Appunti di Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati parte A

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Appunti presi in classe del corso di IMAD A di Ingegneria informatica dell'Università di Pavia, svolto nell'anno 2020-2021 e tenuto dal prof. Giuseppe De Nicolao. Appunti basati su …

Esame Identificazione dei modelli e analisi dei dati

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. De Nicolao Giuseppe

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2020-2021

66 pagine

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IMAD 29-9-20

Modelli
Modello: entità più semplice usata a sostituzione della realtà
Modello matematico: relazioni che descrivono quantitativamente le relazioni tra alcune grandezze di un fenomeno.

Trovare modelli matematici
Usando leggi fisiche → modellizzazione a scatola trasparente (white box)
A partire dai dati → modellizzazione a scatola nera (black box)
Approccio intermedio → conosco leggi fisiche ma non alcuni parametri:

Uso dei dati sperimentali per determinare parametri
→ modellizzazione a scatola grigia (grey box)

Alcune piccole variazioni (per non complicare troppo un modello) possono descriverle tramite variabili casuali.

Probabilità
Classica
Esperimento casuale evento A. N = casi possibili N_A = n. casi favorevoli ad A

n ripetizioni dell'esperimento. m = n. volte che si verifica A

P(A) = _m/_n, n → ∞

P(A) = lim m

Frequentza relativa

Assiomatica (Kolmogorov)

E' un insieme > 0 che rispetta certe regole:

P(A) > 0
P(evento certo) = 1
A e B si escludono a vicenda → P(A+B) = P(A) + P(B)

Per trattare i casi reali si fanno ipotesi per assurdo.
Soggettiva (Bayesiana)
Misura del grado di fiducia individuale (degree of belief) riguardo al verificarsi di un evento.

IMAD 29-9-20

Modelli
Modello: entità più semplice usata a sostituzione della realtà.
Modelli matematici: relazioni che descrivono quantitativamente le relazioni tra alcune grandezze di un fenomeno.

- Trovare modelli matematici

Usando leggi fisiche → modellizzazione a scatola trasparente (white box)
A partire dai dati → modellizzazione a scatola nera (black box)
Approccio intermedio → conosco leggi fisiche ma non alcuni parametri.

Uso i dati sperimentali per determinare i parametri → modellizzazione a scatola grigia (grey box)

Alcune piccole variazioni (per non complicare troppo un modello) posso descriverle tramite variabili casuali.

Probabilità

Classica

Esperimento casuale evento A. N=esiti possibili. N_A=esiti favorevoli ad A

P(A)=_{N_A}/_N

Frequenza relativa

n ripetizioni dell'esperimento. m_n=volte che si verifica A

P(A)=lim_n→∞m_n/_n

Assiomatica (Kolmogorov)

È un insieme >0 che rispetta certe regole:

1) P(A)≥0

2) P(evento certo)=1

3) A e B si escludono a vicenda ⇒ P(A+B)=P(A)+P(B)

Per trattare i casi reali si fanno ipotesi per assunlo.

Soggettiva (Bayesiana)

Misura del grado di fiducia individuale (degree of belief) riguardo al verificarsi di un evento.

Assiomi di probabilità

La probabilità è definita su insiemi.

Insieme Ω (S) degli esiti di un esperimento casuale (spazio universo o spazio degli esiti).

Insieme F (F) degli eventi: è un insieme di sottoinsiemi di S che godono di due proprietà:

1) A∈F ⇒ Ā∈F
2) (A∈F) AND (B∈F) ⇒ (A+B)∈F

Conseguenze di (1) e (2):

(A∈F) AND (B∈F) ⇒ (Ā∈F) AND (B∈F) ⇒ (Ā+B)∈F ⇒ (Ā+B)∈F ⇒ĀB∈F

Eventi disgiunti: non possono verificarsi simultaneamente (incompatibili).

Evento certo: si verifica sicuramente.

Evento impossibile: insieme vuoto: ∅

Unione (somma) di eventi: l'evento che si verifica se si verifica almeno uno degli eventi.

Intersezione (prodotto) di eventi: C=AB è l'evento che si verifica se si verificano sia A che B.

Evento negato: B=A si verifica sse non si verifica A.

Oss.: F deve essere chiuso rispetto alle operazioni di complemento e unione, quindi deve sempre contenere ∅ e S.

Definizione assiomatica di probabilità

P(.) : F → [0,1], è una qualsiasi funzione che ad ogni evento A∈F associa in numero reale P(A) in modo tale che:

1) P(A) ≥ 0
2) P(S) = 1
3) AB = ∅ ⇒ P(A+B) = P(A) + P(B) (proprietà di additività semplice)

Imd 5-10-20

Corollari
- P(A) = 1 - P(A) ≤ 1
- P(∅) = 0
- B ⊂ A ⇒ P(B) ≤ P(A)
- A₁, A₂, ... A_n disgiunti
- P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n) = P(A₁) + ... + P(A_n)
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB) ≤ P(A) + P(B)

Spazi con infiniti risultati (ordinalità infinita)

Suppongo che Ω ◃ subdsi:

2° _i=1 ⋃ A_i = Ω

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