Appunti di Geometria e Algebra Lineare

Calcolo Vettoriale

Vettori Liberi (v ∈ V)

• Definizione
  • Coppia ordinata di punti (p, q) ∈ E³ × E³
  • p e q detti estremi del vettore (se p = q vettore nullo)
  • Un vettore applicato ha:
    • Direzione (Se dir v = dir w => Vz/Vx)
    • Verso (Vettore nullo ha lo stesso verso e direzione di V ≠ v)
    • Modulo (Scalare)
• Lo spazio dei vettori liberi: V e' lo spazio composto da vettori liberi formati da:
  • Vettori applicati con stessa direzione, verso e modulo
• Di un vettore libero si dice rappresentante il segmento congiungente alla retta che va da un estremo all'altro
• Operazioni Elementari
  • Somma tra due vettori v + w
    • Commutativa V + W = W + V
    • v + 0 = v
    • Associativa (v + w) + t = v + (w + t)
  • Prodotto tra uno scalare λ e un vettore v
    • Se λ = 0, v = 0 => λv = 0
    • Se λ ≠ 0 e v ≠ 0 => Se λ > 0 stesso verso e direzione di v
    • Modulo |λv|
    • Commutativo λv = vλ
    • Associativo λ(μv) = (λμ)v e (λ+μ)v = λv + μv
    • λ (v + w) = λv + λw

Parallelismo e Complanarità

• Versore
  • Ad ogni vettore libero non nullo è possibile associare un versore (vers v).
  • Un versore è un vettore avente stesso verso e direzione del vettore e modulo 1.
    • Si calcola vers v = v / |v|
• Parallelismo
  • Due vettori V ed W sono // se hanno stesso verso e direzione.
  • Un vettore nullo è // a qualsiasi altro vettore.
  • Se w = λu |u| / |v| w = λu con λ∈R
• Complanarità
  • 3 Vettori v,₁, v₂, e v₃ non nulli: si dicono complanari se i loro rappresentanti applicati in uno stesso punto giacciono sullo stesso piano π.
• Combinazione Lineare
  • (V₁, ..., V_n) V = V₁λ₁ + V₂λ₂ + ... + V_nλ_n
  • Dato un vettore v, i vettori // sono solo le comb. lin. di v.
  • Dati v, x, w, i vettori complanari sono le comb. lin. di v e w.
• Dipendenza Lineare
  • Dati dei vettori (V₁, ..., V_n) se esistono combinazioni lineari λ₁V₁ + ... λ_nV_n = 0 in cui ad i ≠ 0 i vettori si dicono linearmente dipendenti.
  • (v, w, t) lin. dip. se almeno uno dei tre vettori è combinazione lineare degli altri due v = λw + λt
• Indipendenza Lineare
  • Dati vettori (V₁, ..., V_n) se esistono comb. lineari λ₁V₁ + ... λ_nV_n = 0 in cui ad i = 0 i vettori si dicono linearmente indipendenti.
  • (V, w, t) lin. indip. se ∃γ, t ≠ γv = λw + λt + λt

Piani

Equazione Parametrica

• Dati 3 punti P₁ (x₀, y₀, z₀), P₂ (x₁, y₁, z₁) e P₃ (x₂, y₂, z₂)
• L'equazione parametrica del piano passante per P₁, P₂, P₃

x = x₀ + (x₁ - x₀)t + (x₂ - x₀)s

y = y₀ + (y₁ - y₀)t + (y₂ - y₀)s

z = z₀ + (z₁ - z₀)t + (z₂ - z₀)s

I vettori V nel piano sono

• V₁ = (x₂ - x₀)î + (y₂ - y₀)ĵ + (z₂ - z₀)k̂
• V₂ = (x₁ - x₀)î + (y₁ - y₀)ĵ + (z₁ - z₀)k̂

