione:

1. → m_i x_i - f_i = f_i; dato un qualunque {δx_i}

   ∑(m_ix_i - f_i) · δx_i = ∑(f_i - f_i) · δx_i = 0

2. ⇒ definiamo ξ_i(t) ≡ m_i x_i - f_i(X(t), X'(t), t)

∀ δx_i(t): ∑ξ_i · δx_i = 0

Per definizione di vincoli perfetti, le f_i(t) sono reazioni che possono essere esercitate. Data l'equazione di moto m_ix_i = f_i(X(t), X'(t), t) + f_i per costruzione ξ_i = 0 ne è soluzione

Calcoliamo meglio l'energia cinetica con vincoli fissi

T(q, _j ) = 1/2 ∑_i m_i ( ∑_j ∂x_i / ∂q_j q̇_j )( ∑_k ∂x_i / ∂q_k q̇_k )

chiamo a_jk(q) = ∑_i m_i ∂x_i / ∂q_j ∂x_i / ∂q_k

T(q, q̇ ) = 1/2 ∑_j,k a_jk (q) q̇_j q̇_k

Se i vincoli sono mobili:

T(q, q̇, t) = 1/2 ∑_j,k a_jk q̇_j q̇_k + ∑_k a_0k q̇_k q_k^* + a₀

EQ UAZIONI DIFFERENZIALI di y(t): R → R^K di ordine m in R^K (K, m interi positivi) sono della forma:

y^(m) ( t ) ( d^my / dt^m ) ,..., dy / dt y, t ) - O

ÿ: (R^K)^m+1 X R → R^K di classe C^m

scriviamola anche in forma normale

dy^m / dt = G (d^m−1 / dt ..., dy / dt y, t)

=> se G è regolare, nella formula normale vi vole Cauchy

? Possiamo allora scrivere la LAGRANGIANA in forma normale?

Che la risposta è ovviamente sì!

=> MA det( ∂x₂q̇^k/ ∂q̇^j )

ESERCIZIO

In un piano orizzontale è scelto un sistema di assi cartesiani ortogonali: Oxy, sul primo si muove un’asta omogenea lunga L di massa M. L’estremo A è vincolato a scorrere senza attrito lungo una guida coincidente con l'asse y. B è soggetto alla forza f = -k De dove D = (x, 0) con x ≥ 0, k > 0

Decidiamo q = (y, φ)

G (X_G, Y_G) centro di massa.

Applichiamo Koenig.

T = ½ M (Ẋ_G² + Y_G²) + ½ I_G φ̇² dove I_G = (ML²)/12

X_G = -L/2 cos φ

Ẋ_G = -L/2 sin φ φ̇

Y_G = y + L/2 sin φ

Ẏ_G = ẏ + L/2 cos φ φ̇

T = ½ M [L²/4 φ̇² + ẏ² + L cos φ ẏ φ̇] + ½ M (L² φ̇²)/12 =

- ½ M L²/2 φ̇² + ½ M ẏ² + ½ M L cos φ ẏ φ̇

U = ½ k [DB]²

B (x_B, y_B) = (l cos φ, y + l sin φ)

D (x_D, y_D) = (a, 0)

U = ½ k ([(l cos φ - a)² + (y + l sin φ)²] =

= ½ k [L² + a² + y² - 2aL cos φ + 2yL sin φ]

L = ½ ML²/3 φ̇² + ½ Mẏ² + ½ ML cos φ ẏ φ̇ - ½ k [L² + φ² + y² - 2aL cos φ + 2yL sin φ]