Appunti di Geometria e Algebra Lineare

CALCOLO VETTORIALE

VETTORI LIBERI

• DEFINIZIONE
  • Coppia ordinata di punti (p, q) ∈ ℝ³ × ℝ³
  • p e q detti estremi del vettore (se p=q vettore nullo)
  • Un vettore applicato ha:
    • Direzione (Se dir V₁=dir V₂ ⇒ V₁ // V₂)
    • Verso (Vettore nullo ha lo stesso verso e direzione di V ⇒ v=V)
    • Modulo (Scalare)
  • Lo spazio dei vettori liberi: V ≃ lo spazio composto da vettori liberi formati dai:
    • Vettori applicati con stessa direzione, verso e modulo
  • Di un vettore libero si dice rappresentabile il segmento alla retta che va da un estremo all'altro
• OPERAZIONI ELEMENTARI
  • Somma tra due vettori u + w
    • commutativa. u + w = w + u
    • v + o = v
    • associativa (v + w) + t = v + (w + t)
  • Prodotto tra uno scalare λ e un vettore V
    • Se λ = 0 e v = 0 ⇒ λv = 0
    • Se λ ≠ 0 e V ≠ 0 ⇒ Se λ > 0 stesso verso e direzione di V
    • modulo |λ| |v|
    • commutativo λv = vλ
    • associativo λ(ξv) = (λξ)v e (λ + μ)v = λv + μv
    • λ(v + w) = λv + λw

CALCOLO VETTORIALE

VETTORI LIBERI (v∈V)

• DEFINIZIONE

  • Coppia ordinata di punti (p,q) ∈ E³xE³
  • p e q detti estremi del vettore (se p=q vettore nullo)
  • Un vettore applicato ha:
    • Direzione (Se dir V₁=dir V₂ ⇒ V₁//V₂)
    • Verso (Vettore nullo ha lo stesso verso e direzione di V ⇒ v=V)
    • Modulo (Scalare)
  • Lo spazio dei vettori liberi: ℝ^e lo spazio composto da vettori liberi formati dai:
    • Vettori applicati con stessa direzione, verso e modulo
  • Di un vettore libero si dice rappresentabile il segmento congiungente alla retta che va da un estremo all'altro

• OPERAZIONI ELEMENTARI

  • Somma tra due vettori v + w
    • Commutativa: v + w = w + v
    • v + 0 = v
    • Associativa (v + w) + t = v + (w + t)
  • Prodotto tra uno scalare λ e un vettore v
    • Se λ = 0 o v = 0 ⇒ λv = 0
    • Se λ ≠ 0 e v ≠ 0 ⇒ se λ > 0 stesso verso e direzione di v
    • Modulo |λ| |v|
    • Commutativa: λv = vλ
    • Associativa λ(ξv) = (λξ)v e (λ+μ)v = λv+μv
    • λ (v + w) = λv + λw

PARALLELISMO E COMPLANARITÀ

• Versore

  • Ad ogni vettore libero v è possibile associare un versore. (Vers v)
  • Un versore è un vettore avente stesso verso e direzione del vettore v e modulo 1
  • Si calcola vers v = v / |v|

• Parallelismo

  • Due vettori v e w sono // se hanno stesso verso e direzione
  • Un vettore nullo è // a qualsiasi altro vettore
  • Se w ≠ ± (|v| / |v|) w // v ⟺ w = λv con λ ∈ ℝ

• Complanarità

  • 3 vettori v, w, t non nulli si dicono complanari se i loro rappresentanti applicati in uno stesso punto giacciono sullo stesso piano π

• Combinazione lineare

  • (V₁,...,V_n) V = V_1λ1 + V_2λ2 +...+ V_nλn
  • Dato un vettore V i vettori // sono solo le comb. lin. di V
  • Dati V × W i vettori complanari sono le comb. lin. di V e W