Appunti di Geometria e Algebra Lineare

Operazione associativa

Dato un insieme X

Un'operazione o

Diciamo che o : X × X → X è associativa se

X o (y o z) = (x o y) o z

Esempio

• + : ℝ × ℝ → ℝ è associativa, x + (y + z) = (x + y) + z
• ∙ : ℝ × ℝ → ℝ è associativa, x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z

Non esempio

• - : ℝ × ℝ → ℝ non è associativa, 3 - (1 - 2) ≠ (3 - 1) - 2

Operazione commutativa

Dato un insieme X

Un'operazione o

Diciamo che o : X × X → X è commutativa se

x o y = y o x ∀ x,y ∈ X

Esempio

• + sono commutative, x + y = y + x

Non esempio

• / non è commutativa, x / y ≠ y / x

Composizione di funzioni

f, g, h funzioni X → X

(f o g) o h = f o (g o h) è associativa

dim.((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x)) = f (g(h(x))) = f o (g o h)(x) non è abeliana.

Gruppi, anelli, campi e polinomi

Operazione associativa

Dato un insieme X

Un'operazione o

Diciamo che o : X × X → X è associativa se

X o (y o z) = (x o y) o z

Esempio

• + : ℝ × ℝ → ℝ è associativa, x + (y + z) = (x + y) + z
• · : ℝ × ℝ → ℝ è associativa, x · (y · z) = (x · y) · z

Non esempio

• - : ℝ × ℝ → ℝ non è associativa, 3 - (1 - 2) ≠ (3 - 1) - 2

Operazione commutativa

Dato un insieme X

Un'operazione o

Diciamo che o : X × X → X è commutativa se

x o y = y o x ∀ x, y ∈ X

Esempio

• + , - sono commutative, x - y = y - x

Non esempio

• ÷ non è commutativa, x / y ≠ y / x

Composizione di funzioni

f, g, h funzioni X → X

(f o g) o h = f o (g o h) è associativa

(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = f (g(h(x))) ≠ f o (g o h)(x) non è abeliana.

Gruppo (G, ∘)

Siamo X insieme e ∘ operazione

G dotato di ∘ si dice gruppo se:

1. ∃ neutro di ∘
2. ∃ e ∈ G : x ∘ e = x ∀ x ∈ G
3. ∃ x^-1 ∈ G : x ∘ x^-1 = e ∀ x ∈ G
4. Abeliano se ∀ x,y ∈ G, x ∘ y = y ∘ x

Esempio

• (ℤ, +) è un gruppo abeliano
• ∃ 0 ∈ ℤ : m - 0 = 0 + m = m ∀ m ∈ ℤ
• ∃ -m ∈ ℤ : m - m = 0 ∀ m ∈ ℤ
• (M_2×2(ℤ), +)
• ∃ 0_2×2 : A + (0_2×2) = A ∀ A ∈ M_2×2
• ∃ -A ∈ M : A + (-A) = (0_2×2) ∀ A ∈ M_2×2

Non esempio

• (ℕ, +) non ∃ -m ∈ ℕ

Anello (A, +, ∘)

Sia (A, +) un gruppo, ∘ operazione

(A, +, ∘) si dice anello se

1. (A, +) gruppo abeliano
2. ∘ : A × A → A è distributiva rispetto a ∘
3. x + (y ∘ z) = x ∘ y + x ∘ z
4. ∃ e ∈ A : x ∘ e = e ∘ x = x neutro della 2^a operazione.
5. Abeliano 2^a operazione, x ∘ y = y ∘ x ∀ x,y ∈ A

Campo

K insieme

+,∘ operazioni K×K → K

(K,+,∘) si dice campo se:

1. (K,+) gruppo abeliano
2. (K,+,∘) anello abeliano
3. ∃ x^-1 ∈ K : x ∘ x^-1 = x^-1 ∘ x = e

L'inverso deve ∃ per gli elementi non nulli (in ² non ∃ inverso di 0, ma ℝ² è un campo)

Esempio

• (ℝ, +, ∘) è un campo
• (ℝ, ₊) gruppo, ∃ 0 ∈ ℝ, x + 0 = x ∀ x ∈ ℝ
• ∃ -x ∈ ℝ, -x + x = x + (-x) = 0 ∀ x ∈ ℝ
• x + (y + z) = (x + y) + z ∀ x ∈ ℝ
• (ℝ, +, ∘) è anello
• ∃ 1 ∈ ℝ : x ∘ 1 = 1 ∘ x = x ∀ x ∈ ℝ
• x + (y∘z) = x∘y + x∘z distributività
• ∃ ¹/_x ∈ ℝ : ¹/_x ∘ x = x ∘ ¹/_x = 1 ∀ x ∈ ℝ

Campo famosi: ℝ, ℚ, ℂ, /ℤ campo.

Polinomi

P(x) = ∑_i=0^m a_i∘x: m grado del polinomio

Teorema fondamentale : P(x) = (x - λ)(x - μ)(x - z)(x - z̄)

Anelli K[x], ℚ[x], K≤m[x], ℝ≤m[x] solo anelli.

Scheda 3: Spazio vettoriale

K campo

+ : somma interna

V insieme

* : prodotto misto (per scalari)

V si dice spazio vettoriale se

1. (V, +) è un gruppo abeliano
2. ∀v,w ∈ V ∀λ ∈ K λ(v+w) = λv + λw distributiva della somma di V
3. ∀v ∈ V ∀λ,μ ∈ K (λ + μ) v = λv + μv distributiva