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Estratto del documento
  • Stima ML

Critéri di Stima

L(s)

soluzioni improprie, ma comode (Fisher & non)

Vogliamo saper progettare stimatore, anche nei casi in cui non sia ovvio quale è il migliore

Critéri della massima verosomiglianza (Maximum Likelihood) (ML)

per v.c. discrete

L(g, x) = p(5x):

dall'esperienza x

  • Es: 5:30 Lez 3

Non è una v.c.

In generale

Criterio della massima verosomiglianza

L(g, x)

  • Es: 1:45 Lez 3

Per trovare i punti di massimo azzera le derivate prime e controlla i radici...

Nota: Spesso è più comodo massimizza il ln L invece...

ln L(g, x)

S(θ; y) = ln[L(θ; X)] e detto anche supporto "loqo likelihood".

Massimizzare Sθ equivale a ln(x) = 1 <=> x=2 < ln(x).

θ = parametro dello = a che se ho n osservazioni indipendenti.

S(θ) = ln[L(θ; X)]

Riacutare df numeri MLE a partire dalle osservazioni: i.i.d. Xi ~ λ(m, θ), i=1, ..., n

L(θ; X) = ∏i=1n = 1 / 2πθn/2(e- 1 2θ ∑i=1n (Xi - θ)2

S(θ; X) = ln[L(θ; X)] =- 2 - 2 ∑(Xi - θ)

Calcolo la derivata seconda che < 0 => θ* è un punto di massimo medio apparente.

θ* = 1/n ∑ Xi

Proprietà degli Stimatori ML

  • Invarianza parametrica.

Per osservazioni Xi = i.i.d.

  • θ* è consistente (converge in probabilità a θ0)
  • θ* è asintoticamente: non polarizzata => E[θ*∞] = θ0
  • θ* traguingere asintoticamente il limite o (kumer differenti CR.) :
  • E asintoticamente gaussiane θ*∞ ~ N(θ0, R)

Perché è bernouill con B=P. Conosce il numero K di necessità in N prove

Caso vettoriale: X è un vettore casuale

Mean Squared Error - MSE X(s) = E[(E[s - E[s]])2] ≥ E[(E[s])2]

dove s: ↠ X, X ε Rm

Si dimostra che MSEX(s) è minimizzato dal s = E[X]

Stimare un v.c. è stimare di "pullutera v.c"

Es.: stimare κ valore X sulla base della misura di Y (esempio)

Ym (β esempio)

Ipotesi X Y v.c. congiunte con fX,Y(x,y) nota

Teorema fondsource: X*(y) = E[X|Y = y]

Dim: Come luilletana, sia con fX|Y(x|y) - vetcre sia fX(x)

Definizione:

  • Equazione min E[(E[Y] - X)2] | Y = y]
    1. È noto il problema di stimani media quadratica

Nel caso vettoriale x*(y) = E[X|Y = y] minimizza E[E[(Y - X)2|X]]

dove s: ↠ X, X ε Rm

Se X e ε Y sono indipendenti ⇒ E[X|Y = y] = E[X]

E[E[(Q(Y)-X)|Y = y] = E[E[Y - X*] + VX[X]]

Nel caso vettoriale X*(y) = E[X|Y = y] minimizza E[E[Y - X*]]

X:*(y) = E[X|Y = y] + E[Y]* in media XL

MSE = E[E[Y]L X]|Y = y] = V

Dettagli
Publisher
Teoscard
A.A. 2020-2021
55 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche INF/01 Informatica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Teoscard di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Identificazione dei modelli e analisi dei dati e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Pavia o del prof De Nicolao Giuseppe.