Appunti di Geometria 1

CAPITOLO 1

• SOMMA VETTORIALE: sommo le coordinate dei vettori. C'è la proprietà COMMUTATIVA (u+w=w+v) e ASSOCIATIVA ((u+w)+v=u+(v+w)). Si rappresenta con metodo del parallelogramma.
• 0 è l'ELEMENTO NEUTRO: (u+0=u) è l'unico elemento neutro. Dimostro per assurdo che esista 01 altro elemento neutro con le stesse caratteristiche. Allora 0+01=0 perché 01 neutro, ma anche 0+01=01 perché 0 è neutro.
• PRODOTTO DI VETTORE PER SCALARE: ottengo vettore parallelo al primo (lo allungo o lo accorcio, se i vettori sono diversi da 0). Vale la proprietà ASSOCIATIVA e DISTRIBUTIVA (dato & su+v; = su+sv)
• PRODOTTO SCALARE: moltiplico 2 vettori tra loro e ottengo un numero (UV=UxVx+UyVy). Valgono la proprietà commutativa, associativa. Se u è diverso da 0, uv>0.
• Se il prodotto scalare è 0, i vettori sono perpendicolari tra loro. Se u e v sono perpendicolari, anche su e v sono perpendicolari.
• NORMA è la lunghezza di un vettore. | A | = radice di AA. | A | > 0 se A diverso da 0. || 5A || = | 5 | | A |.
• DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY: (AB)² ≤ (AA) (BB). Dimostro introducendo un vettore ausiliario C, tale che C=(BB)A-(AB)B. Per le proprietà del prodotto scalare CC>0, ma CC= (BB)² (AA) - 2(AB)² (BB) + (AB)² (BB) (AB)²=(AA) (BB)-(CC/BB)
• DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE | A + B | ≤ | A | + | B | . Dimostro portando al quadrato entrambi i membri. Da un lato è: (A+B) (A+B)= || A ||² +2AB+ | B |², dall'altro ho | | A | | + 2 | | A | | | B | | + | | B | |². ABS || | | | B | | per Cauchy.
• S insieme finito di vettori. Se un vettore X di Rn può essere rappresentato come combinazione lineare dei vettori di S, S genera X.
• LO SPAZIO LINEARE generato da S L(S) è l'insieme di tutti i vettori generati da S. (Se L(S)=Rn, allora S genera Rn.)
• Ogni insieme S genera il vettore nullo, basta con una combinazione banale mettere i coefficienti uguali a 0. Un insieme S genera in maniera univoca i vettori di L(S) se e solo se genera in maniera univoca il vettore nullo. Dimostro che se X è dato da due modi, allora è dato da due combinazioni lineari diverse. Se faccio X-X per ottenere 0, le combinazioni dovranno avere gli stessi coefficienti per avere 0.
• L(S) è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare. V= $1V1+$2V2, W=@1V1+@2V2 => (V+W-($1+@1)V +( $2+@2) V2 che sta in L(S).

• Un insieme di vettori è LINEARMENTE INDIPENDENTE se genera in maniera univoca 0, ovvero se lo genera solo con tutti i coefficienti uguali a 0.
• Un insieme è DIPENDENTE se genera 0 in altri modi. Se un insieme contiene il vettore nullo, allora è DIPENDENTE perché quel vettore lo posso moltiplicare per qualsiasi coefficiente e mi darebbe 0. Se un insieme con k vettori in L(S) è Indipendente, un insieme con k+1 vettori è dipendente.
• Un insieme è ORTOGONALE se non ha vettori nulli e se i vettori contenuti sono perpendicolari tra loro (Ai x Aj=0 con i diverso da j). Se S è ORTOGONALE è LINEARMENTE INDIPENDENTE. Dimostro moltiplicando un vettore Vi per la combinazione. Essendo la combinazione zero Vi per zero è zero. Ma Vi per la combinazione posso anche scriverlo come $(Vi Vi) con Vi per Vi diverso da zero perché sono lo stesso vettore, quindi $ è per forza uguale a zero. ? Un insieme è ORTONORMALE se ortogonale e i vettori hanno norma 1.
• BASE: una base di Rn è un sottoinsieme finito e ordinato, linearmente indipendente e che genera Rn. Una base di Rn contiene n vettori linearmente indipendenti. Ogni base ha lo stesso numero di elementi. Base standard: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
• DIMENSIONE di W è la cardinalità della base, il numero di elementi della base.
• Trovare le basi: Se S ha un elemento è una base. Se S ha più di un elemento ed è linearmente indipendente è una base, se è dipendente tolgo il vettore con indice diverso da 0 (e così via).

CAPITOLO 3

Spazio vettoriale (lineare)

• È un insieme NON VUOTO
• Con somma e prodotto scalare
• Soddisfa 10 assiomi

ASSIOMI:

1. Chiusura addizione. Se v e w sono in V, anche v+w è in V
2. Chiusura moltiplicazione per scalare. Se v sta in V e uno scalare § in R, §v è in V
3. Commutativa. v+w=w+v
4. Associativa. (v+u)+w=u+(v+w)
5. Esistenza 0. 0+v=v UNICO
6. Esistenza opposti. v+(-v)=0 UNICO
7. Associativa moltiplicazione, § e @ scalari. §(@v)=(§@)v
8. Distribuiva vettori moltiplicazione. §(v+w)=§v+§w
9. Distributiva numeri moltiplicazione. (§+@)v=§v+@v
10. Esistenza identità. 1•v=v

Esempio: {polinomi di grado al più 2}. Rispettano assiomi.

NON è esempio: {polinomi di grado ESATTAMENTE 3}. Non rispettano sempre la somma.

(Es.: x^3-x^3+1=+1 che è di grado 0.)

• max numero di colonne LIN. INDIPENDENTI
• max numero di righe LIN. INDIPENDENTI

Matrici Simili

• A e B sono simili se esiste C matrice quadrata invertibile tale che: B = CAC^-1
• A e B hanno stesso determinante: det(CAC^-1) = detC detA detC^-1 = det(A)
• hanno stesso spettro
• hanno stesso polinomio caratteristico

Matrice del Cambiamento di Base

• Esiste matrice invertibile tale che C∙v_i = w_i ∀i

Teorema

Sia T: ℝⁿ → ℝⁿ, se A rappresenta T rispetto a B₁ e B rappresenta T rispetto a B₂ allora A = CBC^-1

• det(CBC^-1) = detB per Binet, posso definire il determinante di un'applicazione lineare.