Appunti di Geometria per ingegneria informatica

Università degli studi di Parma

Dipartimento di Ingegneria e Architettura

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica, Elettronica

e delle Telecomunicazioni

Anno Accademico 2016/2017

A

PPUNTI

Geometria

9 CFU

Tenuto dal

Prof. Alberto Saracco

Appunti personali

di Matteo Ferreri

Sommario

1 Vettori geometrici ........................................................................................................................ 1

2 Spazi vettoriali ............................................................................................................................. 3

2.1 Spazi e sottospazi vettoriali ................................................................................................... 3

2.2 Somma e intersezione di sottospazi....................................................................................... 8

3 Applicazioni lineari .................................................................................................................... 10

3.1 Applicazioni lineari ............................................................................................................. 10

3.2 Composizione ...................................................................................................................... 12

3.3 Nucleo e Immagine ............................................................................................................. 14

4 Matrici ........................................................................................................................................ 18

4.1 Determinate ......................................................................................................................... 20

4.2 Rango................................................................................................................................... 28

4.3 Autovalori e Autovettori ..................................................................................................... 30

5 Sistemi Lineari ........................................................................................................................... 35

5.1 Risoluzione di un Sistema Lineare ...................................................................................... 39

6 Cambiamenti di base .................................................................................................................. 42

6.1 Matrice del cambiamento di base ........................................................................................ 43

Matrice associata a un’applicazione lineare

6.2 ........................................................................ 49

7 Endomorfismi diagonalizzabili .................................................................................................. 53

8 Applicazioni Bilineari ................................................................................................................ 55

8.1 Prodotti scalari ..................................................................................................................... 55

8.2 Forma Bilineare ................................................................................................................... 62

8.3 Ortogonalità negli spazi vettoriali ....................................................................................... 65

8.4 Basi ortogonali (e ortonormali) ........................................................................................... 70

8.5 Matrice associata a una forma bilineare e cambiamenti di base ......................................... 73

8.6 Spazio euclideo e Hermitiano.............................................................................................. 75

8.7 Rotazione e riflessione ........................................................................................................ 76

8.8 Prodotto vettoriale ............................................................................................................... 77

9 Geometria affine ........................................................................................................................ 79

9.1 Equazioni del piano ............................................................................................................. 79

9.2 Equazioni della retta ............................................................................................................ 80

9.3 Punti e piani ......................................................................................................................... 81

9.3.1 Un piano e un punto ..................................................................................................... 81

9.3.2 Un piano e due punti .................................................................................................... 82

9.3.3 Un piano e 3 punti ........................................................................................................ 83

9.4 Punti e rette .......................................................................................................................... 84

I

9.4.1 Una retta e un punto .................................................................................................... 84

9.4.2 Una retta e due punti ................................................................................................... 84

9.5 Rette e rette .......................................................................................................................... 85

9.5.1 Posizione tra rette con equazione parametrica ........................................................... 85

9.5.2 Posizione tra rette con equazione cartesiana .............................................................. 86

9.6 Rette e piani ......................................................................................................................... 87

9.6.1 Posizione tra una retta e un piano con equazione parametrica ................................... 87

9.6.2 Posizione tra una retta e un piano con equazione cartesiana ...................................... 88

9.6.3 Un piano e una retta..................................................................................................... 88

9.6.4 Un piano e una retta e un punto .................................................................................. 89

9.6.5 Un piano e due rette .................................................................................................... 90

9.7 Piani e piani ......................................................................................................................... 91

9.7.1 Posizione tra due piani con equazione parametrica ..................................................... 91

9.7.2 Posizione tra due piani con equazione cartesiana ........................................................ 91

9.8 Distanze ............................................................................................................................... 93

9.8.1 Distanza tra due punti .................................................................................................. 95

9.8.2 Distanza punto retta ..................................................................................................... 95

9.8.3 Distanza punto piano .................................................................................................... 96

9.8.3 Distanza retta retta....................................................................................................... 97

Bibliografia ........................................................................................................................................ 97

II “La Geometria, quando è

certa non dice nulla del mondo

reale, e quando dice qualcosa a

proposito della nostra esperienza,

è incerta” [cit. A. Einstein]

1 Vettori geometrici

Definizione 1.1 3

ℝ

∈

Un in O è un segmento orientato, con il primo estremo nel punto O e il

vettore applicato 3

ℝ

∈

secondo estremo nel punto P .

