Appunti Automatica

Obiettivi:

• Motivazioni: convincersi di quanto l'automatica sia pervasiva nell'ingegneria (in particolare biomedica).
• Terminologia e "mentalità".
• Modellistica: lo strumento più importante per l'ingegnere è il modello matematico.
• Progetto di (semplici) sistemi di controllo.

Argomenti:

1. Def di problema di controllo
2. Retroazione e Feedback
3. Modellizzazione
4. Classi di modelli (modelli LTI)
5. Specifiche di un problema di controllo (cosa deve soddisfare la sc.)
6. Progetto di (semplici) sistemi di controllo.

Prerequisiti:

• Analisi:
  • serie di Taylor, f.t var e der. part.
  • numeri complessi (rapp. polare e cartes.), modulo e fase, eulero, radici, teor. fond. algebra, ...
• Fisica:
  • Leggi di Newton, elettromagnetismo, conduitt., resistenza, induttanze, trasmiss. del calore.
• Algebra:
  • Matrici, spazi vettoriali, f. lineari (un po' tutto)
• Segnali e Sistemi:
  • Risposta in f., trasf. di Laplace, calcolo dell'antitrasf.
  • " di funzioni razionali

DEFINIZIONE DI PROBLEMI DI CONTROLLO

sistema fisico generale: porzione di universo che mi interessa

u(t) → variabile di INGRESSO o CONTROLLO: possiamo manipolarla facendole assumere il valore che vogliamo

y(t) → variabile di USCITA CONTROLLATA

def: Il problema di controllo è quello di scegliere (opportunamente) l'andamento della variabile di controllo u(t) in modo che la variabile controllata y(t) abbia un andamento nel tempo il più vicino possibile ad un andamento desiderato yo(t) in modo + indipendentemente possibile dalla variabile di disturbo d(t).

d(t) disturbo: ingresso che agisce nel sistema e che non posso scegliere io

Se u(t) è selezionata da un dispositivo automatico si parla di controllo automatico

• Se yo(t) = costante: problemi di REGOLAZIONE
• Se yo(t) ≠ : ASSERVIMENTO

Strategia Alternativa:

Strategia che usa anche quello che sta effettivamente accadendo nel sistema.

• v^*(t) = v^*_max se T(t) < Td

• 0 altrimenti

Inoltre raggiungo Td il più velocemente possibile

Questo è un esempio di controllo a retroazione (o feedback, a catena/anello chiuso)

- Mentre quello di prima si chiama a catena/anello aperto

Vantaggi del Feedback:

• Permette di contrastare l'effetto del disturbo e della variazione dei parametri del modello (l'errore (approssimazione) di modello) nel descrivere il sistema fisico.

Svantaggi del Feedback :

• Costi dei sensore (approfitto) (i vantaggi sono costosi)

Modelli di Stato:

L'ingresso e l'uscita sono legati da una coppia di equazioni :

• ẋ(t) = f ( x(t),u(t))

• y(t) = h ( x(t),u(t))

x₀ = x₀

x è una variabile di stato

z è un segnale vettoriale

z(t) ∈ ^Rm ∀t e si dice stato del sistema Σ, m si dice ordine o dimensione del sistema Σ.

= ₁/_CT ...

... eq. di stato, ma non lineare

ESERCIZIO:

Cosa dobbiamo sapere: → posizione e velocità iniziale!

origine degli assi è in corrispondenza alla molla scarica.

z = [x₁ x₂] = [y ẏ]

ẑ = x₂

ẋ₂ = ₁/_M F_t = ₁/_M [F - βẏ - k_y] = ...

ẋ = [₀ -_k/_M -_β/_M] ...

y = [_{1 0}] ...

δż = ż - ż̅ - ƒ(z̅,u̅) - 0

= ƒ(z̅ + δz, u̅ + δu) - ż̅

= _∂ƒ/_∂z δz + _∂ƒ/_∂u δu + σ (δz, δu)

Se δz e δu sono piccoli posso concludere che il modello lineare approssimato:

δż = Aδz + Bδu

(eq. dinamica di un sistema lineare)

08/10/2020

Per lineatizzare l’eq. di uscita (x ora lo abbiamo fatto solo con quello di stato):

δẏ := ẏ - ẏ̅ = h(z̅,u̅) - ẏ̅ = h(z̅ + δz, u̅ + δu) - ẏ̅

12/10/2020

OSSERV.: Se A ha n autovalori distinti allora è diagonalizzabile

Se P(s) è p.a c. reali allora i suoi zeri o sono reali o sono a coppie di valori fra di loro complessi coniugati.

se _l ∈ ℝ(M _g (l ) ⁼ m(a _l ) = m(a ⁱ )

INVERSIONE DI UNA MATRICE :

Se A ∈ ℝ^m×m ↔

A^-1 = Adj[A] / det[A]

Adj[A]_ij = (-1)^i+j det[Aex,j,-j,-i]

matrice A tutta la riga i e la colonna j

MATRICE AGGIUNTA DIA ↔ calcolare un determinante dell'algebra.

se A è matrice 2×2 :

A^-1 = [d -b / -c a] / det(A)

A = [a b / c d]

dell'uscita:

y_f(t) = c x_f(t) + d u(t)

⇒ y_f(s) = c X_f(s) + d U(s)

= c (sI-A)^-1bU(s) + αJ(s)

= [c (sI-A)^-1 b + d] U(s)

W(s): FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (O TRASFERENZA) del sistema Σ.

Se u(t) = δ(t) ⇒ y_f(s) = c (sI-A)^-1 b + d

= W(s)

⇒ y_f(t) = ^e∫^-1[W(s)]

^e∫^-1 [W(s)] = w(t) si dice RISPOSTA IMPULSIVA (o USCITA IMPULSIVA) del sistema Σ.

= c e^At b + d δ(t)

comb. lin. dei modi impulso (re e^-1 diverso da zero se d ≠ 0)

Se d = 0 il sistema Σ si dice STRETTAMENTE PROPRIO

y_f(s) = W(s)U(s)

⇒ ^e∫^-1

y_f(t) = w(t) * u(t)

W(s) = c (sI-A)^-1 b + d

(sI-A)^-1 =

Adj[sI-A]/{det[sI-A] → pol. caratteristico Δ(s)}

aggiunta

{matrice n x n}

{polinomio di grado n}

Esempi ed esercizi:

(1) pendolo:

• ^z = [ _g/_L sin x₁ - κ/_mL² x₂ + 1/_mL² u ] y = x₁

• ∂f/∂x = [∂f/∂x1 1 ∂f/∂x2] ∂f/∂x = [0 1] -g/L cos ... -κ/mL2 ∂f/∂u = [1/mL2]

• ∂h/∂x = [1 0] j

  ∂h/∂u = 0

• (1) consideriamo ingrezzo e calcoliamo i punti di eq. (Chiamiamola f(x,u))

  ^z = [ _g/_L sin x₁ - κ/_mL² x₂ + 1/_mL² u ] ^→ punti di equilibrio:

  1. A: ((0),0)
  2. B: ((π), 0)

• (2) studio stabilità e asintotica stabilità dei due p. di eq. per k > 0

  (con g > 0, l > 0, m > 0)

  1. δ^z = A δx + b δu

     dy = c δ_x + d δu

  2. A = ∂f/∂x

     |_y = , ^u= | = [0 -^g/L 1 -κ/_mL²]

     = [ 0 1 ]

     q^L -κ/ _mL²]