Appunti di Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati parte A

Modelli

• Modelli: entità più semplice rispetto alla sostanzierà della realtà
• Modelli matematici: relazioni che descrivono quantitativamente le relazioni tra alcune grandezze di un fenomeno.

• Trovare modelli matematici
• Usando leggi fisiche modellizzazione a scatola trasparente (white box)
• A partire dai dati modellizzazione a scatola nera (black box)
• Approccio intermedio: conosco in macro alcuni parametri -> da dati sperimentali stimo i parametri -> modellizzazione a scatola grigia (grey box)

Alcune piccole variazioni (per non complicare troppo un modello) possono essere descritte tramite variabili casuali.

Probabilità

• Classica
• Esperimento casuale, evento A.

Numero esiti possibili

_m: esiti favorevoli ad A

P(A) = _lim m_a→∞ m_n

• Frequenza relativa

• Assiomatica (Kolmogorov)

È un numero

che rispetta certe regole:

1. P(A) ≥ 0
2. P (evento certo) =1
3. A e B si escludono a vicenda ⇒ P(A+B) = P(A) + P(B)

Per evitare i casi reali, si fanno ipotesi per senso.

• Soggettiva (Bayesiana)

Misura dei gradi di fiducia individuale (degree of belief) riguardo al verificarsi di un evento.

Assioma di probabilità

La probabilità è definita su insiemi:

Insieme S (σ-es): insieme di un esperimento casuale (spazio universo o spazio dell'essi).

Insiemi F (σ-F): e eventi: è un insieme di sottoinsiemi, di S che godono di due proprietà:

1. A ∈ F ⇒ Ā ∈ F
2. A, B ∈ F) and (B ∈ F) ⇒ (A ∪ B) ∈ F

Eventi _complemento

(A, B ∈ F) ⇒ (A ∩ B ∈ F) ⇒ (A ∩ B) ∈ F ⇒ (A ∩ E) ∈ F ⇒ ∩AB ∈ F

(A, B)

AB = A ∩ B

Eventi disgiunti: non possono verificarsi simultaneamente.

Evento certo: si verifica certamente 1_SO 2 _{evento impossibile}: evento ¹ si verifica se e solo se si verifica sempre.

Intersezione ( ∩ prodotto) di eventi: C = A ∩ B è l'evento che si verifica se si verificano sia A che B.

Evento negativo B > A si verifica se non si verifica A.

Oss: L'intersezione chiusa rispetto alle operazioni di complemento e unione, quindi deve sempre contenere l'e e ∅.

Definizione assiomatica di probabilità

P(.): F → [0,1] una qualsiasi funzione che ad ogni elemento A ∈ F associ un numero reale P(A) in modo tale che:

1. P(A) ≥ 0
2. P(1) = 1
3. AB = {∅} ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) _{proprietà additività semplice}

MATLAB

Variabile=espressione oppure espressione

j immagino sia uguale a i

eye(n,n)→matrice identita di ordine n.

help funz→documenta singola funz.

Definizione matrici:

A=[2 3; 2 5; 5 0] A=[2 3 2 5 5 0]

% si commenta con il simbolo %

clear → elimina le variabili dal workspace

clc → pulisce la command window

close → chiude i grafici già aperti

disp(x)→mostrare info variabili o una stringa

A.^2→A trasposta

A.^2 → eleva il quadrato ogni elemento di A

A.*B→moltiplica elementi nella stessa posizione

eig(A)→Eigen values, cioe autovalori nel vettore colonna se n non nulla

a ^(1/n) → variabile; oppure se ha due matrici: delego gli autovettorinormalizzati:

e ad diagonale con gli autovalori.

det(A)→determinante inv(A)→inversa rank(A)→rango

A(i,j) selezione il dato nella colona i colonna j ← indicizzazione

A(:,j) colonna j / A(i,:) riga i

A(:,end) ultima colona / A(end,:) ultima riga

A=[] crea un insieme vuoto e ne elimina il contenuto

V(i) selezionato di vettore v

[m,n]=size(A)→nº riga m nº colona n (matrice)

n=length(v)→nº elementi di v (vettore)

Generazione vettori:

• x=1:5 → 1 2 3 4 5
• x=1:0.5:2 → 1 1,5 2

y=linspace(1,2,3)

IMAD 14-10-20

- T. di coesistenza

Dati en elevazioni E(X) che codifici ( 0, 0, 0 ) è sempre possibile calcolare

in esperimento casuale in coppie una variabile casuale che abbia E(d) come

Val. dunque confrontando con B(0) in codifico (0,0,0) che avrà M( x ) come d.d.p.

