Appunti Geometria

Prodotto:

₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

⑤ ʎ (v + v ) = ʎv + ʎv (V ʎ є K, V v , v є V)

₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

⑥ (ʎ + ʎ ) v = ʎ v + ʎ v (V ʎ , ʎ є K, V v є V)

₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

⑦ (ʎ + ʎ ) = ʎ (ʎ · v) (V ʎ , ʎ є K, V v є V)

⑧ (0, 1): ᵥ

V v є V –> 0 · V = O e 1 · v = v

OSSERVAZIONE !!!

Se V è uno spazio vettoriale, allora (- 1) · v è l’opposto di v

direzione invariata

verso invertito

intensità invariata

Dimostrazione

v + (- 1) · v proprietà n. 6 proprietà n. 8

1 · v + (- 1) · v –> –> v [1 + (- 1)] –> v · 0 –> –>

ᵥ

O (V v ϵ V)

Matrici n n

Tabelle di numeri con righe ed colonne

colonne

m, n ϵ N

righe a a a

11 12 1 n

a a a

Mₘ,ₙ (R) = 21 22 2 n

a a a

m 1 m 2 mn

a , … , a ϵ R } insieme

11 mn

Definisco operazioni

SOMMA +b +b

a … a b … b a … a

11 1 n 11 1 n 11 11 1 n 1n

+ =

… … … … … … … … …

+b +b

a … a b … b a … a

m 1 mn m 1 mn m 1 m 1 mn mn

PRODOTTO

a … a λ a … λ a

11 1 n 11 1 n

λ · =

… … … … … …

a … a λa … λ a

m 1 mn m 1 mn

Verifico le proprietà −a −a

a … a …

0 0 0 11 1 n 11 1n

O = opposto di è

… … … … … …

0 0 0

(R)

M m ,n −a −a

a … a …

0 0 0 m 1 mn m 1 mn

M (R) è un campo vettoriale

m ,n

POLINOMI −1

d d−1 d

R[t] = { } : d ϵ N, ϵ R

+ +…+a +a

a t a t t a , a t , … , … , a , a

−1

d d 1 0 d d−1 1 0

Somma: R [t] x R [t] –> R [t]

Prodotto per scalare: R x R [t] –> R [t]

Se R ≠ 0, stesso grado

Se R = 0, polinomio = 0

O –> polinomio nullo

R [t ] a

−¿

−1 −1

d d d

a t+ a

+ + … + –> opposto –> + + … +

(−a )

a t a t t

1 0

−1 −1

d d d

¿

¿

−a

( ¿¿ 0)

(−a) ¿

t+

1 −1

d d

- - - … -

a t a t

−1

d d

a t−a

1 0

R [t] è uno spazio vettoriale

Insieme X (X ≠ 0, X ϵ R)

V = {f : x –> R, f funzione} –> è uno spazio vettoriale

Dominio (X)

f, g : X –> R Codominio (R)

Legge –> valore della funzione in ogni punto

f, g : X –> R –> (f + g) (x) = f (x) + g (x) (V x ϵ X)

λ ϵ R , f : X –> R , (λf) : X –> R

(λf) (x) = λ · f (x) (V x ϵ X)

Opposto di f è (-1) · f

O è la funzione identicamente nulla

v

La somma è commutativa ed associativa

V –> spazio vettoriale

Prendo un sottoinsieme non vuoto

⊆

Ø ≠ W V si dice sottospazio vettoriale se:

+

w , w w w

V ϵ W si ha ϵ W (chiusura per la somma)

① 1 2 1 2

V λ ϵ R, V w ϵ W si ha λ · w ϵ W (chiusura per il prodotto per scalare)

②

Esempio

V spazio vettoriale

O

W = { } –> sempre sottospazio

v d d−1

[t ]

R = { }

ϵ

+ +…+a +a

a t a t t , a , a , … , a R

d −1

d d 1 0 d d 0