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N.B.!
Proposizione 4.1
|( )| = 1.
Se è una matrice ortogonale allora
Dimostrazione 4.1
()
∈ = 1
Sia una matrice ortogonale. Allora
×
Applicando il teorema di Binet abbiamo: 2
) [( )]
1 = ( ⋅ ( ) =
)
( = ( )
poiché ∎
24
Definizione 4.13 ()
∈
Una matrice quadrata si dice se il suo determinante è uguale a zero
singolare
×
Definizione 4.14 () ()
∈ ∈
Una matrice quadrata si dice se esiste una matrice
invertibile
× ×
tale che:
= =
−1
è la matrice inversa di e si indica con .
Proposizione 4.2
⇔
)
( ≠ 0
Una matrice è invertibile il ed è invertibile, cioè se
1
−1
( ) =
)
(
Dimostrazione 4.2 −1 −1
=
Se è invertibile, allora esiste tale che
Per il teorema di Binet abbiamo: −1 −1
)
( ) = ( ⋅ ( ) = 1
1
−1
)
( ≠ 0 ( ) =
da cui si segue che è che ∎
)
(
Calcolo della matrice inversa
()
∈
Sia . La prima cosa da fare è stabilire se la matrice è invertibile. La condizione di
× ()
⇔ ≠ 0.
invertibilità è molto semplice: una matrice è invertibile
)
( = 0
Se abbiamo finito, la matrice non è invertibile.
l’algoritmo di Gauss-Jordan.
)
( ≠ 0
Se possiamo usare o il metodo dei cofattori o
Metodo dei cofattori
Se è invertibile si ha: 1
−1 ()
= ⋅
()
) .
(
Dove è la matrice che al posto degli elementi di contiene i cofattori di
Il cofattore di un elemento si calcola semplicemente aggiungendo un segno al complemento
in questo modo:
+
(−1)
( ) = ⅈ
()
∈
Dove il complemento è il determinante del minore complementare .
−1×−1
Vediamolo praticamente.
Sia
11 12 13 11 21 31
( ) ⇒ ( )
= =
21 22 23 12 22 32
31 32 33 13 23 33 25
11 21 31
22 32
1+1 2
) (−1) (−1)
( = ( ) = ( )
12 22 32
11
23 33
13 23 33
( ) ( ) ( )
11 21 31
1 ( ) ( ) ( )
−1
( )
= ⋅ 12 22 32 ∎
()
( ) ( ) ( )
13 23 33
Esempio 4.4
Riprendiamo la matrice dell’esempio 4.1 1
1 ⁄
⁄ 0 1
0 3 2
2 ()
( ) ⇒ ( ) ⇒
= = = −8
0 4 0 0 4 1
1 1 2 3 0 2
1
⁄ 0 1
2 4 1
1+1 2
) (−1) (−1) ( )=8
( = ( ) =
0 4 1
11 0 2
3 0 2
1
⁄ 0 1
2 0 1
1+2 3
) (−1) (−1) ( )=3
( = ( ) =
0 4 1
12 3 2
3 0 2
1
⁄ 0 1
2 0 4
1+3 4
) (−1) (−1) ( )
( = ( ) = = −12
0 4 1
13 3 0
3 0 2
1
⁄ 0 1
2 0 1
2+1 3
) (−1) (−1) ( )=0
( = ( ) =
0 4 1
21 0 2
3 0 2
1
⁄ 0 1
2 1
⁄ 1
2
2+2 4
) (−1) (−1) ( )
( = ( ) = = −2
0 4 1
22 3 2
3 0 2
1
⁄ 0 1
2 1
⁄ 0
2
2+3 5
) (−1) (−1) ( )=0
( = ( ) =
0 4 1
23 3 0
3 0 2
1
⁄ 0 1
2 0 1
3+1 4
) (−1) (−1)
( = ( ) = ( ) = −4
0 4 1
31 4 1
3 0 2
26 1
⁄ 0 1
2 1
⁄ 1 1
2
3+2 5
) (−1) (−1) ( )=−
( = ( ) =
0 4 1
32 2
0 1
3 0 2
1
⁄ 0 1
2 1
⁄ 0
2
3+3 6
) (−1) (−1) ( )=2
( = ( ) =
0 4 1
33 0 4
3 0 2 3 3
8 3 −12 ⁄ ⁄
−1 − 8 2
1 1
0 −2 0
−1
( ) ( ⁄ )
= − = 0 0
4 ∎
8 1 1 1 1
⁄
−4 − 2 ⁄ ⁄
⁄ −
2 2 16 4
−1
=
La verifica è semplice, basta controllare che .
