Appunti di Geometria 1

Mattia Pozzi

Appunti di

GEOMETRIA 1

Dipartimento di Matematica - Università degli Studi di Milano

Indice

1 Spazi vettoriali 1

1.1 Gruppi e campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Spazi vettoriali: definizione e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Matrici e sistemi lineari 9

2.1 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Basi e rango 21

3.1 Sistemi di generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Basi e dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Applicazioni lineari 35

4.1 Definizione e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Isomorfismi ed endomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Matrici rappresentative di omomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Teoria del determinate 47

5.1 Forme multilineari alternanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Il determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Applicazioni del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Spazi affini 57

6.1 Definizione e primi esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2 Sottospazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3 Intersezione di sottospazi affini e spazio contingente . . . . . . . . . . . . . 61

7 Autoteoria 63

7.1 Matrici simili e diagonalizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.2 Autovalori, autovettori e polinomio caratteristico . . . . . . . . . . . . . . 64

7.3 Diagonalizzabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1

Spazi vettoriali

1.1 Gruppi e campi ∗ × → 7→ ∗

( )

G G G G a, b a b operazione

Sia un insieme, una funzione : che associa è detta

∗ ∗

G, G G chiuso

su se è un operazione su allora diciamo che è dell’operazione . Ad

N ∗

= = + +

G

esempio, siano e , la funzione associa ad una coppia di numeri naturali

N

7→

( ) ( ) +

n, m n, m n m,

la loro somma allora è chiuso rispetto alla somma.

∗ ∗)

(

Sia G un insieme e una operazione su G, la coppia G, è detta

Definizione 1.1 (Gruppo).

gruppo se sono soddisfatte le seguenti proprietà:

∀ ∈ ∗ ∗ ∗ ∗

( ) = ( )

1) g g g G si ha g g g g g g (proprietà associativa);

, ,

2 3 2 3 2 3

1 1 1

∃ ∈ ∀ ∈ ∗ ∗

= =

2) e G tale che g G si ha g e e g g (e è detto neutro);

′ ′ ′

∀ ∈ ∃ ∈ ∗ ∗

= =

3) g G, g G tale che g g g g e (esistenza dell’inverso).

Si osserva facilmente che:

Esempio 1.1.

Z,

( +)

• è un gruppo;

N,

( +)

• non è un gruppo poiché manca l’inverso;

Z, ·)

(

• non è un gruppo poiché non esiste l’inverso;

Q, ·)

(

• non è un gruppo poiché 0 non ha inverso;

Q − { } ·)

(

• 0 , è un gruppo. ∗)

(

Un gruppo G, è detto abeliano se vale la proprietà

Definizione 1.2 (Gruppo abeliano).

∀ ∈ ∗ ∗

=

commutativa, ossia g g G risulta g g g g .

, 2 2 2

1 1 1

Z, Q, Q R, R

− { } ·) − { } ·)

( +) ( +) ( ( +) (

, , 0 , , , 0 , sono gruppi abeliani.

Esempio 1.2. ∗)

( G, G almeno

Se è un gruppo, allora ha un elemento.

Osservazione 1.1.

{ } ∗ × → ∗

= =

G e G G G, e e e,

Infatti, sia e sia : ossia osserviamo che vale la proprietà

∗ ∗ ∗ ∗

( ) = ( ) =

e e e e e e e, e,

associativa, infatti esiste il neutro che è proprio infatti

∗ =

e e e, e.

ed esiste l’inverso che coincide anch’esso con

In modo analogo si potrebbe costruire un gruppo con due elementi.

2 Mattia Pozzi - Appunti di Geometria 1

∗ +

Se l’operazione è indicata con , allora l’elemento neutro è indicato con 0

Notazione. − ∗ ·

g g.

e l’inverso di con Invece, se l’operazione è indicata con , allora l’elemento neutro

− 1

g g

è indicato 1 e l’inverso di con .

K K.

·

+

Sia un insieme e siano e due operazioni su La terna

Definizione 1.3 (Campo).

K, ·) campo

( + è detta se:

,

K,

( +)

1) è un gruppo abeliano;

K − { } ·)

(

2) è un gruppo abeliano;

0 ,

K K

∀ ∈ · · ·

( + ) = +

3) k k k si ha k k k k k k k (proprietà distributiva).

