Appunti Geometria

MATRICI

Siano m, n ∈ N, si dice matrice A una configurazionedi m × n numeri reali, disposti su m righe e n colonne.Un elemento generico della matrice A si indica con a_i,j coni = 1,..., m j = 1,..., ni-esimo indica indice la riga di appartenenza e j-esimoindica la colonna di appartenenza. Es a_3,3 è l'elemento della3^a riga e 3^a colonna

A = (_{e1,1 e1,2} ... _{e1,n          ...em,1} ...     _am,n)

Se è m ≠ n allora la matrice è rettangolareSe è m = n allora la matrice è quadrata di ordine nCon Aⁱ si indica la i-esima riga Aⁱ: (_ai,1, _ai,2..._ai,n)Con A^j si indica la j-esima colonna A^j = (A_{1,j  2,j   m,j})

Data una matrice A quadrata di ordine n gli elementi:a_1,1, a_2,2, ... a_n,n sono detti elementi diagonali e costituisconogli elementi diagonali della matriceEs.( 3 4 1  −4 5 0  −2 6 2 )

a_1,1 = 3, a_2,2 = 5, a_3,3 = 2

Una matrice è detta un diagonale se accade chea_i,i=0 per i ≠ j cioè se sono tutti nulli tranne gli elementiappartenenti alla diagonale.

Matrici

Siano m, n ∈ ℕ, si dice matrice A una configurazione di m x n numeri reali, disposti su m righe e n colonne.

Un elemento generico della matrice A si indica con a_ij con i = 1, ..., m j = 1, ..., n

Il primo indice indica la riga di appartenenza e il 2^o indice indica la colonna di appartenenza. Es a₃₃, è l'elemento della 3^a riga e 3^a colonna

A = (   a₁₁, a₁₂, ..., a_1n   ...   ...   a_2n   a_m1, ...   a_mn)

Se m ≠ n allora la matrice è rettangolare

Se e m = n allora la matrice e quadrata di ordine n

Con Aⁱ si indica la i-esima riga Aⁱ = (a_i1, a_i2, ..., a_in)Con A^j si indica la j-esima colonna A^j = (A_1j   A_2j   Amj)

Data una matrice A quadrata di ordine n, gli elementi a₁₂, a₂₂, ..., a_nn sono detti elementi diagonali e costituiscono gli elementi diagonali della matrice

Es,   (3 4 1   -4 5 0   -2 6 2

a₁₁ = 3 , a₂₂ = 5, a₃₃ = 2

Una matrice è detta un diagonale se accade che a_ij = 0 per i ≠ j cioè se sono tutti nulli tranne gli elementi appartenenti alla diagonale.

Es.

A = (^{4 0 0} _{0 3 0 0 0 2}) è una matrice diagonale

Due matrici sono uguali se sono dello stesso tipo e se sono uguali tutti gli elementi corrispondenti

Es.

A = (^{1 2} _{3 4}) B = (^{1 2} _{3 4}) sono uguali

Una matrice si dice nulla quando ha tutti gli elementi = 0 (e si indica con O_n)

Es.

O = (^{0 0 0} _{0 0 0 0 0 0})

Data una matrice A, si dice sua trasposta (e si indica con A^t) la matrice che si ottiene da A scambiando le righe con le colonne

Es.

A = (^{1 2 3} _{4 5 6 1 7 2}) A^t = (^{1 4 1} _{2 5 7 3 6 2})

Una matrice quadrata A di ordine n si dice simmetrica se A = A^t

Es.

A = (^{1 1 2} _{1 3 5 -2 5 6}) A^t = (^{1 1 2} _{1 3 5 -2 5 6}) A = A^t

Una matrice diagonale si dice matrice unita (I_n) quando ha tutti gli elementi della diagonale = 1

Es.

I₃ = (^{1 0 0} _{0 1 0 0 0 1})

secondo capitolo

OPERAZIONI FRA MATRICI

Date 2 matrici A e B dello stesso tipo o ordine si dice somma delle 2 matrici (e si indica con A + B) la matrice ottenuta sommando ogni elemento di A con il corrispondente elemento B.

Esempio:

A = (1 2 3)(4 5 6)

B = (3 4 5)(6 7 2)

A + B = (1+2 3+4 3+5)(4+6 5+7 6+2)

= (4 6 8)(10 12 8)

proprietà

L'addizione tra matrici gode delle seguenti proprietà:

• A + B = B + A commutativa
• A + (B + C) = (