Algoritmo di Gauss-Jordan
Se è invertibile dobbiamo affiancarle la matrice identità dello stesso ordine, cioè scrivere un
=
sistema del tipo 1 0 0
11 12 13
( | )
0 1 0
21 22 23
0 0 1
31 32 33
e applicare la riduzione di Gauss fino a ottenere al posto di la matrice identità (è importante non
effettuare operazioni elementari sulle colonne).
Esempio 4.5
Riprendiamo la matrice dell’esempio 4.1 e scriviamo il sistema =
1 1 0 0
⁄ 0 3
2
( | ) =
0 1 0
0 4 0 0 0 1
1 1 2
1 1 0 0
1 0 0 1
⁄ 0 3 ⁄ 0 3
2 1
1 2
1
⁄ 0 ⁄ 0
0 ⁄ 0
( | )= ( | )
= 4 4
0 1 0 4 0 1 0
2 1
1 1 1
1 1 ⁄
⁄ −
−1 0 ⁄ −1 − ⁄ ⁄
− 0 ⁄ −2 0 0 −2
2
3 2
2 1 8 2
2 2
3 3 3
1
1 0 0
1 1 − ⁄ − ⁄ ⁄
− 3
⁄ 0 3 ⁄ 0 0 2 16 4
1 3
2 2
1 1
0 ⁄ 0 ||
( | )=
= 0 ⁄ 0
0 1 0 0 1 0
4 4
1 1 1 1 1 1
1 ⁄ ⁄ − ⁄
⁄ ⁄ ⁄ − ⁄
− ( )
0 0 1 0 0 1
2 16 4 4
2 2 16
3 3 3
−1 − ⁄ ⁄
1 0 0
2 8 2
1 1
|
= 0 ⁄ 0
0 1 0
| 4
1 1 1
⁄ ⁄ − ⁄
0 0 1
( )
4
2 16
allora 27
3 3
⁄ ⁄
−1 − 8 2
1
−1
( ⁄ )
= 0 0
4 ∎
1 1 1
⁄ ⁄
⁄ −
2 16 4
Teorema 4.2 ()
∈
Sia allora le seguenti affermazioni:
×
1) è invertibile
2) è invertibile
3) è iniettiva
4) è suriettiva
5) è biettiva
)
( =
6)
7) le righe/colonne sono linearmente indipendenti
{})
= = (⇒ =
8) il sistema omogeneo ha come unica soluzione −1
∀ ℝ
∈ = =
9) il sistema ha come unica soluzione
)
⇒ ( ≠ 0)
6) i pivot di , comunque determinati sono non nulli (cioè è non singolare
Definizione 4.15 ()
,
∈
Due matrici , si dicono se rappresentano la stessa applicazione (cioè
simili
×
se è un endomorfismo) rispetto a basi diverse, ovvero, se esiste una matrice invertibile tale
che −1
=
Osservazione 4.2
Se due matrici sono simili, allora
1) hanno lo stesso determinante 3) hanno lo stesso rango
) ) ) )
( = ( ( = (
2) hanno la stessa traccia 4) hanno gli stessi autovalori
) )
( = (
4.2 Rango
Definizione 4.16 ()
),
∈ (
Data una matrice , si definisce di , il numero massimo di vettori
rango
×
riga/colonna linearmente indipendenti.
Osservazione 4.1
Il rango è l’ordine più alto rispetto al quale esistono matrici quadrate, con determinante diverso da
zero, estratte da .
Definizione 4.17
() ()
′
∈ ∈
Sia , si definisce di , di ordine una matrice che si
minore
× ×
− −
ottiene cancellando righe e colonne della matrice .
28
Osservazione 4.2 ()
∈
Una matrice può avere rango al massimo uguale al minimo tra il numero di righe e
×
il numero di colonne della matrice:
)
( ≤ min (, )
,
Se il rango coincide con il minimo tra e cioè
)
( = min (, )
allora diremo che ha rango massimo.
Teorema 4.3 ⇔
Una matrice è invertibile ha rango massimo (vedi teorema 4.2, punto 6).
Esempio 4.6 ()
∈
Una matrice ha
3×8
) )
( ≤ min(3, 8) ⇒ ( ≤ 3
()
′ ′
)
∈ ( ) ≠ 0 ( = 3
se ha allora
3×3 ∎
Calcolo del Rango
Metodo dei minori
Questo metodo non è il più veloce perché se la matrice è grande non sempre troveremo il rango al
primo colpo, ma ci vorranno più tentativi.
Teorema 4.4 (degli Orlati)
() ()
⇔ ′
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