Appunti di meccanica analitica

Appunti per il corso di meccanica analitica

Anno accademico 2016–2017

Indice

• Richiami sulle equazioni di Hamilton
  • 1.1 Sistemi hamiltoniani
  • 1.2 Parentesi di Poisson
• Le trasformazioni canoniche
  • 2.1 Nozione ed esempi
  • 2.2 Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche
  • 2.3 Trasformazioni canoniche dipendenti dal tempo
  • 2.4 Qualche esercizio
• Sistemi hamiltoniani “integrabili”
  • 3.1 Nozione di sistema integrabile
  • 3.2 Le variabili di azione–angolo per il pendolo
  • 3.3 Il teorema di Liouville–Arnol’d
  • 3.4 Il corpo rigido di Eulero–Poinsot come sistema hamiltoniano integrabile
  • 3.5 L’equazione di Hamilton–Jacobi
• Introduzione alla teoria hamiltoniana delle perturbazioni
  • 4.1 Sistemi prossimi a sistemi integrabili
  • 4.2 La “stima a priori”
  • 4.3 Il “principio della media”
  • 4.4 Sistemi isocroni perturbati: un passo perturbativo
  • 4.5 Sistemi non isocroni; il modello dei rotatori
  • 4.6 I grandi teoremi della teoria hamiltoniana delle perturbazioni
  • 4.7 Invarianti adiabatici

Appendici

• A. Introduzione al formalismo geometrico per sistemi hamiltoniani
• B. Equazioni differenziali che preservano il volume
• C. Commutazione di flussi hamiltoniani
• D. Alcune dimostrazioni riguardanti le trasformazioni canoniche
• E. Risoluzione di alcuni esercizi
• F. Il teorema di Liouville–Arnol’d: dimostrazione dei punti i. e ii.
• G. Nozioni di base sulla dinamica del corpo rigido
• H. L’equazione di Van der Pol
• I. Il modello classico per la precessione degli equinozi
• J. Oltre i rotatori: un passo perturbativo per generici sistemi convessi

1. Richiami sulle equazioni di Hamilton

1.1 Sistemi hamiltoniani

In tutte queste note, e specificamente in questo e nel prossimo capitolo in cui si introducono le basi del formalismo hamiltoniano, il punto di vista adottato è quello cosiddetto locale: l’ambiente è un qualche dominio aperto contenuto in R²ⁿ e tutto viene discusso con riferimento a opportune coordinate. È un punto di vista sufficiente, come vedremo, a introdurre le idee di base della meccanica hamiltoniana e anche moderni risultati, belli e fondamentali, come il teorema KAM o il teorema di Nekhoroshev. È anche l’unico possibile per chi non abbia già familiarità col linguaggio astratto delle varietà. Ma concettualmente la visione locale, confrontata con quella globale geometrica, è un po’ angusta. Una rivisitazione delle nozioni fondamentali da un punto di vista geometrico si trova nell’appendice A.

Richiamiamo allora innanzitutto la nozione elementare locale di sistema hamiltoniano. Sia D un aperto di R²ⁿ munito di coordinate (p, q) = (p₁, ..., p_n, q₁, ..., q_n) e sia H una funzione regolare: D → R. Il sistema di 2n equazioni differenziali ordinarie:

−p^˙_i = ∂H/∂q_i, q^˙_i = ∂H/∂p_i, i = 1, ..., n

è detto sistema hamiltoniano di hamiltoniana (o funzione di Hamilton) H; le suddette equazioni sono dette equazioni di Hamilton. Useremo di regola la scrittura più agile, senza indici:

−p^˙ = ∂H/∂q, q^˙ = ∂H/∂p

Le variabili p sono dette momenti coniugati alle coordinate q; n è detto numero di gradi di libertà del sistema; D è detto spazio delle fasi.

