Appunti Geometria

DEFINIZIONE DI MATRICE

Sia X un insieme e siano (m,m) una coppia di interi positivi,

si dice matrice di tipo (m x m) con coefficienti in X una

applicazione A: N_m x N_m → X.

Se m = m, allora la matrice si dice quadrata di ordine m.

DEFINIZIONE DI PERMUTAZIONE

Sia m un numero naturale, si dice permutazione o sostituzione

su m oggetti ogni applicazione p: N_m → N_m

Il numero delle permutazioni su m oggetti (per m ≥ 1) è m!

DEFINIZIONE DI COPPIA IN INVERSIONE

Sia p ∈ S_m, E = I_m = {(i,j) ∈ N_m x N_m | i < j}.

Una coppia (i,j) ∈ I_m si dice in inversione rispetto a p se p(i) > p(j).

Il numero di coppie in inversione rispetto a p sarà indicato

con μ(p).

DEFINIZIONE DEL SEGNO DELLA PERMUTAZIONE

Fissato un campo K e una permutazione p ∈ S_m, si dice segno

di p, ι: N < K, l'elemento sign(p) = (-1)^μ(p) ∈ {-1,1} ⊆ K

DEFINIZIONE DI DETERMINANTE

Se A = (a_ij)(i,j) ∈ M_m(K), si dice determinante di A, indicato come

detA o |A|:

detA = ∑_{p ∈ Sm} sign(p) ⋅ a_1p(1) ⋅ a_2p(2) ⋅ ... ⋅ a_mp(m)

DEFINIZIONE DI SOTTOMATRICE

DATA UNA MATRICE A = (a_ij) ∈ ℳ_m×n(ℒ) SI DICE SOTTOMATRICE DI TIPO (k×h) (con k≤m e k≤m) ESTRATTA DA A OGNI MATRICE AVENTE PER ELEMENTI GLI ELEMENTI DI A APPARTENENTI CONTEMPORANEAMENTE A h RIGHE E k COLONNE ENTRAMBE FISSATE.

DEFINIZIONE DI MINORE

DATA UNA MATRICE A = (a_ij) ∈ ℳ_m×n(ℒ) SI DICE DI MINORE (DI ORDINE k CON k≤m∧m≤n) DI A OGNI SOTTOMATRICE DI ORDINE (k) (QUADRATA) ESTRATTA DA A.

NEL CASO IN CUI A = (a_ij) ∈ ℳ_m×n(ℒ), SI DICE MINORE COMPLEMENTARE ALGEBRICO DELL'ELEMENTO a_ij LA MATRICE M_ij DI ORDINE DA A CANCELLANDONE LI-esima riga e LA_j-esima COLONNA.

DEFINIZIONE DI COMPLEMENTO ALGEBRICO

DATA UNA MATRICE A = (a_ij) ∈ ℳ_m×n(ℒ) a_ij = (-1)^i+j⋅ detM_ij ∈ ℒ - - - - - - - - - - - - - - - - - -

TEOREMA DI LAPLACE SE A = (a_ij) ∈ ℳ_m×n(ℒ), PER OGNI h ∈ ℕ, ∑_j=1ⁿ a_ij⋅ A_ij = ∑_i=1ⁿ A_ik = detA

DIMOSTRAZIONE

PRENDO detA = det |a₁₁ a₁₂ ... a_1n| |a₂₁ a₂₂ ... a_2n| |a_m1 a_m2 ... a_mn|

ORA VEDENDO MEGLIO LA h-ESIMA RIGA E APPLICO RIPETUTAMENTE LE PROPRIETÀ IV^a E IV

detA = det

(COME A)

detA = det |a_h1 ... 0| + ... + det |0 ... a_hm| (COME A) (COME A)

Un sistema lineare S=(A,0) avente il m-pla dei termini noti nulla è detto omogeneo.

Un sistema S=(A,0) sarà sempre compatibile in quanto (0,...,0) ε ℝⁿ.

Proposizione dim(Sol(S)) = m-p(A)

Lo spazio Sol(S) del sist. lin. omog. S= (A,0) in m incognite è un ssv di ℝ^m di dim m-p(A).

Dimostrazione:

Sia f: ℝ^m → ℝ^k la trasformazione lineare standard associata ad S. Essendo S omogenea ho per la definizione di spazio delle soluzioni Sol(S) = f^-1(0) = ker f. Ricordando che dim(Im f) = p(A) per l'equazione dimensionale ottengo che: Sol(S) = m-p(A). Perciò S ammette m-p(A) soluzioni.

Definizione di sistema di Cramer

Un sistema si dice normale o di Cramer se A è regolare e quadrata, quindi il sistema ha lo stesso numero di incognite ed equazioni = det(A) ≠ 0, quindi p(A) = m.

Teorema di Cramer

Ogni sistema di Cramer ammette una e una sola soluzione X= (x₁,...,x_m), X.A^-1=(b).

Formula di Leibniz-Cramer

∀i∈N, xi = (det Di) / (det A)

• Di: la matrice ottenuta da A sostituendo alla sua i-esima colonna la colonna dei termini noti.

