Appunti di Logica Matematica

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Revisionato il 16/05/2026

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Appunti del corso di Logica matematica.Contenuti:- Logica proposizionale: connettivi, tavole di verità, formule, funzioni di verità, sistemi formali, derivabilità e …

Esame Logica matematica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Borga Marco

Università Università degli studi di Genova

A.A. 2015-2016

72 pagine

Appunto

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Estratto del documento

INTRODUZIONE

La logica nasce ai tempi di Aristotele con la teoria del silogismo. La logica matematica è molto più recente. La logica aristotelica viene studiata con metodi matematici da Boole intorno alla metà dell’Ottocento. Alla fine dell’Ottocento inizia la logica applicata alla matematica da Frege.

Due concetti fondamentali:

LOGICA E RAGIONAMENTO MATEMATICO: quando un ragionamento matematico è corretto?
LOGICA E FONDAMENTI DELLA MATEMATICA: quali sono i fondamenti della matematica?

ESEMPIO 1 (logica e ragionamento matematico)

Mostriamo che C_x(A ∧ B) = C_x(A) ∨ C_x(B)

x ∈ C_x(A ∧ B) ⇔ x ∈ X e x ∉ A ∧ B ⇔ x ∈ X e non (x ∈ A ∧ B) ⇔

x ∈ X e non (x ∈ A e x ∈ B) ⇔ x ∈ X e (x ∉ A oppure x ∉ B) ⇔

(x ∈ X e x ∉ A) oppure (x ∈ X e x ∉ B) ⇔ x ∈ C_x(A) ∨ C_x(B)

Nel esempio 1 abbiamo utilizzato tre CONNETTIVI LOGICI: non (connettivo monargomentale indicato con ˜), oppure (connettivo biargomentale indicato con ∨), e (connettivo biargomentale indicato con ∧).

Oppure può essere inteso in due modi diversi:

"aut" oppure esclusivo (uno o l’altro ma non entrambi);
"vel" oppure inclusivo (uno, l’altro o entrambi).

Con “oppure” intendermo sempre “vel” (“∨”).

Abbiamo poi il connettivo condizionalede A ⇒ B (da leggersi “A solo se B”, consigliato “se A allora B”). Infine c’è il connettivo bicondizionale A ⇔ B (“A se e solo se B”).

Tratteremo una logica a due valori di verità: una proposizione è accettata come vera o falsa. Ricordiamo però che esistono logiche con più di due valori di verità (magari infiniti).

INTRODUZIONE

La logica nasce ai tempi di Aristotele, con la teoria del sillogismo. La logica matematica è molto più recente. La logica aristotelica viene studiata con metodi matematici da Boole intorno alla metà dell'Ottocento. Alla fine dell'Ottocento inizia la logica applicata alla matematica da Frege. Due concetti fondamentali:

LOGICA E RAGIONAMENTO MATEMATICO: quando un ragionamento matematico è corretto?
LOGICA E FONDAMENTI DELLA MATEMATICA: quali sono i fondamenti della matematica?

ESEMPIO 1 (Logica e ragionamento matematico)

Mostriamo che C_X(A∩B) = C_X(A) ∩ C_X(B)

x ∈ C_X(A∩B) ⇔ x ∈ X e x ∉ A∩B ⇔ x ∈ X e non (x∈A∩B) ⇔

⇔ x ∈ X e non (x∈A e x∈B) ⇔ x∈X e (x∉A oppure x∉B) ⇔

⇔ (x∈X e x∉A) oppure (x∈X e x∉B) ⇔ x∈C_X(A)∪C_X(B)

Nel esempio 1 abbiamo utilizzato tre CONNETTIVI LOGICI: non (connettivo monoproposizionale indicato con ¬), oppure (connettivo bivalente indicato con ∨), e (connettivo bivalente indicato con ∧). Oppure può essere inteso in due modi diversi:

"aut" oppure esclusivo (uno e l'altro, ma non entrambi);
"vel" oppure inclusivo (uno e l'altro, o entrambi).

Con "oppure" intenderemo sempre "vel".

...

∼((A ∧ B) ⟺ (∼A) ∨ (∼B)),

∼((A ∨ B) ⟺ (∼A) ∧ (∼B)),

A ∧ (B ∨ C) ⟺ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

sono esempi di proposizioni. Chiamiamo TAUTOLOGIA una proposizione che assume sempre valore vero.

Non confondiamo → e ⟺ con ⇒ e ⇔ che sono simboli del METALINGUAGGIO. Ecco un esempio di utilizzo congiunto di → e ⇒:

A → B tautologia ⇒ B tautologia

A tautologia

ESEMPIO 2 (logica e fondamenti della matematica)

Trattiamo la famosa "antinomia di Russell" (1902)

Sia R = {x : x ∉ x} e ci chiediamo se R ∈ R. Si ha

R ∈ R → R ∉ R

R ∉ R → R ∈ R

Non è possibile risolvere il problema dicendo che R non esiste. Infatti per Frege data qualunque proprietà P l'insieme {x : P(x)} esiste.

ESEMPIO

Un'altra antinomia è quella dell'"eterologicità"

Diciamo che un aggettivo è "autologico" se si applica a se stesso (ad esempio "plurisillabico"), diciamo che un aggettivo è "eterologico" se non si applica a se stesso (ad esempio "verde").

L'antinomia sta nella questione se l'aggettivo "eterologico" sia autologico o eterologico. Si giunge alla seguente conclusione: "eterologico è autologico se e solo se è eterologico"

ESEMPIO

Proviamo che esistono a e b irrazionali t.c a^b ∈ Q.

Prendiamo a = b = √2. Se √2^√2 ∈ Q abbiamo concluso.

Se √2^√2 ∉ Q basta scegliere a = √2, b = √2^√2 e certamente

un avrà a^b = √2^(√2²) = 2 ∈ Q.

Quindi i due numeri esistono anche se non sappiamo dire quale dei due casi si verifica.

PROPOSIZIONI

Chiamiamo proposizione una frase per la quale abbia senso domandarsi se

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