Appunti di Geometria

Appunti di geometria

Informazioni universitarie

Università: Università Politecnica delle Marche
Laurea: Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Insegnamento: Geometria [MAT/03]
Docente: Prof.essa Chiara De Fabritiis

Importante: Il contenuto di questo documento costituisce una rielaborazione personale dell’Autore delle nozioni apprese con la frequenza delle lezioni in aula e/o studio autonomo sui libri di testo indicati dal Docente. Non devono intendersi in nessun modo come materiale ufficiale del Corso e/o del Docente.

Geometria

L'elemento appartiene all’insieme ∈ l'elemento non appartiene all’insieme ∉ sottoinsieme di i cui elementi appartengono tutti ad ⊆ sottoinsieme proprio di cioè contiene degli elementi che non appartengono a ⊂.

Intersezione; l’insieme contenente solo gli elementi che stanno sia in che in ∩
Unione; l’insieme che contiene tutti gli elementi di e tutti gli elementi di ∪
Differenza; l’insieme che contiene gli elementi di che non stanno in ∖
Prodotto cartesiano; l’insieme delle coppie ordinate dove è un qualunque (; × ) elemento di e è un qualunque elemento di.

Funzioni

Definizione

Una funzione (o applicazione) tra due insiemi è una legge che associa a ciascun elemento di uno e un solo elemento di. L’insieme di partenza è il “dominio” della funzione; l’insieme di arrivo il “codominio”.

Se la funzione manda l’elemento nell’elemento scriveremo: ∈ ∈, = () e diremo che è immagine di tramite. L’insieme degli elementi di che sono immagine tramite di. elementi di è l’immagine di e viene indicata con oppure con , ().

Viene definita immagine inversa, per qualunque funzione () = : →. Osservazione: Ad ogni elemento del dominio viene associato uno e un solo elemento del codominio.

Definizione di uguaglianza delle funzioni

Due funzioni e sono uguali e scriveremo se e solo se per ogni: → : → =, () = () ∈.

Definizione di restrizione

Sia una funzione da a Se è un sottoinsieme di la funzione chiaramente ci determina: →. , una legge che ad ogni elemento di associa un elemento di (è la stessa legge di prima) e quindi una funzione da a. Questa funzione si chiama “restrizione” di ad, e si indica con. |.

Definizione di surgettività

Se la funzione è tale che ogni elemento del codominio arriva da uno del dominio, cioè: → = , diremo che è “surgettiva” (o suriettiva).

Funzione non surgettiva
Funzione surgettiva

Definizione di iniettività

Se la funzione associa elementi diversi del codominio a elementi diversi del dominio, cioè se: → ≠ implica diremo che la funzione è “iniettiva”.

Funzione non iniettiva
Funzione iniettiva

Definizione di bigettività

Una funzione sia iniettiva che surgettiva verrà detta “bigettiva” (o biettiva, o biunivoca). Una: → funzione bigettiva associa a ciascun elemento del codominio uno e un solo elemento del dominio; se ∈, esiste un unico tale che. Questo ci permette di definire una funzione da ad ovvero la ∈ () =, “funzione inversa” ponendo. A volte, invece di funzione bigettiva, diremo funzione () : →, = invertibile.

Funzione bigettiva
Funzione inversa

Osservazione: Non confondere i concetti di funzione inversa e di immagine inversa. La funzione inversa associa ad ogni elemento del codominio un elemento del dominio, ed esiste soltanto quando la funzione è bigettiva. L’immagine inversa associa a un sottoinsieme del codominio un sottoinsieme del dominio ed esiste sempre.

Composizione delle funzioni

Supponiamo di avere due funzioni e dove il codominio di coincide con il dominio di: → : →, . In tal caso possiamo definire una nuova funzione, la composizione delle funzioni e tramite la: →, formula: (∀ ∈ )() = ().

Vettori

Definizione di vettore applicato

Un “vettore applicato” in è un segmento orientato con primo estremo il punto e secondo estremo ∈ un altro punto. Questo vettore sarà disegnato come una freccia che parte da e giunge ad e ∈ ⃗ indicato con.

Indicheremo con l’insieme dei vettori applicati a.

Definizione di somma di vettori

Presi due vettori applicati e , la loro somma è il vettore applicato.

⃗ + ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = +

Definizione di prodotto di un vettore per uno scalare

Se e , allora il prodotto di per è il vettore, dove è il punto sulla retta ∈ ∈ = passante per e tale che il rapporto tra la lunghezza del segmento e quello del segmento sia esattamente ||. ACA ⃗ ⃗ = O >0 <0O C.