P

1

തതതത

≡ = [ ]

2

3

O

ℝ

Una volta superate le tre dimensioni ogni concezione geometrica svanisce. In un vettore viene

assegnato come n-upla ordinata di elementi, in cui ciascun elemento è un numero reale che individua

una componente del vettore. 3

ℝ ℝ

Siano e due vettori di e una quantità scalare (un numero reale) in ;

Definizione 1.2

la loro è il vettore ottenuto dalla somma delle loro coordinate componente per componente.

somma

1 1 3

ℝ

= [ ] , = [ ] ∈

2 2

3 3

+

1 1 1 1

+

= + = [ ] + [ ] = [ ]

2 2 2 2

+

3 3 3 3

La regola della somma si interpreta geometricamente come la

regola del parallelogramma. Infatti graficamente la somma dei

due vettori e è il vettore dove è il quarto vertice del

, .

parallelogramma individuato da e

O

Definizione 1.3 ,

Il è un vettore che ha la stessa direzione di lunghezza moltiplicata per

prodotto per scalare

|| .

e verso uguale oppure opposto a seconda del segno di

1 3

ℝ , ∈ℝ

= [ ] ∈

2

3

1 1

= [ ] = [ ]

2 2

3 3

Proprietà 1.1 3

ℝ ℝ

, ,

∈ , ∈

Dati i vettori e valgono le seguenti proprietà:

1) proprietà associativa della somma:

( (

+ + ) = + ) +

2) proprietà commutativa della somma:

+=+

3) esistenza dell’opposto:

+ (−1) = − =

esistenza dell’elemento neutro per la somma:

4) +=+=

5) proprietà distributiva del prodotto per scalare:

( + ) = +

( + ) = +

() = () = ()

2

2 Spazi vettoriali

2.1 Spazi e sottospazi vettoriali

Definizione 2.1

è un insieme G in cui è data un’operazione (che può essere indicata con il segno + o

Un gruppo le proprietà dell’operazione.

con il segno *) che soddisfa

- Il gruppo (G, +) soddisfa le proprietà della somma.

- Il gruppo (G, *) soddisfa le proprietà del prodotto.

Definizione 2.2

Un campo è un insieme è dotato di due operazioni (di solito indicate con i simboli + e *) per cui

valgono tutte le proprietà delle operazioni date.

Si indica con il simbolo ( , +, *).

Definizione 2.3

Uno su un campo è un insieme V su cui sono definite due operazioni:

Spazio Vettoriale

+ ∀, ∈

- Somma di vettori

∀ ∈ , ∀ ∈

- Prodotto per scalare

Definizione 2.4

∈

Sia uno spazio vettoriale; si dice che il vettore è di vettori

Combinazione Lineare

, … , ∈ , … , ∈

se esistono dei coefficienti tali che:

1 1

= ∑ = + ⋯ +

1 1

=1

Osservazione 2.1 .

, … ,

Il vettore nullo è combinazione lineare dei vettori 1

Definizione 2.5

, … , ∈

Un insieme di vettori si dicono se esistono dei

Linearmente Dipendenti

1

, … , ∈

coefficienti non tutti nulli tali che:

1 + ⋯ + =

1 1

Definizione 2.6

, … , ∈

Un insieme di vettori si dicono se non sono

Linearmente Indipendenti

1

linearmente dipendenti, cioè se:

+ ⋯ + = = ⋯ = = 0

implica

1 1 1

Esempio 2.1

I vettori , , sono linearmente indipendenti?

1 2 3 1 0 0

= [ ], = [ ], = [ ]

0 1 0

1 2 3

0 0 1

Risolvo scrivendo la combinazione lineare dei vettori:

+ + =

1 1 2 2 3 3 3

1 0 0 0

[ ] + [ ] + [ ] = [ ]

0 1 0 0

1 2 3

0 0 1 0

0

0

0

1

1 0

[ ] + [ ] + [ ] = [ ] = [ ]

0

0 2

2 0

0

0 3 3

= = = 0

Risulta che quindi i vettori , , sono linearmente indipendenti.

1 2 3 1 2 3 ∎

Proposizione 2.1

, … , ∈

Sia V uno spazio vettoriale, dato un insieme di vettori sono linearmente

1

⇔

dipendenti uno di essi è combinazione lineare degli altri.

