Appunti di Geometria ed Algebra Lineare

Appunti di:

Geometria ed Algebra Lineare T

Per corsi di Laurea Triennale di Ingegneria

Alma Mater Studiorum

(6 CFU)

(Appunti sulla base del corso del professor Massimo Ferri – Unibo)

ARGOMENTI TRATTATI:

• Algebra Lineare
  1. Insiemi e relazioni
  2. Strutture Algebriche
  3. Matrici e determinanti
  4. Spazi e sottospazi vettoriali
  5. Trasformazioni Lineari
  6. Sistemi Lineari
  7. Autovalori ed autovettori
  8. Equazioni Algebriche
  9. Forme Bilineari e Quadratiche
• Geometria Lineare
  1. Spazi vettoriali euclidei
  2. Spazi euclidei
  3. Il piano euclideo
  4. Lo spazio Euclideo
  5. Elementi di teoria delle coniche e delle quadratiche

Questi appunti di Geometria ed Algebra Lineare T fanno riferimento al libro di testo “Geometria – Casali, Gagliardi, Grasselli” pubblicato dalla Esculapio. Nonostante ciò gli appunti non necessitano della consultazione del libro perché riportano tutte le definizioni, teoremi e dimostrazioni utili ai fini del corso. Troverete sia la parte di teoria del corso, sia diversi esercizi spiegati nel dettaglio.

Negli appunti per completezza sono riportate le indicazioni per ritrovare lo stesso argomento nel testo originale (es. Def. 2.3) per chi fosse interessato a confrontarsi anche con il manuale.

Accanto ad ogni argomento è possibile trovare da uno a tre pallini disegnati a matita (es. •••) che indicano in modo progressivo l’importanza dell’argomento.

Proprietà II

Se B è la matrice ottenuta scambiando tra loro due righe (o colonne) della matrice A ∈ L_n(K) si ha:

det B = - det A

Proprietà III

Se A ∈ L_n(U) contiene due righe (o colonne) uguali allora det A = 0.

Dimostrazione

Prendo la matrice A con b₁ = b₂

Ottengo B da A scambiando b₁ con b₂,

poi scambio ancora b₂ e b₁; per il reciproco ottengo:

- [-1] det A = det I = 1 ⇒ det A = 0

Proprietà IV

Se A è la matrice ottenuta moltiplicando una riga (o colonna) della matrice A ∈ L_n(U) per un elemento a ≠ 0, si ha:

det B = a det A

Dimostrazione

B = (p_ij)_i,j=1 ∈ L_n

A = (b_ij)_i,j=1 ∈ L_n

b_ji = { p_ij se i ≠ h; a p_ij se i = h

det A = Σ sign(p) b_1p(1) ... a b_hp(h) ... b_np(n) = Σ a sign(p) b_1p(1) ... b_np(n)

= a Σ sign(p) b_1p(1) ... b_np(n) = a det A

Esempio

A = ( 2 0 1 )

B = ( 4 0 2 )

det A = 2 (-1) (-1) 2 = (-2) + (2)

2 (-2) = -2 + 2 + ... + 0 - 2 - 0 + 0 = -2

Proprietà V

Proprietà IV + Proprietà II = Multilinearità del determinante

I determinante = una funzione alternante e multilineare

Cambia segno quando si invertono due righe

Proprietà V

Se in una matrice A ∈ M_n(U), una riga (colonna) è combinazione lineare di altre righe (o colonne) allora det A = 0

Dimostrazione

---

Proprietà IV

Sistemi di Generatori

Definizione 3.1 Siano (v₁, ..., v_m) una n-pla di vettori appartenenti a V e λ = (λ₁, ..., λ_m) una m-pla di scalari (m,n ∈ ℕ). Diremo (sistemità generatrice)

• lineare dei vettori, con coefficienti λ, il vettore

V = λ₁ v₁ + ... + λ_m v_m

(Spesso indicato con  ∑ λ_iv_i)

Definizione 3.2 Data un' n-upla di vettori (X,v) di V, diremo chiusura lineare di (X,v) il sottospazio di tutti e soli vettori che sono combinazioni lineari di vettori di (X,v). Se X₁ e X₂ sono insiemi, allora definiamo anche (X,v)₁, (X,v)₂:

• X,v = (X,v)₁ Evidentemente X ∈ v (X,v)₁ in quanto X,v ∈ X,v ₂

Nota: v = X (ovv. per ogni sottospazio vettoriale)

La chiusura lineare di X genera un sottospazio vettoriale.