, ,

2 3 2 3 2 3

1 1 1 1

Q, R,

·) ·)

( + ( +

, e , sono campi.

Esempio 1.3. K, K

·)

( +

Se , è un campo, allora ha almeno due elementi.

Osservazione 1.2. K − { }

+

Infatti, se 0 è il neutro dell’operazione , allora il gruppo 0 ha almeno un

K K

·

elemento (Osservazione 1.1), che coincide con 1 (elemento neutro di ).

K

K, ·)

( +

Se , è un campo, allora valgono le seguenti proprietà:

K

∀ ∈ · ·

= =

k k k

1) si ha 0 0 0 ;

K K K

K,

∀ ∈ · ∨

= = =

a, b a b a b

2) se 0 allora 0 0 .

K K K

1.2 Spazi vettoriali: definizione e primi esempi

K, ·

( + ) ( + )

Sia un campo, diciamo che la coppia V,

,

Definizione 1.4 (Spazio vettoriale). K K V

K

spazio vettoriale

è uno sul campo se:

( + )

1) V, è un gruppo abeliano;

V K K

· × → ∈ ×

( )

2) esiste un’operazione V V (che associa alla coppia k, V l’elemento

: v

K

· ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

( )

k V) tale che k, h e V si ha:

v v, u

· · ·

( + ) = +

a) k k k

v u v u

V V

· · ·

( + ) = +

b) k h k h

v v v

K V

· · · ·

( ) = ( )

c) k h k h

v v

K

· =

d) 1 v v

K K

V

Gli elementi di sono detti e gli elementi di sono detti Inoltre, l’insieme

vettori scalari.

K-spazio

V è detto un vettoriale. K, K n

·

( + ) =

V

Consideriamo un campo , e l’insieme :

Esempio 1.4. K K

 

 

x 1

 

 

x

 

2

   

K K

n ∈

|

= = x x

x , , ...,

x  

. n

2

1

..

 

 

 

 

 

x

 

n

Spazi vettoriali 3

K K K K

n n n n

× →

+

Definiamo su l’operazione : come segue:

     

+

x y x y

K

1 1 1 1

... ... ..

+ = + =

x y      

.

     

+

x y x y

K

n n n n ( + ) + =

osserviamo facilmente che vale la proprietà associativa, infatti x y z

+ ( + ) . Esiste l’elemento neutro

x y z 0:

 

0

K

..

=

0  

.

 

0

K K K

n n

∀ ∈ ∀ ∈ −

+ =

tale che si ha Inoltre, esiste l’inverso

x x 0 x. x x:

 

− x 1

...

− =

:

x  

 

− x n

+ (− ) =

tale che Infine, è immediato verificare che vale la proprietà com-

x x 0. K n

∀ ∈ + = +

mutativa, infatti si ha

x, y x y y x.

K,

( +)

Concludiamo che è un gruppo abeliano.

K K K

n n

· × →

Definiamo ora l’operazione : come segue:

   

·

x k x

K

1 1

... ...

· ·

= =

k k

x    

   

·

x k x

K

n n (a),

Si verifica facilmente che con questa operazione sono soddisfatte le proprietà

(b), (c) (d)

e della Definizione 1.4.

K n ·

( +)

Dato che , è un gruppo abeliano ed esiste l’operazione che soddisfa le

K K-spazio

n

(a), (b), (c) (d),

proprietà e concludiamo che è un vettoriale.

K K, K K.

n

= =

n

Se 1 allora quindi è uno spazio vettoriale su

Osservazione 1.3. K, K

·)

( + ( + )

V,

Consideriamo un campo , , uno spazio vettoriale su e

Esempio 1.5. V

F ( )

S. S, V S V:

un insieme Indichiamo con l’insieme delle funzioni definite da in

F { → }

( ) =

S, V f S V

: F × F → F

+ ( ) ( ) ( )

S, V S, V S, V

Consideriamo l’operazione : , che alla cop-

F

∈ F × F ∈ F

( ) ( ) ( ) ( + ) ( )

f g S, V S, V f g S, V

pia di funzioni , associa la funzione .

