Appunti di Geometria

PROPOSIZIONE

Sia uno spazio vettoriale e vettori di Allora è un sottospazio di

)

, … , . ( , … , .

DIMOSTRAZIONE

Per dimostrare che è chiuso rispetto alla somma dobbiamo far vedere che la somma di due combinazioni

lineari di è ancora una combinazione lineare di . Infatti, se ,

, … , , … , + ⋯ + +

sono due combinazioni lineari si ha:

⋯ + ∈ ( , … , )

( ) ( ) ( ) ( ) )

+ ⋯ + + + ⋯ + = + + ⋯ + + ∈ ( , … ,

come voluto. Analogamente, se si ha:

∈ ) ( ) ( ) )

( + ⋯ + = + ⋯ + ∈ ( , … ,

per cui è effettivamente un sottospazio.

)

( , … ,

ESEMPIO 3 −1

e

∈ = =

1 −1

0 0 3 −

3 −1

)

( , = + | , ∈ = | , ∈

−

1 −1

0 0 0

Geometricamente è il piano cioè l’insieme di tutti i vettori della forma . Infatti, è facile verificare

= 0,

0

che per ogni esistono tali che:

, ∈ , ∈ 3 − =

− =

13

per cui: )

= + ∈ ( ,

0 ( ) ( )

− − 3

per l’esattezza, risolvendo il sistema si vede che basta prendere e .

= =

2 2

14

6. INDIPENDENZA LINEARE E BASI

DEFINIZIONE

Un insieme di vettori di uno spazio vettoriale si dice linearmente dipendente se esistono

, … , ∈

non tutti nulli tali che

, … , ∈ + ⋯ + = 0.

Viceversa, si dicono linearmente indipendenti se non sono linearmente dipendenti, ovvero se

, … , implica che

+ ⋯ + = 0 = ⋯ = = 0.

Un’equazione della forma con gli non tutti nulli sarà chiamata relazione di

+ ⋯ + = 0

dipendenza lineare tra .

, … ,

DEFINIZIONE

Sia uno spazio vettoriale. Un insieme di vettori di è una base di se:

{ }

= , … ,

1) cioè sono un sistema di generatori di

),

= ( , … , , … , ;

2) sono linearmente indipendenti.

, … ,

I vettori , dove:

, … , ∈ 1 0 0

0 1 0

, , … ,

= = =

0 0 ⋮

⋮ ⋮ 0

0 0 1

sono una base di .

DEFINIZIONE

Sia una base di uno spazio vettoriale e Gli numeri reali tali che

{ } ( )

= , … , , ∈ . , … ,

sono le coordinate di rispetto alla base

= + ⋯ + .

In particolare, quindi, uno spazio vettoriale è completamente determinato una volta che se ne conosce una base:

infatti ogni suo elemento si ottiene in uno e un solo modo come combinazione lineare degli elementi della base,

con le coordinate come coefficienti. 15

7. ESISTENZA DELLE BASI

DEFINIZIONE

Sia un sottoinsieme di uno spazio vettoriale Diremo che è un sottoinsieme massimale in

⊆ . ⊆

di vettori linearmente indipendenti se prima di tutto gli elementi di sono linearmente indipendenti, e

inoltre aggiungendo a un qualunque altro elemento di si ottiene un insieme di vettori linearmente

dipendenti.

PROPOSIZIONE

Sia una base di uno spazio vettoriale Allora è un insieme massimale in di vettori

{ }

= , … , .

linearmente indipendenti.

DIMOSTRAZIONE

Sappiamo per definizione che i vettori sono linearmente indipendenti; dobbiamo dimostrare che,

, … ,

qualunque sia i vettori sono linearmente dipendenti. Ma infatti è un sistema di

∈ , , , … ,

generatori; quindi esistono tali che .

, … , ∈ R = + ⋯ +

Quindi si ha: − +⋯+ = 0

che è una relazione di dipendenza lineare tra (il coefficiente di è 1 che non è nullo).

, , … ,

TEOREMA (del completamento)

Sia una base di uno spazio vettoriale e siano (con ) vettori

{ }

= , … , , … , ∈ ≤

linearmente indipendenti. Allora esistono vettori di che insieme a formano una base di

− , … ,

.

DIMOSTRAZIONE

Procediamo per induzione su Sia siccome è una base di esistono tali che

. = 1, , , … , ∈

.

= + ⋯+

Nel caso l’ipotesi di indipendenza lineare si riduce a quindi almeno uno degli è non nullo. A

= 1, ≠ 0;

meno dell’ordine possiamo supporre:

ricavando )

≠ 0 = − −⋯− ∈ ( , , … ,

Dunque, per cui, grazie al Lemma (successivo), è un sistema di

) { }

⊂ ( , , … , , , … ,

generatori di Rimane da dimostrare che sono linearmente indipendenti.

