Appunti Geometria

MATRICI

Siano m, n ∈ ℕ. Si dice matrice (e si indica A) una configurazione di m×n numeri reali, disposti su m righe e n colonne. Un elemento generico della matrice A si indica con a_i,j con i=1,...,m j=1,...,n. Il primo indice indica la riga di appartenenza e il secondo indice indica la colonna di appartenenza. Es a_3,3 è l'elemento della 3^za riga e 3^za colonna.

A = (

a_1,1 a_1,2 ... a_1,n ... a_m,1 ... a_m,n

)

Se è m≠n allora la matrice è rettangolare. Se è m=n allora la matrice è quadrata di ordine n.

Con a_i,: si indica la i-esima riga A: (a_i,1, a_i,2, ..., a_i,n) Con A^:,j si indica la J-esima colonna A^:,j = (

A_1,j A_2,j ... A_m,j

)

Data una matrice A quadrata di ordine n gli elementi: a_1,1, a_2,2, ..., a_n,n sono detti elementi diagonali e costituiscono gli elementi diagonali della matrice.

Es. (

3 4 1 -1 5 0 -2 6 2

)

a_1,1 = 3, a_2,2 = 5, a_3,3 = 2

Una matrice è detta in diagonale se accade che a_i,j = 0 per i≠j cioè se sono tutti nulli gli elementi (tranne quelli) appartenenti alla diagonale.

Es.

A = (4 0 0)(0 3 0)(0 0 2)è una matrice diagonale.

Due matrici sono uguali se sono dello stesso tipo e se sono uguali tutti gli elementi corrispondenti.

Es.A = (1 2)(3 4)B = (1 2)(3 4)sono uguali.

Una matrice si dice nulla quando ha tutti gli elementi nulli (e si indica con O_n).

Es.O = (0 0 0)(0 0 0)(0 0 0)

Data una matrice A, si dice sua trasposta (e si indica con A^t) la matrice che si ottiene da A scambiando le righe con le colonne.

Es.A = (1 2 3)(4 5 6)(1 7 2)A^t = (1 4 1)(2 5 7)(3 6 2)

Una matrice quadrata A di ordine n si dice simmetrica se A = A^t.

Es.A = (1 1 2)(1 3 5)(-2 5 6)A^t = (1 1 -2)(1 3 5)(2 5 6)A = A^t

Una matrice diagonale si dice matrice unità (I_n) quando ha tutti gli elementi della diagonale = 1.

Es.I₃ = (1 0 0)(0 1 0)(0 0 1)

Ciò è valido dunque per le matrici quadrate

Es.

A = (1 2)(4 -2)2 x 2

B = (3 2)(1 5)2 x 2

AB = (15+1 12+5)(12+(-2) 8+(-10))=(19 17)(10 -2)

BA = (15+8 3-4)(6*20 1+(-10))=(26 -1)(26 -9)

quindi AB ≠ BA

Attività dimensionalità

AB = 0 non implica A = 0 oppure B = 0

Es.

A = (2 4)(1 2)

B = (2 -4)(-1 2)

AB = (9-5 -8+8)(2-2 4-4)=(0 0)(0 0)

proprietà per il prodotto riga per colonna

(AB)C = A(BC) associativo

A(B+C) = AB+AC distributivo a destra

(B+C)A = BA+CA

A0 = 0

A(kB) = k(AB) ∀

La matrice unità si comporta sulla matrice come il numero 1 sulla matrice.

Yd., vale C.,

A ⋅ I = I ⋅ A = A

Complemento

Data una matrice quadrata A ed un suo elemento generico a_ij, si dice complemento algebrico C_ij il determinante della matrice ottenuta eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna

A(₁₁,₁₂,₁₃) _{a21 a22 a23 a31 a32 a33}

dato A vedere qual è il complemento algebrico di a₂₂

indicato con A₂₂ la matrice ottenuta eliminando la II riga e la II colonna si ha

A₂₂(_{a11 a13}) _{a31 a33}

per cui si chiama il complemento algebrico di A₂₂

il det(A₂₂ preso con il segno (+)-(-) a seconda che la somma degli indici sia pari o dispari

Regola di Laplace

scelto la i-esima riga di una matrice quadrata A, det(A) = (-1)ⁱ⁺¹ a _i1 det(A _i1) + (-1)ⁱ⁺² a _i2 det(A _i2) + (-1)ⁱ⁺ⁿ a_in det(A_in)

ossia prende in considerazione una riga e si fa la somma dei prodotti di ciascun elemento della riga per il suo complemento algebrico preso con il segno (+)-(-) a seconda che la somma degli indici sia pari o dispari

B. Il determinante si puo indicare con due sbarrette verticali.

1 0 2 3 4 2 1 -5 -2 0 0 -1 5 6 1 -4

det(A)=si det(A) secondo la I riga

+1 _{2 1 -5} - _{0 1 -5} + 2_{0 0 1} 3 _{2 -5 9 2 1}

Ex 1. Vedere anche che det(A) =

Ex 2. trovare se esiste, l'inverso di det(A) della 2 matrici.

1)

A = 2 2

  0 1

soluz. det(A) = -4

A^-1 = 2 0.5

    0 1

Ex Calcolare det(A) secondo le altre righe

A = 1 0 2 3

  4 2 1 -5

  -2 0 0 -1

  5 6 1 4 secondo la III riga

det(A) = 4 0 2 3 1 2 3 1 0 3 1 -0 2

  ·   0 0 -1 + 2   2 0 -1   -1 2 0   1 -5 2 0

    8 1 -4     5 1 -4     5 6 -4       5 6 1

- 5 (1 2) + 2 (-10 -6 -1 + 16) - 36 (-5) 5 ( -2h) =

48 + 2(31) + 30 + 120 = 48-62 + 30 + 120 = 136

secondo la III riga

det(A) = -2 3 2 3 1 0 2

  ·  2 1 -5 + 1   4 2 1 =

    6 1 -4     5 6 1

= -2 (-54 -18 + 16) + (50 26) = -2 (-56) + 24 = 112 + 24 = 136

Es.

A =

rank(A)₃?

= 8 - 12 - 12 + 0 => rank(A) è almeno 2.

possono costruire a orlati del 3^o ordine

per cui: rank(A) = 0

Es.

rank(A)₂?

= -1 - 4 = -5 ≠ 0

rank(A) = 2

Es.

A =

= -9 ≠ 0