Appunti di meccanica analitica

Meccanica analitica

Riformulazione di meccanica newtoniana ed ha lo scopo di studiare il moto di sistemi materiali.

Perché si è arrivati alla riformulazione?

Molti problemi complessi non erano risolvibili; si cerca quindi di arrivare ad una descrizione che sia la più semplice possibile. La formulazione newtoniana (F=ma) non sempre è la più semplice, anzi. Spesso è più semplice l’uso di coordinate non cartesiane -> leggi del moto in altre coordinate. A volte vi sono proprietà del sistema che possono semplificare la descrizione, e queste non sono così evidenti in modo esplicito nella newtoniana. La formulazione newtoniana non è sempre adatta.

La nuova riformulazione permette quindi di studiare sistemi più complessi e di comprendere il moto più a fondo. Inoltre, è alla base di sviluppi successivi della fisica moderna.

Punti fondamentali della newtoniana

Il punto materiale: un punto materiale p, con sistema di riferimento (O, x₁, x₂, x₃). Ad esso si associa in ogni istante un vettore posizione x = (x₁, x₂, x₃).

Le leggi sono:

• v = ẋ(t) = dx/dt
• a = ẍ(t) = dv/dt

Meccanica analitica

Riformulazione di meccanica newtoniana ed ha lo scopo di studiare il moto di sistemi materiali.

Perché si è arrivati alla riformulazione?

Molti problemi complessi non erano risolvibili, si cerca quindi di arrivare ad una descrizione che sia la più semplice possibile. La formulazione newtoniana (F = ma) non sempre è la più semplice, anzi. Infatti:

• Spesso è più semplice l’uso di coordinate non cartesiane —> leggi del moto in altre coordinate
• A volte vi sono proprietà del sistema che possono semplificare la descrizione, e queste non sono così evidenti in modo esplicito nella newtoniana.

La formulazione newtoniana non è sempre adatta.

La nuova riformulazione ci permette quindi di studiare sistemi più complessi e di comprendere il moto più a fondo. Inoltre, è alla base di sviluppi successivi della fisica moderna.

Punti fondamentali della newtoniana

Il punto materiale: un punto materiale p con sistema di riferimento (O, x₁, x₂, x₃). Ad esso si associa in ogni istante un vettore posizione x_i = (x₁, x₂, x₃) e la legge oraria t —> x_i(t) alcuni e² ∈ ℝ³.

v̅ = dx̅(t)/dt

a̅ = dv̅(t)/dt

Vale la legge di Newton m x = f(x, x, t).

f = f(x, x, t) → Campo di forze

La legge oraria è quindi la soluzione di questa legge imponendo però le soluzioni a contorno.

m x = f(x, x, t)

x(0) = x₀

x(0) = v₀

Quantità di moto p = m x → p = m x = f

Momento angolare della q.d.m. N = x × f

L = x × p → N = ^dL/_dt

Lavoro compiuto da una forza W₁₂ = ∫₁² f . dx = ΔK

dove K = ¹/₂ m x²

Se il campo è conservativo, ossia ∮ f dx = 0

→ ∃ 1 V(x) t.c. W_ab = V₁ - V₂ = -ΔV

→ K + V = cost.

Moto uni-dimensionale di punto materiale e forza posizionale

f = f(x) → f conservatrice

V(x) = -∫_x0^x f(x) dx

V = -f`

H(x x) = ¹/₂ m x² + V(x) è conservata sulle soluzioni della legge di Newton

H(x(t), x(t)) → ^dH/_dt = ^∂H/_∂x x + ^∂H/_∂x x = V + m x x - f x = 0

Poiché l'energia si conserva, posso trovare subito una soluzione in forma implicita. Tramite la riduzione alle quadrature

→ Dati x₀, v₀, 1 x(t) etc. ¹/₂ m \dotx(t) + V(x(t)) = E = E₀(^dx/_dt)²/₂ m