Definizione di sistema lineare minimo

Un sistema lineare S è minimo se il rango della matrice coincide con il numero di equazioni.

Teorema sulla soluzione

Se S = (A, b) è un sistema lineare compatibile (in m incognite) e x ∈ Sol(S), allora si ha che Sol(S) = {x ∈ ℝ^m | x = x̄ + x̄ ∈ Sol(S_o)}

Suppongo che ∃V₁,V₂: V₁ ≠ V₂, T(V₁) = T(V₂)

T(V₁) - T(V₂) = O_W ⟹ T(V₁ - V₂) = O_W ⟹ ∈ KerT per Hp (KerT = {O_V} quindi V₁ - V₂ = O_V ⟹ V₁ = V₂ Assurdo

DIMOSTRAZIONE

Hp: T iniettiva (inf. KerT = {O_V})

Suppongo che 1 ∈ V ∀0_V T(V) = O_W ma T(O_V) = O_W assurdo V ∈ O_V devono coincidere avendo la stessa immagine.

TEOREMA

Sia T: V→W una trasformazione lineare, allora:

• a) Se H ⊆ G per V, allora T(H) sarà SOG per ImT.
• b) Se (V₁,V₂,...,V_n) è una k-upla di vettori di V (k ∈ N) tale che (T(V₁),...,T(V_n)) è L.I. in W allora (V₁,V₂,...,V_n) ∈ L.I. in V.
• c) Se T è iniettiva e (V₁,...,V_n) è una k-upla (k ∈ N) L.I. in V, allora (T(V₁),...,T(V_n)) è L.I. in W.

Teorema fondamentale delle trasformazioni lineari

Sia B una base di V, per ogni applicazione ψ: B→W, ∃! T: V→W tale che T|_B = ψ, essendo T|_B: B→W la restrizione di T a B.

Teorema dell'equazione dimensionale

Sia T: V→W una trasformazione lineare; se V ha dimensione finita allora anche KerT e ImT hanno dimensione finita tale che:

dim V = dim KerT + dim ImT

DIMOSTRAZIONE

Per Hp, V ha dim finita n, di conseguenza KerT avrà dim k ≤ m.

Sia B = {e₁,...,e_m} base di KerT applico il teorema del completamento a una base ovvero aggiungo a B altri m-h vettori

B⋃{e₁,...,e_m, f_m+1,...,f_m-n} → è anche un SOG

Quindi con T(B) = {T(e₁),...,T(e_m), T(f₁),...,T(f_m-n)} è SOG per ImT

T(B) = {T(f₁),...,T(fₘ₋ₙ)} → devo sapere se è L.I.

Applico la definizione di L.I. ⊙ tale che

∑_j=1ⁿ α_j T(f_i) = O_W ⟹ T(∑_{j ∈ KerT} α_j · f_i) = O_W

DEFINIZIONE DI AUTOVALORE, AUTOSPAZIO, AUTOVETTORE

SIA λ∈K, λ È DETTO AUTOVALORE DELL'OPERATORE LINEARE T SU V SE IL SOTTOSPAZIO U_λ(T) NON SI RIDUCE AL SOLO VETTORE NULLO, DOVE U_λ(T) CONTIENE {v∈V | T(v) = λv} CUI ELEMENTI SONO DETTI AUTOVETTORI DI T RELATIVI ALL’AUTOVALORE DI λ.

DIMOSTRAZIONE CHE U_λ(T) È SSV

SIA U_λ(T) = {v∈V | T(v) = λv} SOMMO AD AMBO I MEMBRI -T(v)

U_λ(T) = {v∈V | λv - T(v) = 0_V}

T LO VEDO COME TRASFORMAZIONE IDENTICA OVVERO:

Id_V:V→V HO CHE U_λ(T) = {v∈V | Id_V(v) - T(v) = 0_V}

PER LA PROPRIETÀ DI LINEARITÀ: (T + U)(v) | T(v) + T(v)

POSSO VEDERE U_λ(T) COME:

U_λ(T) = {v∈V | (Id_V - T)(v) = 0_V} → MI RICONDUCO ALLA DEFINIZIONE DI NUCLEO

QUINDI:

U_λ(T) = Ker(Id_V - T) → PER DEFINIZIONE IL NUCLEO È UN SSV.

POLINOMIO CARATTERISTICO

SIA B UNA BASE ORDINATA DI V, E SIA A LA MATRICE ASSOCIATA A T RISPETTO ALLA BASE B SI HA CHE:

(a) ∀λ∈K, SIA (x) LA COLONNA DELLE COMPONENTI DI UN GENERICO VETTORE RISPETTO A B, IL SOTTOSPAZIO U_λ(T) VIENE RAPPRESENTATO CON L’EQUAZIONE: (λ Id_m - A)(x) = 0

SI HA PERTANTO CHE: dim(U_λ(T)) = m - dim(λ Id_m - A)

(b) DATO λ∈K, SI DICE AUTOVALORE DI T SU V SE det(λ Id_m - A) = 0

IN PARTICOLARE λ=0∈K SE detA=0.