Possiamo utilmente introdurre la notazione compatta x = (x₁, ..., x_2n) = (p₁, ..., p_n, q₁, ..., q_n) e scrivere le equazioni di Hamilton nella forma:

x^˙ = X_H(x), X_H = (X_H,1, ..., X_H,2n)

Il campo vettoriale hamiltoniano associato all’hamiltoniana H, X_H: D → R²ⁿ, è dato evidentemente da:

X_H = −∂H/∂q, ..., −∂H/∂q, ∂H/∂p, ..., ∂H/∂p

Se allora per una generica funzione f: D → R denotiamo con ∂_xf la 2n-pla delle sue derivate (i coefficienti del differenziale df):

∂_xf = ∂f/∂x, ..., ∂f/∂x, ∂f/∂p, ..., ∂f/∂q

il legame tra X_H e ∂_xH si scrive in modo compatto:

X_H = E ∂_xH

dove E è la matrice antisimmetrica:

E = [0 -I; I 0]

in cui 0 e I denotano rispettivamente la matrice nulla e l’identità n×n. Si verifica immediatamente che risulta E² = −I, E^-1 = −E, I_2n è l'identità 2n×2n; la relazione ricorda i² = -1, dove i è l’unità immaginaria. E è detta identità simplettica.

La soluzione delle equazioni di Hamilton al tempo t, con dato iniziale (p, q) ∈ D, verrà denotata tHΦ_t^H(p, q); Φ_t^H è detto flusso del sistema hamiltoniano. Supporremo sempre che il flusso sia completo, ovvero che Φ_t^H: D → D sia definito per ogni t ∈ R. In questo caso, grazie al fatto che il sistema è autonomo, ovvero H e di conseguenza le equazioni di Hamilton non dipendono esplicitamente dal tempo, tH {Φ_t^H} è un gruppo: l’identità è Φ₀^H, e poi:

Φ_t+s^H = Φ_t^H ◦ Φ_s^H, (Φ_t^H)^-1 = Φ_-t^H, (1.3)

Una proprietà importante del flusso hamiltoniano, nota come teorema di Liouville, è che Φ_t^H preserva il volume nello spazio delle fasi, o più in generale preserva la misura di Lebesgue: per ogni A ⊆ D (misurabile) si ha Vol(Φ_t(A)) = Vol(A); si veda l’appendice B per dettagli e ulteriori commenti, nonché per il teorema del ritorno, di Poincaré, uno degli aspetti curiosi ma in realtà profondi della meccanica hamiltoniana.

Nei sistemi Hamiltoniani (autonomi) si conserva l’energia, più precisamente l’hamiltoniana stessa è costante lungo le soluzioni:

dH/dt = 0 , H(Φ_t(p, q)) = H(p, q) . (1.4)

Le superfici di energia costante:

Σ_E = {(p, q) ∈ D : H(p, q) = E}

sono invarianti: Φ_t(Σ_E) = Σ_E.

Hamiltoniane che differiscono per una costante moltiplicativa c ≠ 0 hanno gli stessi moti, a meno di un banale riscalamento del tempo: si vede subito infatti che si ha:

Φ_tcH = Φ_ct^H. (1.5)

Una spontanea generalizzazione è quella al caso non autonomo in cui H dipende esplicitamente dal tempo: H: D × R → R, (p, q, t) → H(p, q, t). Le equazioni di Hamilton (1.1) dipendono allora esse stesse dal tempo e la proprietà gruppale si perde. La (1.4) è sostituita dalla più generale:

dH/dt = ∂H/∂t

Mentre continua a valere la conservazione del volume nello spazio delle fasi. Un buon punto di vista è quello di pensare un sistema non autonomo a n gradi di libertà come un (particolare) sistema autonomo in uno spazio esteso a n + 1 gradi di libertà, munito di coordinate (p₁, ..., p_n+1, q₁, ..., q_n+1, τ), di hamiltoniana:

H_ext(p₁, ..., p_n, A, q₁, ..., q_n, τ) = H(p₁, ..., p_n, q₁, ..., q_n, τ) + A.

Con evidenza si ha τ˙ = 1 e dunque i moti con dato iniziale τ(0) = 0 danno τ(t) = t; le equazioni di Hamilton relative a H_ext, per le variabili (p, q), vanno allora a coincidere con quelle relative a H, e corrispondentemente le soluzioni del sistema esteso (p(t), q(t)) coincidono con le soluzioni del sistema non esteso. Le sorti della variabile ausiliaria A, soggetta all’equazione:

−∂H/∂τ = −∂H/∂t = dH/dt

non interessano molto, se non per il fatto che la sua variazione nel tempo è opposta a quella di H_ext (corrispondentemente H si conserva).