Proposizione sulle proprietà dei vettori

Siano e due numeri reali, e due vettori applicati. Allora:

• 1) ⃗ + ⃗ = +
• 2) ( + ) = +
• 3) () =
• 4) e ⃗1 ∙ = 0 ∙ = ∞

Proposizione sull'uso di vettori non proporzionali

Siano e due vettori non proporzionali di. Allora per ogni vettore esistono due ⃗ = ⃗ = ∈ ⃗ numeri reali tali che, ∈ = + .

Una volta scelti due vettori non proporzionali e di (o come diremo, una volta fissata una base ⃗ ⃗ = di), a ogni vettore di possiamo associare in modo unico una coppia di numeri reali. Le sue {; } coordinate rispetto alla base sono: ⃗ =.

Osservazione: Le coordinate di un vettore dipendono dalle base scelta; cambiando la base le coordinate cambiano.

Proposizione sulla base di uno spazio vettoriale

Sia una base di. Allora l’applicazione è bigettiva. {⃗; ⃗} = : →.

Osservazione: trasforma le operazioni di nelle operazioni di e viceversa. Siccome è anche bigettiva, da un certo punto di vista questo vuol dire che e hanno la stessa struttura algebrica; diremo che sono “isomorfi” e che è un “isomorfismo”.

Definizione di riferimento affine del piano

L’insieme formato da un punto e da due vettori non proporzionali si chiama (sistema di) ∈ ⃗, ⃗ ∈ riferimento affine del piano. Le coordinate di un punto rispetto a un sistema di riferimento ⃗)(, ⃗, ∈ ⃗ affine sono semplicemente le coordinate di rispetto alla base ⃗) {,(, ⃗, = }.

Nello spazio invece due vettori non bastano; i vettori della forma sono tutti e soli quelli del piano + contenente e, piano che chiameremo “piano generato” o “Span” dei vettori e In simboli:,, . ⃗) {(⃗, = ⃗ + ⃗ ∈ | , ∈ } ⃗ ⃗ Prendendo invece un terzo vettore che non appartenga al piano generato da e, qualunque = ⃗ ⃗⃗⃗ vettore di si scrive in modo unico come. = ⃗ + ⃗ + ⃗ Dunque stavolta una base di è composta da tre vettori non complanari; le coordinate relative ⃗, ⃗. ⃗ ad una base sono una terna e un sistema di riferimento affine verrà indicato con. Possiamo quindi, ⃗, ⃗, introdurre lo spazio e costruire un isomorfismo. : →.

Eliminazione di Gauss

Definizione di sistema lineare

La forma generale di un sistema lineare di equazioni in incognite è: + ⋯+ = ⋮ + ⋯+ = Il numero delle incognite è anche detto ordine del sistema. I numeri sono i coefficienti del , …, sistema e solitamente sono raccolti in una tabella di numeri, la matrice dei coefficienti:

⋯ ⋮ ⋱ ⋮= ⋯

I numeri sono i termini noti del sistema e usualmente sono raccolti in una colonna, il vettore dei , …, termini noti. Analogamente anche il vettore delle incognite sarà:

⋮= =

La matrice completa del sistema sarà: ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮= ⋯

Definizione di soluzione di un sistema

Una soluzione del sistema è una n-upla di numeri che sostituiti ordinatamente alle incognite (, …, ) soddisfano tutte le equazioni del sistema. Diremo che il sistema è compatibile se ammette almeno una soluzione.

Definizione di matrice

In generale, una matrice con righe ed colonne è una tabella rettangolare di numeri con righe e colonne. L’insieme delle matrici con righe ed colonne (o, come talvolta diremo, delle matrici a × ) coefficienti reali sarà indicato con ().

Definizione di riga e colonna di una matrice

Sia una matrice Indicheremo con la sua riga i-esima (per e con la() ∈ ×. = 1, …, ), sua j-esima colonna (per = 1, …, )

7 | ⋯ | = = ⋮

Matrice quadrata

Una matrice quadrata è una matrice con tante righe quante colonne. Una matrice quadrata sarà detta di × ordine. La diagonale principale di una matrice quadrata è la diagonale che va dall’angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra; è composta dagli elementi, in cui l’indice di riga è uguale all’indice di colonna.

Una matrice quadrata è detta diagonale se tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli; è detta triangolare superiore se gli elementi al di sotto della diagonale principale sono tutti nulli; è detta triangolare inferiore se invece sono nulli gli elementi sopra la diagonale principale. In tutti e tre i casi gli elementi della diagonale possono essere sia nulli che non nulli.

• Matrice triangolare superiore
• Matrice triangolare inferiore
• Matrice diagonale

Proposizione su sistemi lineari triangolari superiori

Un sistema lineare triangolare superiore di equazioni in incognite ammette una e una sola = soluzione se e solo se tutti gli elementi della diagonale principale della matrice dei coefficienti sono diversi da 0.