Cioè: ⇔

, … , , … , = + ⋯ + + + ⋯ +

sono lin. dip.

1 1 1 −1 −1 +1 +1

Dimostrazione 2.1

(⇒)sono , … , , … ,

linearmente dipendenti se esistono non tutti nulli tali che

1

+ ⋯ + + ⋯ + =

1 1

≠ 0

e ci sarà un qualche per cui

= − − ⋯ − − − ⋯ −

1 1 −1 −1 +1 +1

1

posso moltiplicare tutto per , ottengo così

−1 +1

1

= − − ⋯ − − − ⋯ −

1 −1 +1 ∎

(⇐)se , … , , , … ,

esiste un vettore che è combinazione lineare dei vettori , allora

1 −1 +1

= + ⋯ + + + ⋯ +

1 1 −1 −1 +1 +1

abbiamo due casi:

= 0 ∀ⅈ = 1, … ,

(I) se = ,

cioè allora

= 0 + ⋯ + 0 + 0 + ⋯ + 0

1 −1 +1

sono linearmente dipendenti

(II) se sono non tutti nulli

allora = + ⋯ + − + + ⋯ +

1 1 −1 −1 +1 +1

sono linearmente dipendenti. ∎

Osservazione 2.2 ⇔

∈ ≠ ;

1) Un vettore è linearmente indipendente ⇔

2) Due vettori , sono linearmente dipendenti sono uno multiplo dell'altro, cioè

1 2

= ;

1 2

3) Se è un insieme di vettori di linearmente indipendenti, allora ogni sottoinsieme di è

∀ ⊆

composto da vettori linearmente indipendenti, cioè , i vettori del sottoinsieme

1 1

sono linearmente indipendenti;

4

4) Se è un insieme di vettori di linearmente dipendenti, allora ogni soprainsieme di è

∀ ⊇

composto da vettori linearmente dipendenti, cioè , i vettori del soprainsieme

2 2

sono linearmente dipendenti.

Definizione 2.7 ⊆

Un di uno spazio vettoriale è un sottoinsieme se è chiuso

Sottospazio Vettoriale

rispetto alle operazioni di somma e di prodotto per scalare;

+ ∈ ∈

1 2

Esempio 2.2 2

2

ℝ ℝ ℝ

= [ ]= ∈

Sia , ,

] |

{[ }

= 3 − 2 = 0

e sia

allora:

1 ⇔

= [ ] ∈ 3 − 2 = 0

1 1 1

1

2 ⇔

= [ ] ∈ 3 − 2 = 0

2 2 2

2

3 ⇔

= [ ] = + ∈ 3 − 2 = 0

1) 3 1 2 3 3

3 ) )

3 − 2 = 3( + − 2( + =

3 3 1 2 1 2

= 3 + 3 − 2 − 2 =

1 2 1 2

= 3 − 2 + 3 − 2 = 0 + 0 = 0

1 1 2 2 ∎

⇔

= [ ] ∈ 3 − 2 = 0

2) 3 − 2 = (3 − 2) = 0 = 0 ∎

Definizione 2.8 dei vettori

, … , ∈

Lo o ) dai vettori è l’insieme che

Spazio Lineare (sottospazio generato 1

, … ,

si ottengono da tutte le possibili combinazioni lineari di .

1

)

( , … ,

Si indica con 1

)

ℒ( , … ,

oppure con 1 |

= {∑ ∈ , = }

=1

Proposizione 2.2

)

, … , ∈ ( , … ,

Sia V uno spazio vettoriale, e . Allora è un sottospazio di .

1 1

Dimostrazione 2.2 )

( , … ,

Basta dimostrare che è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare, infatti,

1

),

, ∈ ( , … ,

siano allora:

1

= + ⋯ + = + ⋯ +

e

1 1 1 1 5

Applicando le proprietà degli spazi vettoriali si ha che:

+ = + ⋯ + + + ⋯ + =

a) 1 1 1 1

( ) ( ) );

= + + ⋯ + + ∈ ( , … ,

1 1 1 1

) )

= ( + ⋯ + ( =

b) 1 1

( ) ( ) )

= + ⋯ + ∈ ( , … ,

1 1 1 ∎

Definizione 2.9

Sia un insieme di vettori di , allora questi sono un di se o