Appunti di Geometria e Algebra Lineare

GRUPPI ANELLI CAMPI E POLINOMI

OPERAZIONE ASSOCIATIVA

Dato un insieme X e un'operazione o, diciamo che:

X × X ⟶ X è associativa se

(x o y) o z = x o (y o z)

Esempio:

+: ℝ × ℝ ⟶ ℝ è associativa

x + (y + z) = (x + y) + z

⋅: ℝ × ℝ ⟶ ℝ è associativa

x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z

-: ℝ × ℝ ⟶ ℝ non è associativa

3 - (1 - 2) ≠ (3 - 1) - 2

OPERAZIONE COMMUTATIVA

Dato un insieme X e un'operazione o, diciamo che:

X × X ⟶ X è commutativa se

x o y = y o x ∀ x, y ∈ X

Esempio:

+, sono commutative

x - y = y - x

÷ non è commutativa

x/y ≠ y/x

COMPOSIZIONE DI FUNZIONI

f, g, h: funzioni X ⟶ X

(f o g) o h = f o (g o h) è associativa

Le admin ((f o g) o h) (x) = (f o g) (h(x)) = f (g(h(x))) ≠ f (g o h) (x)

non è abeliana.

GRUPPO

(G, o)

• Sia X insieme e o operazione
• G dotato di o si dice GRUPPO se:
1. ∃ e ∈ G: x • e = x ∀ x ∈ G
2. ∀ x ∈ G ∃ x⁻¹ ∈ G: x • x⁻¹ = e ∀ x ∈ G
• ABELIANO se ∀ x, y ∈ G x • y = y • x

Esempio GRUPPO (ℤ, +) è un gruppo abeliano

• ∃ 0 ∈ ℤ: m - 0 = 0 + m = m ∀ m ∈ ℤ
• ∃ -m ∈ ℤ: m - m = 0 ∀ m ∈ ℤ

(M_2x2 (Z), +)

• ∃ 0_2x2 ∈ M_2x2: A + 0_2x2 = A ∀ A ∈ M_n×2
• ∃ -A ∈ M: A - A + (0_2x2) ∀ A ∈ M_n×2

Non esempio (N, +) non ∃-m ∈ ℕ

ANELLO

(A, +, o)

• Sia (A, +) un gruppo, o operazione
• (A, +, o) si dice ANELLO se:
• (A, +) gruppo. Abeliano
• o: A × A → A è DISTRIBUTIVA rispetto a o
• x + (y o z) = x o y + x o z
• ∃ e ∈ A: x • e = e o x = x ν neutro della 2° operazione
• ABELIANO 2° OPERAZIONE x o y = y o x ∀ x, y ∈ A

Sottospazio Vettoriale

(K, +, ·) Campo Numerico

V Spazio Vettoriale su K

W ⊆ V, W ≠ ∅

¹ ∀w₁, w₂ ∈ W w₁ + w₂ ∈ W chiusura per somma. ² ∀w ∈ W ∀λ ∈ K λw ∈ W chiusura per prodotto.

Teorema

(V, +, ·) Spazio Vettoriale su K

⇒ W ⊆ V

(W, +, ·) è Spazio Vettoriale su K

d.m. W ⊆ V ∀v ∈ W ⇒ v ∈ V

∀w ∈ W valgono le proprietà che rendono V spazio vettoriale.

• Esempio: K[x]
• Non esempio: K = m[x] ≠ K = M[x]

Teorema

V spazio vett. su K

I ⊆ V ; I ≠ V

⇒ ∅ di V e' contenuto in I

∅_V ∈ I

Corollario

Lo ∅ di V sta in tutti i sottospazi di V.

MATRICE ASSOCIATA A UN SISTEMA LINEARE

Coefficienti       Termini noti

COMBINAZIONE LINEARE

SCHEDA 8 COMBINAZIONI LINEARI.

V, s.v., su K

V₁,...,V_m ∈ V

λ₁,...,λ_k ∈ K

V = ∑_i=1,...,k λ_iV_i

V è combinazione lineare dei V_i con coefficienti λ_i

COMB. LINEARE BANALE

V = ∑ λ_iV_i con λ_i = 0 ∀i

VETTORI PER MATRICI

COMB. LINEARE COLONNE di A con coeff.

