Appunti di Fondamenti di meccanica, prof. Mundo

RICHIMI DI CALCOLO VETTORIALE

Un vettore è una grandezza che è caratterizzata da tre informazioni:

• Modulo
• Direzione
• Verso

I vettori che studieremo durante il corso sono tutti vettori applicati, cioè vettori in cui non è sufficiente conoscere modulo, direzione e verso, ma bisogna conoscerne anche il punto di applicazione.

SOMMA DI VETTORI

Il vettore risultante R è quel vettore che rappresenta la somma vettoriale degli n vettori.

R̅ = V̅₁ + V̅₂ + ... + V̅_m

La somma di due o più vettori dal punto di vista analitico è la somma delle componenti x, y ed eventualmente z dei vettori stessi.

Se andiamo a risolvere il problema graficamente, ci sono due approcci differenti:

• Se ho due vettori genericamente applicati in due punti diversi, posso sommarli traslandoli facendo coincidere i due punti di applicazione ed applicando la regola del parallelogramma.

• Se ho più di due vettori, o applico la regola del parallelogramma sommando i vettori a due a due, oppure prendo gli n vettori e li metto in successione. La risultante sarà la congiungente il punto di applicazione del primo vettore e la fine dell'ultimo vettore.

MOMENTO PRODOTTO DA UN VETTORE RISPETTO AD UN PUNTO

Il momento di _V₁ rispetto al punto _O₂ è a sua volta un vettore _M₀₂ dato dal prodotto vettoriale tra il vettore posizione del punto _P₂ rispetto ad _O₂ ed il vettore _V₁

_M₀₂ = _O₂P₂ x _V₁

Il suo modulo è dato dal modulo di _O₂P₂ moltiplicato il modulo di _V₁ per il seno dell’angolo fra di essi compreso

Nel piano il momento sarà un vettore perpendicolare sia a _V₁ che a _O₂P₂ entrante o uscente dal piano secondo la regola della mano destra.

Il modulo del momento di una forza rispetto ad un polo nel piano è semplicemente pari alla forza per il braccio.

_M₀₂ = _V₁ · _O₂P₂ · sen α = _V₁ · braccio

MOMENTO RISULTANTE "m" VETTORI

Il momento risultante di "m" vettori attorno ad un unico polo "O" è uguale alla somma degli "m" momenti calcolati in precedenza.

_MR = _M̅₀ + _M̅₂₀ + ... + _M̅ₘ₀

La velocità nel piano complesso è la derivata di OP(t) in rapp. polare

V(t) = d/dt [OP(t) e^iθ(t)] = Ṡ (t) e^iθ(t) + iΘ(t) OP(t) e^iθ(t) = OP (t) Θ(t) i e^iθ(t)

Quindi V(t) è dato dalla somma di due vettori, il primo con modulo Ṡ e direzione // OP il secondo con modulo OP Θ e direzione ⊥ ad OP. Se sostituiamo Qui

ṡ = [-1 0 0 0]

Phase = 0

Notiamo che si ottiene un vettore ruotato rispetto ad OP di 90°.

Passiamo ora a determinare l'accelerazione derivando V(t) rispetto al tempo.

ά(t) = V_τ e^iα + (V² e^iα) a_N

L'accelerazione quindi ha una componente // OP (a_N) ed una ⊥ OP (a_τ) L'accelerazione normale può essere determinata anche così:

a_N = V²/β

V = velocità

β = raggio di curvatura della traiettoria ovvero il raggio del cerchio osculatore

Definizione di cerchio osculatore

dα

02/10/17

Atto di moto rigido

La cinematica punta a descrivere, attraverso un approccio grafico oppure attraverso un approccio analitico l'atto di moto rigido, inteso come la rappresentazione istantanea della configurazione di un sistema in un determinato istante di tempo, cioè il tipo di moto che il corpo rigido può assumere in un istante di tempo.

