Appunti di Geometria UniGe (Catalisano)

TRASFORMAZIONI LINEARI:

'

f :V →V entrambi spazi vettoriali f 0

⃗ ⃗

( ) ( ) ( )

f α a a a e α C =0

( )=αf ( )

⃗ ⃗ ∀ ⃗ ∈V ∀ ∈

f a b a f b a , b V

( )+

⃗ + =f ⃗ ∀ ∈

Proprietà: , , v v '

Nucleo o Kernel: Insieme dei valori di V che hanno come immagine in V' il vettore nullo.

{ }

K= a , f a

( )=0

⃗ ∈V ⃗ K è un sottospazio V

V ' ⁡ ⁡ ⁡

dim V K)+ dim

( )=dim ( ( ℑ)

Teorema: Ker 0 0

Im

Tipi di funzione: .

.

Iniettiva . Surgettiva Biettiva

Normale . .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------- x−3y

( )

x

( )

f =

2 3 x+ y

f : R →R

ES.: è data y x− y

a b

( ) ( )

⃗

a e b

⃗ = =

1 1 f αa βb a βf

( ) ( )

+ =αf + (b)

Considero 2 vettori e un'applicazione lineare

a b

2 2

α a β b a b a a b b

+ −3α −3β −3 −3

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 2 1 2

α a β b

( )

+

f α β

= +

1 1 α a β b α a β b a b b

+ + + +a +

Ottengo = finito.

1 1 2 2 1 2 1 2

α a β b

+

2 2 α a β b a b a b

+ −α −β −a −b

1 1 2 2 1 2 1 2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------- '

f :V →V

Matrice associata ad una trasformazione lineare: data ,

A tale che f a A a

( )=

∃ ⃗ ⃗

m xn

Ad ogni matrice è associata un'applicazione lineare, viceversa ad ogni applicazione

f a A a

( )=

⃗ ⃗

lineare è associata una matrice, secondo l'equazione .

Si trova mettendo in colonna le immagini dei vettori della base.

Isomorfismo: due spazi sono isomorfi se esiste un'applicazione lineare che li lega 0

{ }

Endomorfismo: applicazione lineare di uno spazio in se stesso, è invertibile il K=

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------- { } {

1 x=h

( )

3 3

Trovare f :R → R con K=V e : x− y=0 →

ℑ=W

1 y=h

ES.: 0 z =k

{ }

1 0 1 0

( ) ( ) ( ) ( )

Trovo una base di W → , →f =

1 0 1 0

V=K

0 1 0 0 1 1 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

→f e f

= =

0 1 0 0

Prendo due vettori canonici e ci associo i vettori di W 0 0 1 1

0 1 1 1 1 0 1 −1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f =f − =f −f = − =

1 1 0 1 0 0 1 −1

Poi trovo il terzo 0 0 0 0 0 0 0 0

( )

1 0

−1

Metto∈colonna≤immagini dei vettori canonici→ M = 1 0

−1

0 0 1

Rango M = dim M = 2 quindi dim K = dim V-dim Im = 3-2 = 1

1 0

( ) ( )

M∙ =

1 0

Posso controllare facendo quindi moltiplicando M per il nucleo ottengo il

0 0

vettore nullo.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------

Ricerca del nucleo: Basta risolvere il sistema omogeneo della matrice associata alla

trasformazione lineare. Si ottiene o un vettore o un sistema con dei parametri (e quindi più

vettori al variare di questi). La dimensione del nucleo è meglio calcolarla dopo quella

dell'immagine, più immediata.

Calcolo dell'immagine: L'immagine è generata dalle colonne della matrice associata alla

trasformazione lineare. La dimensione dell'immagine è data dal numero di colonne

linearmente indipendenti (e quindi anche il numero di vettori di una base di Im).

K= 0

{ }

Teorema: Una funzione è iniettiva se e solo se e quindi dim K = 0

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------- { }

( )

1 0 1 1 0 0

( ) ( ) ( )

A= e la base associata E= , ,

1 1 0 0 1

−2

ES.: data 1 0 1 0 1 −1

Da riscrivere in base canonica. { {

x 1 0 0 α α

=x =x

( ) ( ) ( ) ( )

β → →

=α + +γ

y 0 0 1 β= y β=z y

+

Un vettore generico z 0 1 β−γ=z γ

−1 =z

1 1 1 1 1 1 ( )

1 1 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c → f = = → A '=

0 0 0 1 1 1 1 1 0

1 0 0 0 1 1 0 0 1

−2

C E E E E C ¿

1 nel sistema≤c 2 faccio Axc e trovo vettori con α , β e γ 3 sommo i vettori della base E con questi valori

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------

DIAGONALIZZAZIONE:

La matrice associata ad un'applicazione lineare cambia a seconda della base. Esiste

quindi una matrice quadrata U capace di cambiare la base di A.

⃗

f v A v v ' v

( )=

⃗ ⃗ =U ⃗

Definito e la relazione posso calcolare:

⃗ ⃗

( ) ( )

' '

⃗ ⃗ ⃗

−1 −1

v v' →f v v → f v A v I v U U v U v '=A ' v'

( ) ( )

⃗ =U =Uf ⃗ =U ⃗ =UA ⃗ =UA ⃗ =UA

⃗ ⃗

( ) '

' ' v ' −1

f v A con A AU

= =U

Quindi alla fine ho (NON COMMUTATIVA!!)