F

∀ ∈ ∈

( ) ( )

s S f s g s V,

Dato che abbiamo , possiamo scrivere:

( + )( ) = ( ) + ( )

f g s f s g s

:

F V

4 Mattia Pozzi - Appunti di Geometria 1

K

· × F → F

( ) ( )

S, V S, V

Consideriamo ora l’operazione : , che associa alla coppia

F

· ∀ ∈ ∈

( ) ( )

k, f k f s S, f s V,

la funzione . Dato che possiamo scrivere:

F

· ·

( )( ) = ( )

k f s k f s

:

F K-spazio

F ( )

S, V

È facile verificare che con queste due operazioni è un vettoriale.

· · · · ·

( + ( + (· + ) + )

La somma di vettori può essere eseguita

Osservazione 1.4. v v v n

2

1

disponendo in qualunque modo le parentesi e il risultato di tale somma dipende solo da

· · ·

+ +

vettori , ..., . Possiamo quindi denotarla con , omettendo le parentesi.

v v v v

n n

1 1

K, ·)

( + ( + )

V,

Sia , un campo e uno spazio vettoriale, allora:

V

( + )

V,

1) in esiste ed è unico l’elemento neutro (0);

V ( + )

Dimostrazione. V,

Il neutro esiste poiché è abeliano. Dimostriamo l’unicità per

V

( + ) = +

V,

assurdo: siano e neutri in , allora poiché è neutro, inoltre

0 0 0 0 0 0

2 2 2

V V

1 1 1

= + = + = = ■

poiché è neutro; dunque: da cui .

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2 2

V V

1 1 1 1

∀ ∈ −

V

2) esiste un unico inverso (

v v); ( + )

Dimostrazione. V,

L’inverso esiste perché è abeliano. Siano ora e due in-

v v 2

V 1

+ = + ( + )

versi di allora , inoltre, per la proprietà associativa si ha

v, v 0 v v v 2

V V V

1 1

+ ( + ) = ( + ) + = + = = ■

, segue che .

v v v v v v 0 v v v v

v

2 2 2 2 2

V V V V

1 1 1

+ = = + (− )

3) l’equazione (nell’incognita ha come unica soluzione .

x) a x b, x b a −

Dimostrazione. Sommando ad ambi i membri dell’equazione l’inverso di ossia

a, a,

+ (− ) + = + (− ) = + (− ) ■

otteniamo , da cui .

a a s b a s b a

∀ ∈ · =

V

4) si ha 0

v v 0;

K · · · · − ·

= ( + ) = +

Dimostrazione. Abbiamo 0 0 0 0 0 sommando 0

v v v v, v

K K K K K K

V

· · · · · ·

+ (− ) = ( + ) + (− ) = +

otteniamo 0 0 0 0 0 , da cui 0

v v v v v 0 v

K K K K K K

V V V V

· · ·

+ ( + (− )) = ■

0 0 , ossia 0

v v 0 v.

K K K

V V

K

∀ ∈ · =

k k

5) risulta 0 0; · · · · − ·

= ( + ) = +

Dimostrazione. k k k k k

Abbiamo sommando ottenia-

0 0 0 0 0, 0

V V

· · · · · ·

+ (− ) = ( + ) + (− ) =

k k k k k k ■

mo , da cui

0 0 0 0 0 0 0.

V V V

· = = =

k k

6) se allora 0 oppure

v 0, v 0.

K − 1

· ∃

=

Dimostrazione. k k k

Sia allora (inverso di per la moltiplicazione); moltipli-

v 0,

− − −

1 1 1

· · ·

( ) = =

k k k k ■

cando ambo i membri per si ha: , da cui

v 0 v 0.

∈ − = + (− )

V

Per ogni denotiamo : .

Notazione. v, w v w v w

Spazi vettoriali 5

1.3 Sottospazi vettoriali K-spazio ⊆

Sia V un vettoriale e sia U V. Diciamo

Definizione 1.5 (Sottospazio vettoriale).

che U è un sottospazio vettoriale se:

∈ ∈

+

1) per ogni U si ha U;

,

u u u u

2 2

1 1

K

∈ ∀ ∈ · ∈

2) per ogni k e U si ha k U.

u u V

In altre parole, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di chiuso rispetto alla som-

ma e al prodotto. Vediamo ora alcune proprietà dei sottospazi vettoriali.