L'atto di moto rigido può essere di due tipi:

• traslatorio: nell'istante di tempo considerato tutti i punti del corpo hanno la stessa velocità in modulo direzione e verso.
• rotatorio: esiste almeno un punto, appartenente al piano in cui si muove il corpo rigido, che sta fermo (V=0); questo punto prende il nome di CIR (centro di istantanea rotazione).

Il CIR è centro di rotazione in quanto sta fermo nell'istante t_i istantanea perché nell'istante successivo e precedente ha una posizione diversa.

Come facciamo a determinare se l'atto di moto rigido è traslatorio o rotatorio?

Partendo dalle due condizioni per cui un corpo si può definire rigido, si introducono due teoremi che prendono il nome di Teoremi di Rivals.

Essi sono delle relazioni che ci permettono di passare dalla cinematica del singolo punto materiale alla cinematica del corpo rigido.

Teoremi di Rivals

Consideriamo un corpo rigido nel piano di cui dobbiamo studiare la cinematica e supponiamo di conoscere posizione, velocità ed accelerazione del punto "A".

Per trovare posizione, velocità ed accelerazione di un altro punto "B" appartenente al corpo rigido ci servono i teoremi di Rivals.

Coppia Elementare

• Coppia elicoidale
• Cerniera piana
• Cerniera sferica
• Piano piano

I corpi sono a contatto fra di loro lungo superfici combacianti e rigide.

Coppia Cinematica Superiore

• Coppia di puro rotolamento

I corpi sono a contatto fra di loro lungo superfici non combacianti e/o non rigide. (es: non combacianti → puro rotolamento, non rigide → trasmissione a cinghia)

I vincoli trattati in questo corso sono vincoli ideali.

Classificazione dei Vincoli

Vincoli Unilaterali

Impediscono una certa possibilità di movimento in un verso, non nel verso opposto.

Vincoli Bilaterali

Impediscono una certa possibilità di movimento in entrambi i versi.

Vincoli Fissi (Scleronomi)

La reazione che il vincolo esercita sulla struttura non cambia nel tempo.

Vincoli Mobili (Reonomi)

La reazione che il vincolo esercita sulla struttura cambia nel tempo.

Vincoli Olonomi

La reazione che il vincolo esercita sulla struttura è indipendente dalla velocità.

Vincoli Anolonomi

La reazione che il vincolo esercita sulla struttura dipende dalla velocità.

In questo corso tutti i vincoli che studieremo saranno di tipo:

• Bilaterali
• Fissi
• Olonomi

Per averlo l = 0 se carico la struttura sul corpo rigido "4", essa si muove, quindi la struttura è apparentemente isostatica.

Analizziamo separatamente alcune sottostrutture di questa struttura in particolare analizzando la struttura telaio-1-2 vincolati tra di loro.

Questa sottostruttura possiamo assimilarla all'arco a 3 cerniere che, per dimostrazione precedente, è isostatico quindi possiamo assimilare al telaio i corpi A e B con cerniera doppia.

l = 3 x 4 - 2 x 6 = 0

Consideriamo ora la sottostruttura formata dal corpo rigido "3" che è collegato al telaio attraverso 2 cerniere. Per questa sottostruttura:

l = 3 x 1 - 2 x 2 = -1

Questa sottostruttura è un'iprestatica interna alla struttura di partenza. Nel momento in cui utilizzo più C e V del necessario per il corpo rigido 3 (l = -1) mi ritrovo con un l tot = 0 anche se la restante struttura è labile (l = 1). Localmente quindi la struttura è iperstatica a sinistra e labile a destra quindi è apparentemente isostatica per la presenza di iperstatiches interne.

In definitiva, anche il corpo rigido 3 si può assimilare cinematicamente al telaio, quindi la struttura diventa la seguente:

l = 3 x 3 - 2 x 4 = 1

Questa struttura verrà indicata come quadrilatero articolato.