COMB. LINEARE RIGHE di A con coefficienti

Scheda 10 Basi

Lemma della cardinalità:

V spazio vettoriale su K

• V₁, ..., V_m generatori, linearmente indipendenti
• W₁, ..., W_k generatori.

m ≤ k

Ase

V spazio vettoriale su K

∀ ∃ {0}

{V₁, ..., V_m} insieme ordinato di vettori si dice base di V

1. V_n linearmente indipendenti
2. V_n generano V

x spazio nullo ha come base {f}

BB' = {(;), (;), (;)}

Teorema: Ogni spazio vettoriale ammette una base

V su K

• {V₁, ..., V_m} base
• {W₁, ..., W_k} base

→ m = k

Dim:

Siano V₁, ..., V_m linearmente indipendenti e base

Siano W₁, ..., W_k generatori

x lemma: cardinalità: m ≤ k

Siano W₁, ..., W_k linearmente indipendenti e base

Siano V₁, ..., V_m generatori

x lemma cardinalità k ≤ m

{m ≤ kk ≤ m} → m = k

SOMMA (O UNIONE) DI SOTTOSPAZI

∀ sp. vett. IK

Wₙ, W₂ < V

W₁ + W₂ = SPAN {W₁ ∪ W₂}

se {Wᵢ} è una famiglia di sottospazi ∑ Wᵢ : SPAN {∪ᵢ Wᵢ}

es

W₁ = l'asse x {yₛ=0; zₛ=0} = SPAN { (1 0 0) }

W₂ = l'asse y {xₛ=0; zₛ=0} = SPAN { (0 1 0) }

W₁ ∩ W₂ è il piano xy { (x,y,z) ∈ IR³: z=0 } SPAN { (1 0 0) (0 1 0) }

SOMMA DIRETTA

W₁, W₂ < V si dicono in somma diretta se

W₁ ∩ W₂ = {0}

in tal caso W₁ + W₂ diviene W₁ ⊕ W₂

asse x e asse y sono in somma diretta.

TEOREMA DELLA SCOMPOSIZIONE UNICA DI VETTORI

V, W < U sp. vett iK

V ⊕ W = U . sono in somma diretta, gettiamo

=> ∀u ∈ U ∃! v ∈ V, w ∈ W tale che u = v + w

dim

u ∈ U, v ∈ V, w ∈ W

u = v + w

ovvero u è combinazione lineare di v e w in quanto

Ū = SPAN {Ū ∪ W}

siano v' ∈ V, w' ∈ W

u = v' + w' = v + w

v + w = v' + w' => v - v' = w' - w

ora v - v' ∈ V in quanto comb. lineare di vettori di V

w' - w ∈ W n

per un'acquanza : v - v' ∈ W e w' - w ∈ V

allora v - w' ∈ V ∩ W e w' - w ∈ V ∩ W

per definizione V ∩ W = {0} per cui

v - v' = 0 => v = v'

w' - w = 0 => w = w'

◻

Omomorfismi e Spazio delle Funzioni Lineari

V, W SV su K f: V → W f W lineari

Somma di funzioni

(f + g)(v) = f(v) + g(v)

Prodotto per scalare

(λf)(v) = λ ⋅ f(v)

Con queste operazioni lo spazio delle funzioni lineari da V a W è spazio vettoriale su K.

Campo K Spazio Hom(V, W) Operazioni (f + g)(v) = f(v) + g(v) (λf)(v) = λ ⋅ f(v) Inverso somma

Scheda 14

Lineari, Ker(f), Immag(f)

Funzione iniettiva:

f ∈ Hom(V, W) si dice iniettiva se:

f(v) = f(w) ⇒ v = w ∀ v, w ∈ V

Funzione suriettiva:

f ∈ Hom(V, W) si dice suriettiva se:

∀ y ∈ W ∃ x ∈ V: f(x) = y

Funzione biettiva:

f ∈ Hom(V, W) si dice biettiva se:

{f(v) = f(w) ⇒ v = w ∀ v, w ∈ V ∀ y ∈ W ∃ x ∈ V: f(x) = w

La composizione implica la proprietà anche sulla sin.gola.

V → U → W g ∘ f è iniettiva ⇒ f è iniettiva

adm g₁ ∘ f₂(v) = g₂(f₁(v))

f: V → W (g ∘ f)(v) = (g₁ ∘ f₂)(v) = g₂∘ f₂(v) = g(f(v))

⇒ f(v) = f(w) ∀ v, w ∈ V □

g ∘ f suriettiva ⇒ g è suriettiva

(g₂∘ g₁)(v) = g₂∘ f(v) è suriettiva ⇒ ∀ y ∈ W ∃ f⟨v⟩ ∈ U :

adm g(f(v)) = g₂∘ f(v) = y

g₂(w) = y