. 16

Supponiamo che si abbia per certi dobbiamo dimostrare che

+ + ⋯ + = 0 , … , ∈ ,

= ⋯ = = 0.

( ) ( ) ( ) ( )

0 = + ⋯ + + + ⋯ + = + + + ⋯ + +

Siccome sono linearmente indipendenti per ipotesi, i coefficienti di questa combinazione lineare

, … ,

devono essere tutti nulli; essendo ne segue che e quindi In conclusione,

≠ 0 = 0 = ⋯ = = 0.

sono linearmente indipendenti, e il caso è dimostrato.

, , … , = 1

Supponiamo ora la tesi vera per vettori e dimostriamola per vettori. Per ipotesi, possiamo trovare

− 1

elementi di (che a meno dell’ordine possiamo supporre essere ) tali che

(

− − 1) , … ,

sia una base di

, … , , , … , .

Procedendo come prima, dovranno esistere tali che

, … , ∈ = + ⋯ + + +

.

⋯+

Non tutti gli con possono essere nulli, perché altrimenti avremmo scritto una relazione di

= , … ,

dipendenza lineare tra ; a meno dell’ordine possiamo supporre che Dunque:

, … , ≠ 0.

1

= − −⋯− − +⋯+

Appartiene a . Di nuovo, questo implica che i vettori

, … , , , … , , … , , , … ,

formano un sistema di generatori, grazie al Lemma (successivo); rimane da dimostrare che sono anche

linearmente indipendenti.

Siano tali che ; procedendo come nel caso

, … , ∈ + ⋯ + + + ⋯ + = 0

troviamo:

= 1,

0 = +⋯+ + +⋯+ + +⋯+ + +⋯+

0 = +⋯+ + + +⋯+

dove abbiamo posto . Per ipotesi sono linearmente indipendenti, quindi

= + , … , , , … ,

(essendo ) deduciamo che e dunque tutti i sono zero. Di conseguenza

≠ 0 = 0

sono linearmente indipendenti.

, … , , , … ,

Quando applichiamo questo teorema diremo che completiamo a una base di

, … , .

LEMMA

Sia un sottoinsieme di uno spazio vettoriale . Supponiamo che contenga un

{ }

= , … , ()

sistema di generatori di Allora cioè anche è un sistema di generatori di

{ }

. = (), , … , .

17

ESEMPIO 1 1

0 2

Prendiamo i vettori , vogliamo dimostrare che sono linearmente indipendenti e poi

= , = ∈

1 3

0 4

completare a una base di . Per vedere che sono linearmente indipendenti dobbiamo risolvere il

{ }

,

sistema cioè:

+ = 0, + =0

2 = 0

+ 3 = 0

4 = 0

che chiaramente ammette come unica soluzione per cui i nostri due vettori sono linearmente

= = 0

indipendenti. Per completare a una base di procediamo come nella dimostrazione del Teorema

{ }

,

(precedente).

Cominciamo con lo scrivere come combinazione lineare dei vettori della base canonica di :

= 1 +

. La dimostrazione del Teorema (precedente) ci dice che possiamo mettere al posto di uno

0 + 1 + 0

qualunque dei vettori della base canonica che compaiono con coefficiente non nullo, ottenendo ancora una base

di . Per esempio, mettendo al posto di otteniamo la base Adesso scriviamo

{ }.

= , , ,

come combinazione lineare dei vettori : . Come prima possiamo sostituire

= 1 + 2 + 3 + 4

al posto di uno qualunque dei vettori di ( escluso) che compaiono con un coefficiente non nullo. Per

esempio, sostituisco con ottenendo la base che completa come volevamo.

{ } { }

, , , ,

COROLLARIO

Siano e due basi di uno spazio vettoriale Allora

{ } { }

= , … , = , … , . ℎ = .

Dunque, il numero di elementi di una base, cioè il numero di vettori necessari e sufficienti per descrivere un dato

spazio vettoriale, è una caratteristica ben definita dello spazio vettoriale, ovvero la sua dimensione.

DEFINIZIONE

Se è una base di uno spazio vettoriale , il numero si chiama dimensione di (che non

{ }

, … ,

dipende dalla base scelta); scriveremo Lo spazio vettoriale composto dal solo vettore nullo ha

{0}

= .

dimensione zero.

Per calcolare la dimensione di uno spazio vettoriale basta trovarne una base.

OSSERVAZIONE