Appunti Matematica generale

TEOREMA SU FUNZIONI INIETTIVA

Se f e g sono iniettive e componibili allora fog è iniettiva.

Se tutt’e e due le funzioni soni induttive allora la composta é iniettiva.

Dopo la dimostrazione segue il seguente risultato :

Presi a1/a2 distinti nel dominio di fog ottengo immagini delle composta sicuramente

distinte. Quindi la composta è iniettiva.

COROLLARIO:

Se f e g sono invertibili e compatibili , allora fog é invertibile .

Vale il risultato: (fog)-1= g-1 o f-1

L inversa della composta si ottiene con una composizione

(Fogoh)-1 = h-1,g-1,f-1,

della funzione inversa, ma presa in ordine inverso.

Insiemi numerici numeri naturali,

Il primo insieme numerico è l’insieme dei dove il numero zero alcuni lo

mettono altri no. numeri interi positivi

Si tratta dell’insieme dei

I numeri naturali sono costruiti aggiungendo ad un numero precedente naturale +1

Si tratta di un insieme in nito composto da in niti numeri.

E l’insieme naturale dei numeri forma la base per de nire un insieme numerabile.

Proprietà

somma

La tra coppie di numeri naturali è sempre numero naturale

moltiplicazione

La tra coppie di numeri naturali è sempre un numero naturale

La sottrazione non è detto che dia numeri naturali. da questo nacque un insieme

dei numeri interi.

numerico un po’ più vasto che permettesse la sottrazione :insieme

Insieme numeri interi

Z

Che consiste nella generalizzazione dei numeri naturali solo con il segno.

All’interno dei numeri interi ci stanno tutti i numeri sia positivi che negativi

somma sottrazione moltiplicazione.

Questo insieme permette la la la e la

Esso è un sottoinsieme dei numeri naturali, per esempio -1 non è un numero naturale,

è un numero intero, mentre tutti i numeri naturali sono interi

insieme numerabile funzione biunivoca

A é detto se è possibile costruire una (iniettiva

e suriettiva) fra A che è l’insieme proposto e N che è l’insieme dei numeri naturali.

possibile costruire una corrispondenza più univoca tra Z e N:

Z è numerabile, è

Ogni numero intero ha la sua corrispondente immagine nei numeri naturali.

È una funzione suriettiva perché tutti i numeri numeri naturali saranno immagini di qualche

elemento dei numeri interi.

fi fi fi

Ci sono tanti numeri interi quanti sono i numeri naturali.

Z=N

L insieme Dei numeri interi non prevede la divisione esempio 2 ÷ 3 non dà come risultato

numero intero l’insieme dei numeri razionali:Q

per questo È un c’è un nuovo insieme per la divisione

Sono tutti i numeri che si possono esprimere tramite un rapporto

In esso ci sono i numeri naturali privati dello zero perché la divisione per zero non è

possibile

Nell’insieme dei numeri irrazionali troviamo

0

1

2

1/2

1/3

-1/2 si tratta di un rapporto espresso in minimi termini in quanto scrivere =-2/4 sarebbe la

stessa cosa

-1/4

23/17

sempre possibile la divisione quindi la divisione è ancora un numero Razionale.

È

GLI INTERI SONO UN SOTTOINSIEME PROPRIO DEI RAZIONALI.

CARATTERISTICHE DELL INSIEME Q

É DENSO , i numeri interi no

Denso: ovvero che comunque si prendano due numeri razionali se ne trova sempre almeno uno

che sta tra questi due. Questo non avviene nei numeri interi .

Z non è denso, perché ?

Se prendo due numeri interi tra -2 e 2 trovo qualche intero che sta nel mezzo, , ma se prendo due

numeri interi come 0 e 1, non c’è nessun numero intero nel mezzo , quindi :

Z E N NON SONO DENSI.

CRIVELLO DI ERATOSTENE

I numeri razionali sono più dei numeri interi .

interi in niti.

Essendo gli un sottoinsieme dei razionali , anche essi sono

quindi ci sono tanti numeri razionali quanti naturali

Q è numerabile , Q=N

-2….-1…..0…..1…..2… non trovo sempre e solo numeri razionali.

Ci sono degli spazi che rimangono vuoti : non tutte le problematiche numeriche si

possono risolvere con i numeri razionali. metarazionali(numeri non razionali )

Chi ci sta in questi spazi vuoti? I numeri

I numeri non razionali sono detti IRRAZIONALI.(ii)

Vanno a riempire i buchi creati dai numeri razionali nel crivello di eratostene e quindi non

ci sono più spazi vuoti. fi

I numeri irrazionali sono tutti i numeri non esprimibili con numeri razionali, come per

esempio: radice di 4= 2

Numeri algebrici: un numero è detto algebrico se esso è soluzione di una equazione

polinomiale Monica a coe ciente intero . 1

Polinomio monico: se ha il coe ciente di grado maggiore uguale ad

Esempio:

X^3-8x^3+2= questo è monico perché il coe ciente di grado maggiore , ovvero X^3 è 1

3x^5-2x^2+26= non è monico perché il coe ciente di grado maggiore x^5 é. 3.

I numeri razionali sono algebrici .(sono numerabili)

Ci sono numeri razionali solo algebrici? No

Numeri trascendenti: non sono numerabili, sono numeri razionali che non rientrano

negli algebrici. Si indicano con le lettere perché sono numeri molto complessi : 3.14,

oppure il numeri di nepero (e) , oppure gamma .

Il punto di vista della rappresentazione decimale, come si identi ca un numero

razionale?