I sistemi hamiltoniani si affacciano naturalmente nel corso dello studio della meccanica lagrangiana, e le equazioni di Hamilton appaiono allora come una possibile riformulazione delle equazioni di Lagrange, ad esse equivalenti. Ma è una visione riduttiva, ed è bene invece prendere il punto di vista, più ampio, in cui i due formalismi sono indipendenti e dotati di vita e interesse proprio, benché sia vero che molti sistemi fisici ammettono l’una e l’altra descrizione. Ricordiamo che si passa dal formalismo lagrangiano a quello hamiltoniano, e viceversa, attraverso la cosiddetta trasformata di Legendre. Telegraficamente: il legame tra le variabili lagrangiane (q, q˙) e le variabili hamiltoniane (p, q) è dato da:

p_i = ∂L/∂q˙_i , i = 1, ..., n (1.6)

mentre il legame tra L e H è:

H(p, q) = p ⋅ q˙(p, q) − L(q˙(p, q), q)

ove q˙(p, q) è la funzione che inverte la (1.6), mentre il punto denota il consueto prodotto scalare di n–ple.

Il passaggio da un formalismo all’altro si può fare se la (1.6) è invertibile: localmente basta che det(∂₂L/∂q˙_i∂q˙_j) ≠ 0, mentre se si vuole (come è tipico) che l’inversione si estenda a ogni q˙ ∈ Rⁿ, una buona condizione sufficiente è la convessità di L nelle q˙ (assicurata in tutti i casi meccanici, quando l’energia cinetica è una forma quadratica definita positiva nelle q˙).

Ricordiamo qualche esempio elementare di sistema hamiltoniano, scrivendo anche per raffronto la corrispondente lagrangiana:

• i) Un punto materiale di massa m sulla retta, soggetto a potenziale posizionale:
  • L(q, q˙) = ½ m q˙² − V(q), H(p, q) = p²/2m + V(q);
  dove p = mq˙ è il momento lineare. Per V = ½ mω²q² si ha l’oscillatore armonico lineare di pulsazione ω.
• ii) Il pendolo: indicando con θ la coordinata, si ha:
  • L(θ, θ˙) = ½ ml²θ˙² + mgl cos θ, H(p, q) = p²/2ml² − mgl cos θ;
  dove p = ml²θ˙ è il momento angolare.
• iii) Il moto centrale piano. In coordinate polari piane (r, θ) si ha:
  • L(r, θ, r˙, θ˙) = ½ m(r˙² + r²θ˙²) − V(r), H(p_r, p_θ) = p_r²/2m + p_θ²/2mr² + V(r);
  dove p_r = mr˙ è la componente radiale del momento lineare, p_θ = mr²θ˙ è il momento angolare. Per V(r) = ½ mω²r² si ha l’oscillatore armonico piano, per V(r) = −Cm/r si ha il problema di Keplero.
• iv) I tipici sistemi meccanici in cui L è della forma:
  • L(q, q˙) = ½ q˙ ⋅ a(q) ⋅ q˙ − V(q) = K − V
  (K energia cinetica, V energia potenziale, a matrice cinetica simmetrica e definita positiva): si ha p = aq˙ e poi H(p, q) = ½ p ⋅ a^-1(q) ⋅ p + V(q) = K + V.
• v) Una carica elettrica e in un campo elettromagnetico assegnato: detti φ(q, t) e A(q, t) i potenziali scalare e vettore
  • L(q, q˙, t) = ½ m q˙² − e(q˙⋅A − φ), H(p, q, t) = (p − eA)²/2m + eφ;
  il legame tra p e q˙ è p = mq˙ + eA, con p = 0 per q˙ = 0. Ritroveremo analoga situazione quando studieremo le equazioni di Hamilton in coordinate rotanti.

Vale la pena di osservare che, come risulta dalle (1.1), il prodotto p_iq_i, per ogni coppia di variabili coniugate, ha la stessa dimensione fisica, precisamente la dimensione dell’hamiltoniana H moltiplicata per un tempo; nel caso tipico della fisica in cui H è un’energia, p_iq_i è un’azione. Espressioni del tipo Σ p_iq_i hanno così sempre senso.

