Appunti di Geometria UniGe (Catalisano)

GEOMETRIA

INDICE:

• Numeri complessi

• Polinomi

• Matrici

• Sistemi lineari

• Spazi vettoriali

• Trasformazioni lineari

• Diagonalizzazione

• Geometria nello spazio

• Coniche

NUMERI COMPLESSI:

2

√

i= i

−1 =−1

→ z=a+ib a , b ∈R

Forma cartesiana: con a parte reale e b parte immaginaria.

ed è (a,b) il punto corrispondente del piano cartesiano.

' ' ' ' ' ' ' '

( ) ( ) ( ) ( )

z+ z a+a b+b z z a a b a b b

= +i = −b +i +a

Proprietà: e

z=a+ib → z

́ =a−ib

Coniugato: ́ ́ ́ ́

z+ z ' z z ' e zz '=́

z z '

=́ +

Proprietà: √ 2 2

∣ ∣

z a b

= +

Modulo: è la distanza del punto dall'origine

z ρe

∣ ∣ z=ρ(cos

= ϑ=argomento ϑ +isin ϑ)

Forma polare: →

'

( ϑ+ ϑ ) 1 1 sin z

= (cos ϑ+i ϑ) ́

cos( ' =ρ(cos ϑ +isin ϑ)

ϑ + ϑ )+isin ¿

Proprietà: , ,

z ρ

zz '= ρρ ' ¿

iϑ

e isin

=cos ϑ+ ϑ

Forma esponenziale: → Formula di Eulero

iϑ

z=ρ cos sin ρ e

( )=

ϑ+i ϑ 1 1 −iϑ

e

n n inϑ −iϑ

∣ ∣ =

z ρe

z e =

=ρ

Proprietà: , , z ρ

n

z ha esattamente n soluzioni

=a

Formula di De Moivre: ( )

ϑ +2kπ

i

n

iϑ n

√

Basta porre a=ρe e≤z , … , z soluzioni si trovano facend o z ρ e

=

0 n k

−1

POLINOMI: n n−1

P( z)=a z a z z+ a

+ +...+a

Un generico polinomio è n n−1 1 0

a ≠ 0

Con il grado (deg) del polinomio è il maggior esponente n della z.

0 deg ≥ 1

Teorema fondamentale dell'algebra: ogni polinomio con ha almeno una radice.

m

Se P(α)=0 quindi α è radice, m è la molteplicità di α se P(x) è divisibile per (x-α) ma

m+1 1≤ m≤ deg P

( )

non per (x-α) . Le radici di molteplicità 1 sono dette

semplici.

R α

́ ¿=0

Se in (insieme dei polinomi a radici reali) ho che P(α)=0 allora anche P(

[ ]

x

MATRICI: M

Una matrice è una griglia di numeri formata da m righe ed n colonne → →

mxn

a a

( )

11 1n

a a

m1 mn A B con c

+ =C =a +b

Somma: mxn m xn mxn ij ij ij

A B =C

Prodotto: colonne di A = righe di B e C ha righe di A e colonne di B

mxn nxk mxk c b a b b

=a + +a

Prodotto righe per colonne: Es: in una 3x3 e così via...

11 11 11 12 21 13 31

≠

Proprietà: A+B=B+A , (A+B)+C=A+(B+C) , AB BA , (AB)C=A(BC) , (A+B)C=AC+BC

T

A

Matrice trasposta: è la matrice A con righe e colonne scambiate (riga 1 in colonna 1

e così via) ( )

a b

a

( )

Determinante: Se allora det=a, se allora det=ad-bc. Se la matrice è più

c d

grande utilizzo il metodo di Laplace cioè scelgo una riga o colonna (quella con più zeri) e

faccio ad esempio:

( )

a b c ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

e f d f d e

→det c

=a −b +

d e f se la somma degli indici di posizione è pari

h i g i g h

g h i

lascio il segno invariato, se è dispari cambio segno (viene a segni alterni).

1

T −1

det A A

( )=det ( ) A ¿

Proprietà: (AB)=detA detB , det( = det( A)

A k B

Caratteristica/rango: ha rango pari a se esiste una sottomatrice con una

kxk sxs s

det ≠ 0 >k

(B)

dimensione , ossia se e tutte le altre sottomatrici con . Si

indica come ρ(A).

Minore di una matrice: è il determinante di una sottomatrice quadrata.

RANGO DETERMINANTE

a≠ 0 a≠ 0

Moltiplico una riga o colonna per → Moltiplico una riga o colonna per →

non cambia si moltiplica il determinante per si moltiplica

a

il determinante per

Scambio 2 righe o 2 colonne → non cambia Scambio 2 righe o colonne → il

determinante cambia segno

Sommo ad una riga una combinazione Sommo ad una riga una combinazione

lineare delle altre → non cambia lineare delle altre → non cambia

Se una riga o colonna è nulla → det=0

Se una riga o colonna è combinazione

lineare delle altre → det=0

A

Matrice inversa: matrice quadrata. Definisco matrice inversa

nxn

−1 −1 −1

A tale che A A= A A =I 1

−1

A

≠ 0 ¿=

Proprietà: A è invertibile detA , (det detA

⇔ ≠

Calcolo matrice inversa tramite i minori: se detA 0, calcolo tutti i minori della matrice A

(scelgo un elemento per volta e faccio il minore, con il relativo segno). Poi creo la matrice

1 T

−1

A M

=

dei minori M, la traspongo e ho che detA ≠

Calcolo matrice inversa tramite la riduzione dell'identità: se detA 0, scrivo

( )

a b c 1 0 0

∨

d e f 0 1 0 . Riduco a scala la prima applicando poi le stesse operazioni

g h i 0 0 1

sull'identità. Quando la prima si trasforma nella matrice identità, la seconda è diventata la

matrice inversa.

SISTEMI LINEARI: n m

Associabili a matrici, sono sistemi in equazioni e incognite.

{ a x x x ( )

a a

+a +...+a =b ⋯ b

( )

x

( )

11 1 12 2 1m m 1 11 1m 1

=

... y ...

⋮ ⋱ ⋮

→ e si scrive Ax=b

a x x a x a a z b

+a +...+ =b ⋯

n1 1 n2 2 nm m m n1 nm n

́

A=matrice omogenea A=matrice completa o matrice orlata

, ́

A

Teorema di Rouchè-Capelli: un sistema lineare ha soluzioni rango(A) = rango( )

⇔

d

∞ soluzioni con d=n incognite

( )−ρ(rango)

Il sistema, se si può risolvere, ha

SPAZI VETTORIALI: C R

Un insieme di elementi è detto spazio vettoriale (sul campo o ) se:

e x per scalare

( )

∃+

interni a+b=b+ a a+(b+ c)=(a+b)+ c ∃

, , , 0 elemento nullo per la somma,

opposto→ (−a )

∃elemento ∃−a∨a+ =0 , α(a+b)=αa+αb, (α+β)a= αa+βa, 0v=0(vettore

nullo)

Gli elementi di uno spazio vettoriale sono detti vettori.

3 v v x x , y y , z z

a + =( + + + )

⃗

R

V= , (x, y ,z) → e αv=(αx, αy, αz)

1 2 1 2 1 2 1 2

⃗

0 =(0, 0, 0)

v v , … , v vettori sono