K-spazio

Sia V un vettoriale e sia U

Proposizione 1.1 (Proprietà dei sottospazi vettoriali).

un sottospazio vettoriale, allora:

∈

1) U;

0 V ∈ − ∈

2) se U allora U;

u u

K-spazio

3) U è un vettoriale con le operazioni indotte da quelle di V.

K-spazio =

V U V

Se è un vettoriale, allora è un sottospazio vettoriale.

Esempio 1.6. { }

=

U

L’insieme è un sottospazio vettoriale, infatti valgono le due

Esempio 1.7. 0 V U improprio

proprietà della Definizione 1.5. In questo caso è detto sottospazio vettoriale

(poiché il più piccolo sottospazio possibile).

∈ ̸ { }

= =

V U

Sia e , allora non è un sottospazio vettoriale (per

Esempio 1.8. v v 0 v

V

la Proposizione 1.1). K

∈ ̸ { · | ∈ }

= =

V U k k

Sia e , allora è un sottospazio vettoriale

Esempio 1.9. v v 0 v

V

(valgono le proprietà della Definizione 1.5). K-spazio ∈ ̸ =

Siano V un vettoriale, V e ; si

Definizione 1.6 (Sottospazio generato). v v 0 V

K

⟨ ⟩ { · | ∈ }

=

definisce sottospazio generato l’insieme k k .

v v

R 2

=

V

Consideriamo , siano:

Esempio 1.10.

x 0

1 R

| | ∈

= = =

A x x

0 2

1

x x

2 2

x 1

1 R

| | ∈

= = =

B x x

1 2

1

x x

2 2

k

1 R

⟨ ⟩ | ∈

= =

C k

0 0 A C

Osserviamo facilmente che e sono sottospazi vettoriali (in quanto valgono le

B

proprietà della Definizione 1.5), mentre non è un sottospazio, infatti:

k

1

· ̸∈

=

k B

·

x k x

2 2

6 Mattia Pozzi - Appunti di Geometria 1

R

2

∪ ∩ ⊆

A C, A C

Consideriamo ora gli insiemi ed osserviamo che:

x 0

1

∩ |

= = = = =

A C x x

0, 0 0 R

2 2

1

x 0

2

∩

A C

quindi è un sottospazio vettoriale improprio. Invece:

x 1

∪ | ∨

= = =

A C x x

0 0

2

1

x 2

1 0 ∈ ∪

A C,

non è un sottospazio vettoriale, infatti, presi , si ha:

0 1

1 0 1 ̸∈ ∪

+ = A C

0 1 1

Dal precedente esempio osserviamo che, in generale, l’unione di sottospazi è neces-

non

sariamente un sottospazio. Per l’intersezione, invece, vale la seguente proposizione.

K-spazio ⊆

Sia V un vettoriale e siano U, W V sottospazi vettoriali, allora

Proposizione 1.2.

∩

U W è un sottospazio vettoriale.

∀ ∈ ∩ ∈ ∈

Dimostrazione. U W U W; U W

, sappiamo che , e , poiché e

v v v v v v

2 2 2

1 1 1

∈ ∈ ∈ ∩

+ + +

U W, U W.

sono sottospazi vettoriali, abbiamo e ossia

v v v v v v

2 2 2

1 1 1

K,

∀ ∈ · ∈ · ∈ · ∈ ∩

k k U k W, k U W. ■

Analogamente, abbiamo e ossia

v v v

Somma e somma diretta K-spazio ⊆

Sia V un vettoriale e siano U, W V sottospazi vettoriali

Definizione 1.7 (Somma).

somma

di V, allora si dice l’insieme:

{ ∈ | ∃ ∈ ∃ ∈ }

+ = = +

U W V U, W tali che

: (1.1)

v u w v u w

K-spazio

Se U e W sottoinsiemi di un vettoriale V, allora:

Proposizione 1.3.

+

1) U W è un sottospazio vettoriale di V;

∪ ⊆ +

2) U W U W ∪

+

3) U W è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene U W.

Dimostrazione. 1) Segue immediatamente dalla definizione di sottospazio vettoriale.

∪ ⊆ ⊆ ⊆ ∀ ∈

+ + +

U W U W, U U W W U W. U

2) Mostriamo che ossia che e abbiamo

u

=