'

A U −1

A AU

=U

è diagonalizzabile se esiste una tale che sia diagonale

( )

a 0

→ 0 b A' A

Matrice diagonale simile: è detta matrice diagonale simile ad . A volte è D o

∆ . A v λ v λ=autovalore v

⃗ = ⃗ ⃗ =autovettore

Problema degli autovalori: v

⃗

La matrice A è una matrice che moltiplicata per dà origine ad un vettore proporzionale

al primo (di solito non è così) con λ coefficiente di proporzionalità. ES.:

( )

3 4 11 75

( ) ( ) → non prop.

=

1 4 A v

⃗ det A−λI

( )=0

Questo è possibile solo se

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------- ( ) ( )

1 2 1− λ 2 2 √

A= det λ →2 ± 5

= −4λ−1=0

ES.: 2 3 2 3−λ ¿

√

1−2− 5 x 0

( ) +2y

¿

√

1+ 5 2

( )

{ ( )

√ √

λ=2+ 5 2x+ 3−2− 5 y=0 → y= x → scelgo x=2 →u ' autovettore

¿ 2 √ 5+1

√ 5

−1+ ( )

√ 5

−1−

√

λ=2− 5 x= y → scelgo x=2→ u ' ' autovettore

2 2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------- n → det a−λI

( )=0

Polinomio caratteristico: è un polinomio di grado in λ

Molteplicità algebrica di un dato λ: è il numero di soluzioni coincidenti con quel valore di λ

n numero incognite A−Iλ con autovalori sostituiti)

( )−ρ(

Molteplicità geometrica di λ: ≥

Teorema: molteplicità algebrica molteplicità geometrica. Se molt. alg.=1 allora molt.

geom.=1

Teorema: Se una matrice a coefficienti reali è simmetrica, allora ha tutti gli autovalori reali

ed è diagonalizzabile.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------- ( )

1− λ 0 0

det → λ=1, λ=b , λ=−b

=0

a b

−λ

ES.: 1 b −λ

b ≠ 0 e b ≠ ±1

Se le soluzioni sono tutte e tre distinte

{ {

x=0 x=0 mAlg=mGeom=2

→ →

b=0 → λ=1, λ=0, λ=0 ax=0 y=h

Se ho mAlg 2 per λ=0 A è diagonale

x=0 z=k

{ x=0

b=1ho mAlg=2 per λ=1 →trovo → mGeom=1→ non diagonale

y=h

Se z=h

{ x=h

a−1

y= h

b=−1 ho mAlg=2 per λ=1→ trovo 2 → mGeom=1→ non diagonale

Se a+ 1

z h

= 2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------- ( )

5 0 '

A= −1

A AU

=U

ES.: data trovare U

8 3

( )

5−λ 0

calcolo det → λ=5 o λ=3 → diagonalizzabile

=0

8 3−λ ( )

3 0

'

A =

La matrice diagonale simile è che ha tutti 0 tranne la diagonale dove ha i

0 5

λ crescenti

{ {

5−3 x=0 x=0 0

( ) ( )

→ →

λ=3 y=h 1

8x=0 ( )

0 1

→U autovettori∈colonna→ detU

= =−1

1 4

{ {

0=0 x=h 1

( )

→ →

λ=5 8x−2y=0 y=4 h 4

1 ( ) ( )

4 1

−1 −4

−1

U è invertibile →U = =

0 1 0

−1 −1

( )

−1 1 ( ) ( )

4 0 4 1 0

=

Prova 1: 1 1 1 0 1

0

4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 5 0 0 1 1 0 5 3 0

−4 −4

' →

−1 = =

A AU

=U

Prova 2: 1 0 8 3 1 4 1 0 3 20 0 5 '

−1

U A U A

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------

GEOMETRIA NELLO SPAZIO:

u ∙ v → u v

⃗ ⃗ =0 ⃗ ⊥ ⃗

u v → u v

⃗ ∧ ⃗ =0 ⃗ ∥ ⃗

u v ∙ w u , v , w sono complanari

( )

⃗ ∧ ⃗ ⃗ =0→ ⃗ ⃗ ⃗ ax +by +cz +d =0

Equazione cartesiana del piano: ⃗

⃗

N , b , c k

(a )

Vettore normale al piano: , nullo solo se sono nulli tutti i valori. 1

Piano generato da 2 vettori indipendenti e il loro punto di origine P: P

{ x=x a t λ

+ +b

0 1 1

⃗ y= y t+ b λ

+a

k 0 2 2

2 z=z a t+b λ

+

0 3 3

⃗ ⃗ =⃗ ⃗

⃗

con P x , y , z k a , a , a k b , b , b → N k k

( ) ( ) ( ) ∧ il prod. vett. è perpend.

0 0 0 1 1 2 3 2 1 2 3 1 2

∣ ∣

a x y z d

+b +c +

0 0 0

d Q , π

( )=

Distanza punto-piano: √ 2 2 2

a c

+b +

Equazione cartesiana della retta: intersezione di due piani

{ ( )

ax+ by+ cz a b c

+d=0 →

'