Appunti di Geometria e algebra lineare

SISTEMI DI EQUAZIONE

2x − y = 0

−x + y = 3

x = 3

y = 6

(3, 6)

2x − y = 0

−x + y = 3

x (2 -1) + y (-1 2) = (0 3)

→ x ̅ + y ̅ = ̅

DOMANDA:

Esistono 2 vettori ̅ e ̅ la cui somma dia ̅?

faccio le proiezioni di ̅ e ̅ (il Taska)

(-1/√2 ̅) + (-2/√3 ̅)

i valori x e y indicano i fattori per i quali bisogna moltiplicare ̅ e ̅ per ottenere ̅

Notazioni e insiemi numerici

• N → numeri naturali = {1, 2, 3, ...}
• Z → numeri interi = {0, ±1, ±2, ...}
• Q → numeri razionali = {^p/_q, p ∈ Z , q ∈ Z - {0}}
• R → numeri reali
• C → numeri complessi = {a + bi | a, b ∈ R}

i² = −1

oggetto che non sta in R

Se una proprietà vale per un insieme, vale anche per quelli sotto!

→ si ampliano gli insiemi, ma non si perdono proprietà

OPERAZIONE:

funzione tra almeno 2 numeri, per ottenere un unico risultato dipendente dal tipo di operazione utilizzato.

A, B insiemi A × B := { (a, b) | a ∈ A e b ∈ B }

possono esistere le seguenti proprietà:

• COMMUTATIVA a ♥ b = b ♥ a
• ASSOCIATIVA (a ♥ b) ♥ c = a ♥ (b ♥ c)
• esiste l'elemento NEUTRO → elemento che non fa succedere nulla nella operazione (0 per somma 1 per moltiplicazione)
• esiste l'OPPOSTO / INVERSO di ogni elemento ∀a ∈ X esiste a^-1 ∈ X

a ♥ a^-1 = a^-1 ♥ a = ee elemento neutro

GRUPPO:

Dato un insieme non vuoto X e un'operazione ♥ che rispetta queste proprietà, dico che X♥

• è un gruppo se rispetta 2, 3, 4
• è un gruppo commutativo, se rispetta 1, 2, 3, 4

es. (_ℝ, ×) NON È UN GRUPPO → non vale la 4^a proprietà(non esiste (opposto di ₁⁰))

es. (_ℤ, +) È UN GRUPPO → qua vale la 4^a proprietà(0 + opp. 0)

^ℤ± gruppo commutativo

DEF. 5

Diciamo che un sistema lineare S è:

• IMPOSSIBILE o INCOMPATIBILE, se non ha soluzioni

Sol(S) = ∅

es.

• x₁ + x₂ + x₃ = 4
• x₁ + x₂ + x₂ = 5

• COMPATIBILE, se Sol(S) ≠ ∅

• DETERMINATO, se ha una sola soluzione
• INDETERMINATO, se ha più di una soluzione

es. t = 4 nelle variabili x, y, z, t ∈ ℝ⁴

se ha infiniti elementi allora ogni sistema lineare a coefficiente in indeterminato ha infinite soluzioni

non posso elencarle perché sono infinite

es. t = 0 nelle variabili x, y, z, t a coeff. in ℤ₂

INDETERMINATO e ha 8 soluzioni (2³)

Struttura di ⁿ (spazio vettoriale)

Introduciamo sull'insieme ⁿ due operazioni:

• ADDIZIONE (+)

+ ⁿ x ⁿ → ⁿ → operazione interna

(a₁, a₂, …, aₙ) + (b₁, b₂, …, bₙ) = (a₁+b₁, a₂+b₂, …, aₙ+bₙ)

sommando gli elementi corrispondenti poiché ⁿ è un campo ordinato

es. (3, 1, 4, -1) + (0, 4, 6, 2) = (3, 2, 10, 1)

es. (2, 3) + (5, 6) = (7, 9)

vale per la somma vettoriale

- Se X = ∅ è linearmente indip., poiché non ha vettori per ottenere il vettore nullo

- Se 0 ∈ X allora X è lin. dip., perché basta fare a = 0 per ottenere il vettore nullo

- Con v₁ - v₂ e 2/2 ± 0, X è l.d. → si ottiene il vettore nullo

es. X = {(3,1,0), (1,1,1)} → ? X è l.i.

a₁(3,1,0) + a₂(1,1,1) = (0,0,0)

• 3a₁ + a₂ = 0
• a₁ + a₂ = 0 → a₁ = 0
• a₂ = 0

L'unica possibilità per ottenere il vettore nullo è avere tutti i coeff. nulli

es. X = {(1,1,1), (2,2,2), (0,0,1)} ? l.d.

a(1,1,1) - 1(2,2,2) = (0,0,0) → anche se non uso tutti i vettori

es. X = {(3,1,0), (1,2,1), (? , ?)}

Trovare un vettore tale da ottenere un insieme l.d.

