MINIMO
dimostriamo che ogni insieme ≠ ∅ ha minimo
S⊆ℕ => il minimo di S esiste
S≠∅
Supponiamo per assurdo che S≠∅ e S non ha min.
∅ ∈ P (∀m < n m ∈ P) => n ∈ P
S... (ℕ-S) = P
∀z ∉ P ovvero P = ℕ => S = ∅ assurdo
quindi S ha minimo
MINIMO
dimostriamo che ogni insieme ≠ ∅ ha minimo
S ⊆ ℕ => il minimo di S esiste
S ≠ ∅
Supponiamo per assurdo che S ≠ ∅ e S non ha min.
0 ∈ P (∀m < n m ∈ P) => n ∈ P
S...S̅ ⊆ (ℕ - S) = P
∀z ∈ P ovvero P = ℕ => S = ∅ assurdoquindi S ha minimo
RELAZIONI
una relazione su A è un sottoinsieme
R ⊆ A×A → R⊆A
- (a,b)∈R
- R(a,b)
- a R b
es.
S ⊆ N×N
S = { (n,m) ∈ N | n+m = p } n ≤ m p ∈ N n+p = m
es.
R ⊆ N×N
R ⊆ (N×N)×(N×N)
(x,y) R (z,w) x = z
PROPRIETÀ
- R è riflessiva se ∀a∈A: (aRa)
- R è transitiva se ∀a,b,c∈A: (aRb ∧ bRc => aRc)
- R è simmetrica se ∀a,b∈A: (aRb => bRa)
se R gode di (1) (2) (3) è della relazione di equivalenza ∼ , ≃ , ≅ ≡
Classe d'ordine
< ∈ ℕ x ℕ a ≠ 0
[a[ = { x | x <a }
A/⩲ ≈ ℕ ⊆ A x A
f: A/⩲ → B
f(a[)=b se a'∈a f(a')=b
es.
ℕ p ≈ q ⇔ p e q sono pari o dispari
f: ℕ/≈ → ℕ
f([n[) =
- 0 se n=2
- 1 se n ≠ 2
ℝ* ~ ℝ
corrispondenza biunivoca tra tutti i reali e i reali compresi tra [0,1]
f: [0,1] → ℝ*
ℝ* ~ ℝ
(a,b) corrispondenza biunivoca tra tutti i reali e i reali compresi tra (a,b)
N ⊆ N
ψ: N ≅ S
- S è Finito
oppure
Se S non è Finito allora S ≅ N
- S ≅ N
ψ(0) ≡ min S
ψ(1) = min (S - {ψ(0)})
ψ(2) = min (S - {ψ(0), ψ(1)})
A ⊆ A
- S è Finito
oppure
Se S non è Finito allora S ≅ N
ψ-1(S)
φ
φ-1(s)
ψ
ψ-1(S) è INFINITO
se Fosse Finito
In = ψ-1(S) ⊆ S
φn(s) ⊆ s
ψ ψ-1(s): ψ
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