1.2 Parentesi di Poisson

In ambito hamiltoniano è naturale introdurre un’operazione binaria tra funzioni, detta parentesi di Poisson, definita per ogni coppia di funzioni (regolari) D → R da:

{f, g} = Σ (∂f/∂q_i ∂g/∂p_i − ∂f/∂p_i ∂g/∂q_i) (1.7)

In notazione compatta si ha:

{f, g} = ∂_xf · E · ∂_xg (1.8)

L’operazione è chiusa nello spazio delle funzioni infinitamente differenziabili: D → R, e gode di tre proprietà elementari:

• Antisimmetria: {f, g} = −{g, f}
• Linearità: {c₁f₁ + c₂f₂, g} = c₁{f₁, g} + c₂{f₂, g}
• Regola di Leibnitz: {f₁f₂, g} = f₁{f₂, g} + f₂{f₁, g}

L’antisimmetria implica {f, f} = 0; più in generale, se g(p, q) = G(f(p, q)) con G: R → R, allora {f, g} = 0. Un’ulteriore importante proprietà della parentesi di Poisson è l’identità di Jacobi: per ogni terna di funzioni f, g, h risulta:

{{f, g}, h} + {{g, h}, f} + {{h, f}, g} = 0

La parentesi di Poisson interviene naturalmente nella meccanica Hamiltoniana grazie alla proprietà, elementare ma fondamentale, che:

f˙ = {f, H}, (1.9)

dove f˙ è la derivata di f lungo il flusso:

f˙(Φ_t(p, q)) = ∂f/∂p_i p˙_i + ∂f/∂q_i q˙_i

= ∂f/∂p_i ∂H/∂q_i − ∂f/∂q_i ∂H/∂p_i

Se f dipende esplicitamente anche da t, allora la (1.9) si generalizza in:

f˙ = {f, H} + ∂f/∂t

Per ogni fissata g l’operatore {., g} = L_g è un operatore di derivazione i cui coefficienti sono le derivate parziali di g:

L_g = ∂g/∂q_i ∂/∂p_i − ∂g/∂p_i ∂/∂q_i

altro non è che la derivata di Lie relativa al campo vettoriale hamiltoniano X_g = (−∂g/∂q_i, ∂g/∂p_i) associato alla hamiltoniana g. Prese due funzioni f e g, il prodotto L_fL_g non è un operatore di derivazione, perché contiene le derivate seconde. Se però consideriamo il commutatore [L_f, L_g] = L_fL_g − L_gL_f, i termini di derivata seconda si elidono e si ha ancora un operatore di derivazione:

Precisamente risulta:

[L_f, L_g] = L_{{f, g}}; (1.10)

questa espressione si vede subito essere l’identità di Jacobi, trascritta in questa notazione.

Come si vede dalla (1.9), se f ha parentesi di Poisson nulla con l’hamiltoniana allora è una costante del moto (e viceversa). Se f e g sono costanti del moto, anche {f, g} lo è (identità di Jacobi). La (1.10) mostra che se f e g hanno parentesi di Poisson nulla, le corrispondenti derivate di Lie commutano; si dice anche, un po’ impropriamente, che f e g commutano (la stessa parentesi di Poisson è chiamata talvolta commutatore). In questo caso — ma non è banale, si veda l’appendice C — anche i flussi hamiltoniani di f e g, pensate come funzioni di Hamilton, commutano:

{f, g} = 0 ⇔ Φ_s^f ◦ Φ_t^g = Φ_t^g ◦ Φ_s^f ∀s, t ∈ R.

Qualche esempio di parentesi di Poisson:

• i) Le “parentesi di Poisson elementari”: denotando (un po’ impropriamente) con p_i, q_i le funzioni coordinate (cioè p_i(p, q) = p_i, q_i(p, q) = q_i), per ogni i, j si ha:
• {p_i, p_j} = 0, {q_i, q_j} = 0, {q_i, p_j} = δ_ij.
• ii) Per un punto materiale, denotando con x, y, z le coordinate, con p = (p_x, p_y, p_z) i momenti lineari, e con M = (M_x, M_y, M_z) il momento angolare, si ha:
• {M_x, M_y} = M_z,
• assieme alle analoghe che si ottengono ciclando gli indici, e inoltre:
• {M_x, p_x} = 0, {M_x, p_y} = −p_z, {M_x, p_z} = p_y, {p_x, M_y} = −p_z, {p_y, M_z} = 0

Esercizio: Si verifichi l’affermazione fatta sopra che se g(p, q) = G(f(p, q)), con G: R → R, allora {f, g} = 0. Più in generale: se g(p, q) = G(p, q, f(p, q)), con G: R²ⁿ⁺¹ → R, allora nel calcolo di {f, g} si può ignorare la dipendenza.