Esempio

3 − + 2 = 3 3 −1 2 3 = =0 −1 2− + 2 = 0 00 0 4 −44 = −43 − − 2 = 3 =1→ 3 = 3 → = 1 una soluzione = −2− − 2 = 0 → = −2 = −1 = −1

Definizione di sistemi lineari equivalenti

Due sistemi lineari (anche non quadrati) dello stesso ordine si dicono equivalenti se hanno esattamente le stesse soluzioni.

Esempio

+ 3 + − = 1 1 1 13 −13 + 9 + 4 + = 1 3 9 4 1 1= =2 + + 5 + 2 = 0 2 5 01 21 −1 −1 2−− =2 0 81 1 1 3 1 −1 11 1 3 13 −1 −1 1 ↔3 0 0 −5 3 4 −29 4 1 1 0 1 4 −2= ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯2 0 0 0 1 4 −25 0 −5 31 2 4 −21 −1 −1 2 1 −1 −1 20 0 0 1 −1 −1 21 −1 1 −1 1⎡1 3 ⎡1 3 1⎤ ⎤−23 4 4 −20 −5 0 −5 3⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯1 4 −2 4 −20 0 0 0 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥8 7 4−2 −10 0 0 0 0⎣ ⎦ ⎣ ⎦5 55 5 5 = 11 + 3 + − = 1 ⎧⎧ = −⎪⎪ −5 + 3 + 4 = −2 + 4 = −2 = −⎨ ⎨⎪ = ⎪⎩ =⎩

Teorema sulle soluzioni uniche di sistemi lineari

Un sistema lineare quadrato ammette un’unica soluzione se e solo se i pivot della sua matrice dei coefficienti sono tutti non nulli.

Definizione di matrice non singolare

Una matrice quadrata è detta non singolare se tutti i suoi pivot sono non nulli; è detta singolare altrimenti.

Osservazione: Una conseguenza del metodo dell’eliminazione di Gauss è che ogni sistema quadrato è equivalente a un sistema triangolare superiore.

Spazi e sottospazi vettoriali

Le soluzioni di un sistema lineare con incognite sono liste di numeri reali che, sostituiti nell’ordine alle incognite, soddisfano tutte le equazioni del sistema. L’insieme delle liste di numeri reali verrà indicato con. In simboli: ⋮ = = | ,…, ∈ Tra le varie operazioni che si possono definire su due ci interessano in modo particolare: la somma e il prodotto per un numero reale.

Definizione di somma di vettori

La somma di due vettori di è semplicemente la somma componente per componente:

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮∀ = ∈ ∀ = ∈ + = + = +

Definizione di prodotto per uno scalare

Anche il prodotto per un numero reale (o, come diremo, prodotto per uno scalare) è definito componente per componente:

⋮ ⋮ ⋮∀ ∈ ∀ = ∈ = = 0

con la somma è un gruppo commutativo, il cui elemento neutro è il vettore nullo e dove l’opposto 0 = 00 − di un vettore è dato da .

⋮ ⋮− = −

Il prodotto per scalari invece soddisfa le seguenti proprietà:

• ∀ ∈ ∀, ∈ ( + ) = +
• (∀, ∈ ∀ ∈ + ) = + ()
• ∀, ∈ ∀ ∈ () = ()
• ∀ ∈ 1∙ = 0∙ = 0

Definizione di spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale (o spazio lineare) è un insieme su cui sono definite due operazioni: una somma (che a due elementi di associa un elemento di e un prodotto per scalari (che a un elemento di e un ) elemento di associa un elemento di soddisfacenti le proprietà seguenti: )

• ( + ) + = + ( + )
• ∀, , ∈ ∃0 ∈ ∶ ∀ ∈ +0 = 0+ =
• (−) (−)∀ ∈ ∃ − ∈ + = + = 0
• ∀, ∈ + = +( + ) = +
• ∀ ∈ ∀, ∈ (∀, ∈ ∀ ∈ + ) = +
• ∀, ∈ ∀ ∈ () = ()
• ∀ ∈ 1∙ = 0∙ = 0

Gli elementi di uno spazio vettoriale son detti vettori, l’elemento neutro per la somma 0 si chiama vettore nullo.

Definizione di sottospazio vettoriale

Un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale è un sottoinsieme chiuso rispetto alla somma e al ⊆ prodotto per scalari, ovvero tale che:

• ∀, , ∈ ∀ ∈ + ∈ ∈

Osservazione: Il vettore nullo 0 è contenuto in qualunque sottospazio vettoriale infatti, se è un qualunque elemento di, allora. Analogamente, se allora, per cui contiene anche(−1) 0 = 0 ∙ ∈ ∈ − = ∈ l’opposto. In particolare, se è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale che non contiene il vettore nullo, non può essere un sottospazio vettoriale.

Osservazione: Un sottospazio vettoriale, considerato con la somma e il prodotto per scalari, è uno spazio vettoriale a tutti gli effetti.