1/2=0,5

1/3= 0,33333333= 0,3 periodico

antiperiodo, periodo

0,182828282 = 1 é l 82 che è il numero periodico é il

Proprietà razionale rappresentazione decimale nita oppure periodica.

Un numero è con

quando un numero della calcolatrice viene con una rappresentazione decimale nita o

irrazionale.

periodica è un numero razionale, se invece non succede questo è un numero

Esempio

Radice di 2= 1,4142135= é irrazionale.

Come individuare se è algebrico?

Un numero algebrico è sempre esprimibile con combinazioni di operazioni aritmetiche e

radici di ordine qualsiasi, ovvero è un numero che possiamo sempre ottenere applicando

una delle quattro operazioni aritmetiche e radici di ordine qualsiasi.

razionali,

………….. =. Zummando troveremo un’in nità di numeri ma non solo, ci

irrazionali

saranno anche numeri che hanno la caratteristica che comunque si zoomi

trascendente

hanno ancora tanti altri numeri= che sono i tappabuchi dei buchi che

rimangono dei numeri algebrici e sono in nitá ancora più elevata di quanto sono i numeri

algebrici. Trascendenti>algebrici

ffi ffi fi fi ffi ffi fi fi fi

l’insieme dei numeri reali:R (insieme

I numeri razionali (Q) formano numerico più vasto)

Q u II

R é dato dall’insieme =

Dal punto di vista della rappresentazione è costruito andando a completare i buchi che

retta

che rimanevano ed è rappresentato con una

Asse reale : __________________________________ R

Nell’asse reale ci sono i numeri razionali, algebrici ,trascendenti

continuità,

Caratteristica: i numeri reali si possono esprimere in termini di continuità, non

ci sono spazi non ci sono buchi.

La rappresentazione dei numeri nell’asse reale avviene da sinistra verso destra:

Numeri di sinistra < numeri di destra

reali non è numerabile ,

L insieme dei numeri se lo fosse l unione tra i due insiemi (Q, II) ,

questi due dovrebbero essere entrambi numerabili, invece :

Q é numerabile

II non è numerabile.

Caratteristica degli insiemi dei numeri reali:

Consideriamo A un sottoinsieme di R

minorante

Si de nisce di A: a sottosegnato appartenente ad R tale per cui a

sottosegnato minore o uguale di a, per ogni a appartenente ad a

maggiorante

-Si de nisce di a: a soprassegnato appartenente ad R tale per cui a

sopra assegnato maggiore uguale di a per ogni a appartenente ad a.

Minorante deve essere minore di tutti gli elementi che appartengono all’insieme A

Maggiorante deve essere maggiore di tutti gli elementi che appartengono

all’insieme A

INSIEME LIMITATO INFERIORMENTE E LIMITATO SUPERIORMENTE

limitato inferiormente

-A sottoinsieme di R è detto se ammette almeno un minorante (se

ne esiste uno ne esistono in niti) ILLIMITATO

-A SOTTOINSIEME DI R NON PRESENTA MINORANTI ALLORA È

INFERIORMENTE(si possono trovare i numeri grandi e negativi quanto si vuole nel nostro

insieme) limitato superiormente

-A appartenente ad R é detto se presenta almeno

maggiorante(se ce n’è 1 ce ne sono in niti) illimitato superiormente

-Se appartiene ad R e non presenta maggiorenti allora è

fi fi fi fi maggiorante minorante limitato

Se a appartiene ad R e presenta un e un allora è

superiormente inferiormente( si dice solo limitato.)

Estremo superiore e inferiore di un insieme

Inferiore=

Dato un insieme A, inf(a) deve essere minore di tutti gli elementi di a

E per ogni quantità positiva io devo poter trovare un valore di a* che sia minore<inf+E

(epsilon)

Inf di a è il punto più basso dove si avventurano gli elementi di a

Risultato

Se a è limitato inferiormente e non vuoto allora inf(a) esiste ed è un numero reale e inoltre

è il più grande fra i minoranti di a

unico, diversi estremi inferiori.

-inf( a) è un insieme limitato inferiormente non può avere

Superiore = maggiore

Sup(a) deve essere o uguale di tutti gli elementi di A

Risultato

Sup(a) è unico

Esiste se solo se A è limitato superiormente

È il più piccolo fra i maggiorenti di a

Se A è illimitato superiormente, inf(a) è indicato -in nito

Se è illimitato superiormente, Sup(a) é indicato + in nito

MASSIMO E MINIMO= minimo

Dato A sottoinsieme a R, si de nisce di a un numero reale che deve

essere un insieme minore o uguale di tutti gli elementi dell’ insieme e deve

appartenere all’insieme.

Risultato

Se A é limitato inferiormente, inf(a) esiste ed è unico.

Esiste il min(a)? Non è detto perché deve esse un elemento di A.

Inoltre se inf(a) appartiene ad A, allora inf(a)= min(a)

Se l’estremo inferiore non appartiene ad A, l’insieme non presenta il minimo .

Abbiamo ottenuto un risultato alternativo :

Se esiste il min(a) allora A é limitato inferiormente e min(a)=inf(a).

Massimo MAX(a)

Dato a sottoinsieme di R e limitato superiormente si de nisce il

numero reale tale che appartiene all’ insieme , e deve essere maggiore o

uguale degli elementi appartenenti all’insieme.

fi fi fi fi

Se il MAX esiste ed è unico, coincide con l’estremo superiore.

Se A é limitato superiormente, l’estremo superiore esiste sempre, il massimo

non è detto che esista , esiste se L estremo è elemento d