Appunti di Geometria e Algebra Lineare

Operazione Associativa:

• Dato un insieme X
• Un'operazione o

Esempio:

+ : ℝ × ℝ ⟶ ℝ è associativa

∙ : ℝ × ℝ ⟶ ℝ è associativa

Non esempio:

- : ℝ × ℝ ⟶ ℝ non è associativa

Operazione Commutativa:

• Dato un insieme X
• Un'operazione o

Esempio:

+ sono commutative x + y = y + x

/ : non è commutativa x / y ≠ y / x

Composizione di Funzioni

f, g, h funzioni X ⟶ X

dim.

non è abeliana.

GRUPPI ANELLI CAMPI e POLINOMI:

OPERAZIONE ASSOCIATIVA:

• Dato un insieme X
• Un'operazione o

diciamo che o : X × X → X è associativa se

X o (y o z) = (x o y) o z

esempio:

• + : ℝ × ℝ → ℝ è associativa

x + (y + z) = (x + y) + z

• · : ℝ × ℝ → ℝ è associativa

x · (y · z) = (x · y) · z

non esempio:

• - : ℝ × ℝ → ℝ non è associativa

3 - (1 - 2) ≠ (3 - 1) - 2

OPERAZIONE COMMUTATIVA:

• Dato un insieme X
• Un'operazione o

diciamo che o : X × X → X è commutativa se

x o y = y o x ∀ x, y ∈ X

esempio:

• + , - sono commutative x - y = y - x

• ÷ non è commutativa x / y ≠ y / x

COMPOSIZIONE di FUNZIONI:

f, g, h funzioni X → X

(f o g) o h = f o (g o h) è associativa

(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = f (g(h(x))) ≠ f o (g o h)(x)

non è ABELIANA.

GRUPPO

(G, ∘)

• Siamo X insieme e ∘ operazione
• G dotato di ∘ si dice gruppo se:

1. ∃ neutro di ∘ ∃ e ∈ G : x ∘ e = x ∀ x ∈ G
2. ∃ x^-1 ∈ G : x ∘ x^-1 = e ∀ x ∈ G
3. Abeliano se ∀ x,y ∈ G x ∘ y = y ∘ x

Esempio gruppo

(ℤ, +) è un gruppo abeliano

• ∃ 0 ∈ ℤ : m - 0 = 0 + m = m ∀ m ∈ ℤ
• ∃ -m ∈ ℤ : m - m = 0 ∀ m ∈ ℤ

(M₂ₓ₂(ℤ), +)

• ∃ ₀₂ₓ₂ : A + (₀₂ₓ₂) = A ∀ A ∈ M₂ₓ₂
• ∃ -A ∈ M : A + (-A) = (₀₂ₓ₂) ∀ A ∈ M₂ₓ₂

Non esempio (ℕ, +) non ∃ -m ∈ ℕ

ANELLO

(A, +, ∘)

• Sia (A, +) un gruppo, ∘ operazione
• (A, +, ∘) si dice anello se
• (A, +) gruppo abeliano
• ∘ : A × A → A è distributiva rispetto a ∘ x + (y ∘ z) = x ∘ y + x ∘ z
• ∃ e ∈ A : x ∘ e = e ∘ x = x neutro della 2^a operazione.
• Abeliano 2^a operazione x ∘ y = y ∘ x ∀ x,y ∈ A

CAMPO:

K insieme

+,∘ operazioni K×K → K

(K,+,∘) si dice campo se:

1. (K,+) gruppo abeliano
2. (K,+,∘) anello abeliano
3. ∃ x^-1 ∈ K : x ∘ x^-1 = x^-1 ∘ x = e

L'inverso deve ∃ per gli elementi non nulli(in ² non ∃ inverso di 0, ma ℝ² è un campo)

esempio

(ℝ, +, ∘) è un campo

• (ℝ,₊) gruppo

• ∃ 0 ∈ ℝ x + 0 = x ∀ x ∈ ℝ
• ∃ -x ∈ ℝ -x + x = x + (-x) = 0 ∀ x ∈ ℝ
• x + (y + z) = (x + y) + z ∀ x ∈ ℝ

• (ℝ, +, ∘) è anello

• ∃ 1 ∈ ℝ : x ∘ 1 = 1 ∘ x = x ∀ x ∈ ℝ
• x + (y∘z) = x∘y + x∘z distributività

• ∃ ¹/_x ∈ ℝ : ¹/_x ∘ x = x ∘ ¹/_x = 1 ∀ x ∈ ℝ

campo famosi ℝ, ℚ, ℂ, /ℤ campo.

P(x) = ∑_i=0^m a_i∘x: m grado del polinomio

Th fondamentale : P(x) = (x - λ)(x - μ)(x - z)(x - z̄)

Anelli K[x], ℚ[x], K≤m[x], ℝ≤m[x] solo anelli.

SCHEDA 3

SPAZIO VETTORIALE:

• K CAMPO
• + : SOMMA INTERNA
• V INSIEME
• * : PRODOTTO MISTO (PER SCALARI)

V SI DICE SPAZIO VETTORIALE SE

1. (V, +) E' UN GRUPPO ABELIANO
2. ∀v,w ∈ V ∀λ ∈ K λ(v+w) = λv + λw DISTRIBUTIVA DELLA SOMMA DI V
3. ∀v ∈ V ∀λ,μ ∈ K (λ + μ) v = λv + μv DISTR