Dimostrazione

1. X ∈ v₃ , che è V ∈ X,v ∃ ω ∈ X,v

ω = λ₁ v₁ + ... + λ_m v_m + μ₁ w₁ + ... + μ_p w_p

ω₀ ∈ X ↔ ζ ∈ X,v λ + μ = (3-by-2) A (1 - μ) (μ - 2 μ) μ

(2-by-2) + (ω₁ + ω₂ + λ_m μ₁ + ... + λ_m μ_m) ⇒ λ + ω

2. X ∉ v₁ ⇒ λ ∉ v ⇒ λ' ∤ λ ∃ λ' , λ'' a ∈ ℝ, v = λ' + a λ + ... (sic)

a ∉ v ∧ v ∉ X (X,v) λ + ... + A

(cl / ⊂) + (v/v cl) = (same) 0 ∈ VK - a

-------------------

X,v

Proposizione 4.1 X ∈ v (X,v) e v più piccolo sottospazio vettoriale di V contenente v

Definizione 4.1 Se X ⊂ V ⊆ X \ V, diremo che X è un sistema di generatori per V che il generato da X in V è detto insieme generatore di un sistema così generato.

Osservazione!

• Se ho un sistema di generatori (v₁, v₂, v₃, V_m) e tolgo uno qualsiasi, allora (v₁, v₃) rimane un sistema di generatori se v₂ è combinazione lineare...

Esempio in R, spazio vettoriale di tutte le 2-pla ordin. a ℜ ^Quale di seguenti insieme sono sistemi di generazione per ℜ?

X₁: (0,1) , (0,1)

• ∀ (a,b) ∈ ℝ² ⇒ ∃ μ₁ − μ ₂ ∈ ℝ (0,1) ⇒ (0,λ)

=(μ₁ + μ₂)^λ , −−

= 0

X₂: {(1,5) , (1,6)}

• ∀ (a,b) ∈ ℝ² a (1,5) ⇒ (1,5) ⇒ b = 5a etc.

Nota ¹

Aloja, B^ℜ 5 (1 = 5e) alkalmaz double per jindeki gen.ana.

a = 11

b = 13 (1,5) = (1,6) (1 − 0)

E (1,6)

(a − 5λ) ⟶ (15) − (1)β (5 − a) = λ , Equazione tra i componenti

qx dydx → ex

R(-5) 3,2, 1ar φκ γοιν

*Slyp σ(x)

X₃: {(1,2) , (1,5) , (1,6)}

• ∀ (a,b) ∈ ℝ³ a (1,5) − (1,λ) R (a,b)

(a,e) = (3β, 4) ³¹ ⟶ cl (1,5,2)

〈〈_(1,5,2) 32 β &sup&λ

(a − 5s)/⁺15 [3β](2)/bc + s

〈aβ/ph

Per esempio quando ha trovato un insieme min. de de sinonimi in v i prodonstruk tigurati plurales videt...

Esempi di applicazioni non lineari...

1) \( f: V \rightarrow V \)

   \( v = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} u^2 \\ \alpha \cdot \beta \end{pmatrix} \)

fissato vettore non lineare perchè usato prodotto

2) \( f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \)

   \( g(x) = (f(\alpha)=f(\beta)) \cdot x\rightarrow y\rightarrow x \rightarrow V_{W} \cdot V_{X} \)

   → lineare ex polinomiale o nulla o omogenea di grado 0

Esempio

• \( f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) → \((x,y)\rightarrow\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) non lineare
•   incompleti e pura applicazione lineare non lineare diminuisce se non stabile.

Dalla prop. 5.5.9

3) \( \text{Ker}(f) \) è sottospazio vettoriale di 3° non traslato

se \( f^n \cdot \omega = (o(u) + f(V,d)) = (x(M)) \)

Verificate che posso affermare \( V \) per il sottospazio vettoriale di \( \omega(u(0,v)) \)

Proposizione 5.4...

• \(\mathbb{N}, S \text{\\\ e\' una transformazione lineare}\)
• S = {Si... | theorem } maxmimo ontainable dominante di ordinoptimale.