1(3,1,0) + 1(1,2,1) - 1(4,3,1) = (0,0,0)

→ è la somma degli altri due con coeff. negativo

- se X = {v}, allora X è l.d. ↔ v = 0 → per ottenere il vett nullo moltiplico 0 per uno scalare ≠0

OSSERVAZIONE:

Posso identificare in modo naturale:

vogliono dire la stessa cosa!

matrice riga (no virgole)

matrice colonna

DEF.

(Unione sist. lin. e matrici)

Un sistema lineare in n incognite e con m equazioni a coeff. in k è una matrice C=(A|b)∈M_m,n+1(k)

oppure è una coppia A, b con A∈M_m,n(k) e b∈M_m,1(k)

matrice completa

matrice dei coeff.

insieme delle matrici

in varia bil colonna termini noti

DEF.

Chiamiamo:

• QUADRATA - una matrice che ha n° righe = n° colonne.
• Indichiamo l'insieme delle matrici con n righe e n colonne con M_n(k)

n-ordine della matrice

• A∈M_n(k) può essere:

  • TRIANGOLARE ALTA - se a_ij = 0 per i > j
  • TRIANGOLARE BASSA - se a_ij = 0 per i < j
  • DIAGONALE - se a_ij = 0 per i ≠ j

(tutti gli elementi tranne diagonale)

se tutti questi elementi sono nulli, la matrice è quadrata triangolare bassa

es.

es.

triangolare alta

diagonale

2^a PARTE

Sia (A|b) compatibile, ogni soluzione del sistema mi determina una n-pla (c₁, ..., c_n) tale che b = c₁v₁ + ... + c_nv_n. Se v₁, ..., v_n sono l.i. ⇒ i pesi sono univocamente determinati.

ho una sola soluzione(A|b) è DETERMINATO

Quindi: se i vettori sono l.indip. ho una sola n-pla che esprime i pesi-soluzione del sistema. Se sono l.dip. ne ho più di una.

RISOLVERE UN SISTEMA LINEARE

quadrato, a scala...

• 1 -1 -1 2
• 3 -2 1 2
• 0 0 -1 -2
• 0 0 0 4

4 pivot = rango 4triangolare alta

Inizio a risolvere dall'ultima riga, poiché è triangolare alta

{

1. x + y - z + t = 2
2. 3y - z + t = 2
3. z - 4t = -2
4. t = 4

{

• x = 8
• y = 4
• z = 14
• t = 4

{

• 8
• 4
• 14
• 4

a partire dall'ultima riga abbiamo quindi trovato la var. che sta nel pivot

Qualsiasi termini noti b ci sono, il procedimento si può sempre fare, poiché il sistema è a scala

Le colonne che contengono i pivot sono l.indip. fra loro

non si può fare se ho una riga di A tutta = 0

In questo caso tutte le colonne sono l.indip. quindi il sistema ha solo 1 soluzioneincompatibile - (b non sarà mai comb. lin. di A)

• 0 0 0 0 0
• 0 0 0 0 0 0

A inizio argomento ci siamo posti 4 domande:

1. Ammette soluzioni? → Compatibile o no
2. Se sì, quante? → Determinato o indet.
3. Se sì, come le trovo? → Metodo Gauss
4. Se sì, che "struttura" hanno le soluzioni?

Soluzioni sono sottinsiemi di ℝⁿ

Sottospazi vettoriali

Sia W ≠ Ø e W ⊂ ℝⁿ. Diciamo che W è un SOTTOSPAZIO VETTORIALE (s.s.v.) di ℝⁿ se comunque io scelga

• ∀c, d∈ℝ e ∀u, v∈W sia cu + dv∈W

"W è chiuso per comb. lin."

es. in ℝ²

• W₁= {(a, 0) | a∈ℝ}
• W₂= {(a, 1) | a∈ℝ}
• W₃= {(a, a²) | a∈ℝ}

W₁, W₂, W₃ sono sottinsiemi di ℝ²

Devo verificare se i sottinsiemi sono sotto spazi vettoriali. Faccio comb. lin. di due elementi per ciascun W

W₁: (a, 0) = u   (b, 0) = v

cu + dv = c(a, 0) + d(b, 0) = (ca + db, 0) ∈ W₁

⇒ quindi W₁ è s.s.v. di ℝ²

W₂: (a, 1) = u   (b, 1) = v

cu + dv = (ca + db, c + d)

⇒ quindi W₂ non è s.s.v. di ℝ²