Appunti Geometria

Matrici

Siano m, n ∈ N, si dice matrice A una configurazione di m × n numeri reali, disposti su m righe e n colonne.

Un elemento generico della matrice A si indica con a_i,j con i = 1, ..., m j = 1, ..., n. i-esimo indica l'indice della riga di appartenenza e j-esimo indica la colonna di appartenenza. Es. a_3,3 è l'elemento della 3^a riga e 3^a colonna.

A = (_{e1,1 e1,2} ... _{e1,n           ...em,1} ...     _am,n)

Se è m ≠ n allora la matrice è rettangolare.

Se è m = n allora la matrice è quadrata di ordine n.

Con Aⁱ si indica la i-esima riga Aⁱ: (_ai,1, _ai,2..._ai,n)

Con A^j si indica la j-esima colonna A^j = (A_{1,j   2,j    m,j})

Data una matrice A quadrata di ordine n gli elementi: a_1,1, a_2,2, ... a_n,n sono detti elementi diagonali e costituiscono gli elementi diagonali della matrice.

Es. (3 4 1   −4 5 0   −2 6 2) a_1,1 = 3, a_2,2 = 5, a_3,3 = 2.

Una matrice è detta un diagonale se accade che a_i,i=0 per i ≠ j cioè se sono tutti nulli tranne gli elementi appartenenti alla diagonale.

Matrici

Siano m, n ∈ ℕ, si dice matrice A una configurazione di m x n numeri reali, disposti su m righe e n colonne.

Un elemento generico della matrice A si indica con a_ij con i = 1, ..., m j = 1, ..., n.

Il primo indice indica la riga di appartenenza e il 2^o indice indica la colonna di appartenenza. Es. a₃₃, è l'elemento della 3^a riga e 3^a colonna.

A = (   a₁₁, a₁₂, ..., a_1n    ...    ...    a_2n    a_m1, ...    a_mn)

Se m ≠ n allora la matrice è rettangolare.

Se e m = n allora la matrice e quadrata di ordine n.

Con Aⁱ si indica la i-esima riga Aⁱ = (a_i1, a_i2, ..., a_in)

Con A^j si indica la j-esima colonna A^j = (A_1j    A_2j    Amj)

Data una matrice A quadrata di ordine n, gli elementi a₁₂, a₂₂, ..., a_nn sono detti elementi diagonali e costituiscono gli elementi diagonali della matrice.

Es.,    (3 4 1    -4 5 0    -2 6 2 a₁₁ = 3, a₂₂ = 5, a₃₃ = 2.

Una matrice è detta un diagonale se accade che a_ij = 0 per i ≠ j cioè se sono tutti nulli tranne gli elementi appartenenti alla diagonale.

Es. A = (^{4 0 0} _{0 3 0 0 0 2}) è una matrice diagonale.

Due matrici sono uguali se sono dello stesso tipo e se sono uguali tutti gli elementi corrispondenti.

Es. A = (^{1 2} _{3 4}) B = (^{1 2} _{3 4}) sono uguali.

Una matrice si dice nulla quando ha tutti gli elementi = 0 (e si indica con O_n).

Es. O = (^{0 0 0} _{0 0 0 0 0 0})

Data una matrice A, si dice sua trasposta (e si indica con A^t) la matrice che si ottiene da A scambiando le righe con le colonne.

Es. A = (^{1 2 3} _{4 5 6 1 7 2}) A^t = (^{1 4 1} _{2 5 7 3 6 2})

Una matrice quadrata A di ordine n si dice simmetrica se A = A^t.

Es. A = (^{1 1 2} _{1 3 5 -2 5 6}) A^t = (^{1 1 2} _{1 3 5 -2 5 6}) A = A^t

Una matrice diagonale si dice matrice unita (I_n) quando ha tutti gli elementi della diagonale = 1.

Es. I₃ = (^{1 0 0} _{0 1 0 0 0 1})

Secondo capitolo

Operazioni fra matrici

Date 2 matrici A e B dello stesso tipo o ordine si dice somma delle 2 matrici (e si indica con A + B) la matrice ottenuta sommando ogni elemento di A con il corrispondente elemento B.

Esempio: A = (1 2 3)(4 5 6) B = (3 4 5)(6 7 2) A + B = (1+2 3+4 3+5)(4+6 5+7 6+2)= (4 6 8)(10 12 8)

Proprietà

L'addizione tra matrici gode delle seguenti proprietà:

• A + B = B + A commutativa
• A + (B + C) = (