Equazione Cartesiana

• Dati 3 punti P₁ (x₀, y₀, z₀), P₂ (x₁, y₁, z₁), P₃ (x₂, y₂, z₂)
• L'equazione cartesiana del piano è data dal determinante della matrice formata dai 3 punti

0 = det | x - x₀ y - y₀ z - z₀ | = ax + by + cz + d

       | x₁ - x₀ y₁ - y₀ z₁ - z₀ |

       | x₂ - x₀ y₂ - y₀ z₂ - z₀ |

Posizione Reciproca Tra Rette

Date due rette

• (v₁: | x = x₀ + lt | e | v₂: | x = x₁ + l't |         | y = y₀ + mt | | y = y₁ + m't |         | z = z₀ + nt | | z = z₁ + n't | )
• Le due rette possono essere sghembe

- det | x₁ - x₀ y₁ - y₀ z₁ - z₀ | ≠ 0

    | l m n |

    | l' m' n' |

Forma Ridotta

Insieme delle Soluzioni

• Le soluzioni di un sistema non cambiano se all'interno di una matrice in forma completa
  • Si scambiano due equazioni (righe)
  • Si moltiplica un'equazione per un scalare non nullo
  • Si somma ad un'equazione un multiplo (anche ₀) di un'altra equazione

Ridurre un Sistema

• Utilizzando le operazioni elementari è possibile ridurre il sistema fino a trovare i pivot
  • Pivot è il primo elemento non nullo di una riga
  • Sotto un pivot ci devono essere solo elementi nulli

Soluzioni di un Sistema Lineare

Senza Soluzioni

• Se un sistema presenta un pivot nell'ultima colonna, esso non ha soluzioni Ex. (1 2 0 0 1 2 0 0 3) { x₁ + 2x₂ = 0 x₂ = 2 0 = 3 imp. in ℝ }

Soluzioni Dipendenti da un Parametro

• Se un sistema presenta un numero di pivot inferiore alle incognite allora il sistema ha ∞ soluzioni dipendenti da un parametro Ex. (1 2 0 4 0 1 2 0 0 0 0 0) { x₁ + 2x₂ = 4 x₂ + 2x₃ = 0 0 = 0 } ∞ sol. dipendente da x₃

Unica Soluzione

• Se il sistema presenta pivot in tutte le colonne tranne l'ultima allora ammette una unica soluzione Ex. (1 2 0 4 0 1 2 0 0 0 2 0) { x₁ + 2x₂ = 0 x₂ = 2 x₃ = 0 } Unica soluzione

ALGBERA LINEARE

APPLICAZIONI LINEARI

DEFINIZIONE

Siano V e W due sn su K un'applicazione f: V → W è detta lineare quando

• ∀v1,v2 ∈ V, f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2)
• ∀v ∈ V, ∀λ ∈ K, f(λv) = λf(v)

Nel caso di una funzione f: V → Kⁿ

• f(v) = f(x₁v₁ + ... + x_nv_m) = (x₁, ..., x_n)

Nel caso di una matrice

• f(x₁, ..., x_n) =
  • (a₁₁ ... a_1n)   (x₁)   (a₁₁x₁ + ... + a_1nx_n)
  • (a_m1 ... a_mn) (x_n) (a_m1x₁ + ... + a_mnx_n)

• Se V, W sn su K e {v₁, ..., v_n} base di V e {w₁, ..., w_m} elementi assegnati esiste u'unica applicazione lineare f: V → W t.c f(v_i) = W_i per i = 1 : ... : n

MATRICE ASSOCIATA

PRODOTTO MATRICIALE

• è possibile calcolare un'applicazione lineare data una base di partenza e una di arrivo tranne la matrice

f: V → W   B_p {v₁, ..., v_n} B_w {w₁, ..., w_m} W

• (a₁₁ ... a_1n)   (x₁)   (w_d=f(v_d))
• (a_m1 ... a_mn) (x_n) (w_m=f(v_u))