Quindi posso ignorare {S, B, F(X)}

- Variabile casuale gaussiana

F(x) = [integral]

F(x) = f(x)

F(x) = non esiste in forma esplicita

- V.c. di Bernoulli

F(x) = P(x)S(x)(1 - P)s(x-x)

- V.c. binomiale di ordine m

X: numero successi in m prove di Bernoulli

f_x(x) = ∑_x=0^m ( ^mC_x) p^xq^m-xS(x-k)

n = 1

p = q = 1/2

Per importare i file excel posso usare:

• Import Tool
• Copia e incolla - worksheet
• readtable - "NomeFile.xls" / .txt

Oltrepassare qualche riga con legami in singolo file o più file i vecchi getdesign

1. Legare un singolo file (prima)
2. Acquisire:
3. Aprire dati

es.

• location - location, leggiamo il nome file
• preview - visualizza come i dati saranno letti
• ds.Name, unnamed single = true - come nelle colonne
• ds.Number of lines = 3 - inizio righe tabelle
• ds.ReadSize - 30000
• read(ds) - legge il prossimo x file
• reset(ds) - riutilizza l'indirizzo del file

Se mancano dei valori: mean(ds.Velocità,'omitnan') - ignora NaN

Possa eliminare le righe che hanno valori mancanti - rmmissing(ds)

ismissing(vettore) - bool see valore

ismissing(tab) - versione di isnull ma per la tabella

ann(tab, 0, 1) - colonne

IMA2 23-10-20

• Variabili casuali congiunte

Funzione f. congiunta distribuzione d degli esisti

X(Ω), Y → R

V.c. n-dimensionali: X dato esperimento casuale il cui esito è associato a un vettore X = (X₁, X₂, ..., X_n)^t

= F.D.j bidimensionale

F_x,y(x,y) dlle v.c. congiunte X(j), e X(n)

f_x,y(x,y,z) = P(X ≤ x, Y ≤ y)

Proprietà:

• F_x,y(-,∞,y) = 0 , F_x,y(x,∞) = 0
• F_x,y(∞,∞) = 1
• P(X ≤ x, Y ≤ y) = F_x,y(x,y) = f_y(x,y)dydx

= doppia integrale

P[(x ≤ X ≤ x + Δx), (y ≤ Y ≤ y + Δy)] = [V _x,y(x,y) * Δy]

P[(X,Y) ∈ D] = ∬_Df_y(x,y) dxdy

Distribuzioni e densità marginali

Le F.D. e PDF modello singole v.c. ( X (j) e X (n) ) sono dette marginali in contrapposizione

a quelle congiunte.

F_x(x) = F_x,y(x,∞)

f_x(x) = ∫ f_x,y(x,y)dyd

F_xy(xy) = F_x(∞,y)

f_y(y) = ∫ f_x,y(x,y)dx

Hw

d_df = e^r

f_x,y = π

L² / 2

r²

/ π^r

Incorrelazione

Due v.c. X e Y i.i.d. che σ_xy=0 (⇒ E[XY] = E[X]E[Y]) si dicono incorrelate.

Forma

Se X, Y sono indipendenti, allora sono anche incorrelate.

DIM: E[XY] = ∫(∫x*f_X,Y(x,y) dx) dy = ∫x f_X(x) dx (∫y f_Y(y) dy) = ∫x f_X(x) dx E[Y] = E[x]E[Y]

Nota: il viceversa non è vero in generale.

Esempi

Z = X + Y ⇒ σ_Z² = σ₁² + σ₂² + 2σ_x,y

Dim: E[(Z - E[Z])²] = ...

Con X, Y incorrelate Z = X + Y ⇒ σ_Z² = σ₁² + σ₂²

Esercizio

Dato X₁, ..., X_n v.c. incorrelate con E[X_i] = m, Var[X_i] = σ², calcolare E di x con x̄ = (1/n) Σ_1,n X_i.

Var[x̄_n] = σ²/n

Variabili casuali vettoriali

v.c. vettoriali n-dimensionali

con X₁, ..., X_n v.c. congiunte

f: (ω₁, ..., ω_n) ∈ R^N → Rⁿ

E[X] =

Z = AX + BY ⇒ E[Z] = AE[X] + BE[Y]

(Limiti...)

Matrice varianza

Var[X] = E[(X_i - E[X_i])(X_j - E[X_j])^T]

(δ_imδ_jn) = [σ_nn σ_nm; ... ; σ_nn])

E[(X_i-E[X_i])(X_j-E[X_j])] = Cov(X_i, X_j)]

v.c. incorrelate (derivano tutte da α_jiσ_ij)