Fondamenti di Meccanica Strutturale - Appunti

Appunti di FONDAMENTI DI MECCANICA STRUTTURALE

STATO DI DEFORMAZIONE

• Dilatazione 62
• Distorisone 63
• Tensore delle deformazioni 65
• Legge di Hooke 66
• Materiale isotropo 67
• Stato di DEFORMAZIONE piana 68
• Dilatazione termica 69
• Lavoro interno di deformazione 70
• Problema elastico 3D 71
• Solidi di De Saint Venant 73
• Riepilogo 75

CRITERI DI CEDIMENTO STATICO

• Modulo mono-assiale / pluri-assiale 78
• Stato di tensione mono-assiale / pluri-assiale 80
• Criteri di cedimento statico 81
• Criterio di Rankine 82
• Criterio di Tresca 84
• Criterio di Von Mises 85
• Confronto Tresca / Von Mises 87
• Criterio di Mohr 91
• Criteri di cedimento statico per le travi 92
• Travi fragili - Rankine 94
• Travi duttili - Tresca 95
• Travi duttili - Von Mises 96
• Coefficiente di sicurezza 97
• Esempio di calcolo per dimensionamento trave 98
• Riepilogo 99

TEOREMI ENERGETICI - STRUTTURE IPERSTATICHE

• Teorema di Clapeyron 107
• Teorema di Betti 108
• Teorema di Castigliano 109
• Soluzioni di strutture iperstatiche 110
• Riepilogo 111

INSTABILITA' ELASTICA

• Asta compressa 116
• Criterio Euleriano di stabilità 119
• Snellezza - Tensione critica 120
• Riepilogo 121

FATICA

• Introduzione 124
• Safe Load / Target Life 126
• Fatica ad alto numero di cicli 127
• Parametri influenzanti la fatica 130
• Prove di fatica - Flessione rotante 131
• Diagramma di Wöhler 132

con E il "modulo di elasticità" o "modulo di Young".

"E" è costante e varia a seconda del materiale di cui è composta la trave (e.g. acciaio: 210.000 MPa).

È importante osservare che, dato che la massa e il volume totale del campione si conservano, ci sarà oltre ad una deformazione assiale E_xx, anche una deformazione trasversale E_yy legata alla prima tramite il coefficiente di Poisson:

E_yy = ν E_xx

ν è determinato sperimentalmente (per i metalli vale 0,25 < ν < 0,35 e.g. acciaio: 0,33)

Lavoro

Il lavoro compiuto dalle deformazioni, o area delle probabilità delle tensioni (N) sarà:

L = ¹/₂ E_xx² E = ¹/₂ σ_xx²/E = ¹/₂ E_xx σ_xx

Risulta quindi che la tensione è linearmente dipendente dalla y; distante dal punto dall'asse.

Per una trave a sezione qualsiasi avremo:

N.b. l'asse baricentrico è a tensione nulla, dato che non intervengono altre sollecitazioni.

Notiamo che, appunto, per y > 0 la tensione σ è positiva, quindi di trazione. Invece le σ saranno di compressione per y < 0.

Sspecificazione la Tensione massima sarà:

σ_max = ^M_z/_Iz · q_max

In particolare possiamo definire "modulo di resistenza a flessione".

W_f = J_z / q_max

Per un corpo continuo estendiamo i:

M_t = ∫_A τ r dA

Riassumendo le relazioni trovate finora otteniamo:

γ₁ = ^b_oB/_l

γ₁ = r₁ ^ϑ/_l

τ₁ = ϑ ^Gr₁/_l →

τ = Gr ^ϑ/_l

Sostituendo in (*) otteniamo:

M_t = G ^ϑ/_l ∫ r² dA = G J_p ^ϑ/_l

J_p : momento d'inerzia polare

Da qui ricaviamo due parametri importanti:

Angolo di torsione:

ϑ = ^{M_t l}/_{G Jp}

Angolo di torsione unitario:

ϑ_u = ^ϑ/_l = ^M_t/_{G Jp}

Torsione in travi con sezione anulare di piccolo spessore con spessore costante a tratti

L’angolo unitario di torsione θ_u si ottiene dalla formula precedente con il momento di inerzia polare cosí modificato:

θ_u = _Mt/^GJ_p = _Mt/^4GΩ2∫¹₀ ¹/_S dI

Se lo spessore S è costante a tratti: θ_u = _Mt/^{4GΩ2 n}∑_i=1 ^l_i/_Si

Le tensioni tangenziali, dove lo spessore è costante a tratti, sono rispettivamente espresse in funzione dello spessore S: τ = _Mt/^2ΩS

Torsione in travi con sezione anulare di piccolo spessore con spessore costante a tratti: esempio

L’area interna vale: Ω = (l₁ - ^{S₂ - S₄}/₂)(l₂ - ^{S₁ - S₃}/₂)

Le tensioni tangenziali nei tratti 1, 2, 3, 4 ove lo spessore è costante a tratti, sono rispettivamente:

τ₁ = _Mt/^2ΩS₁

τ₂ = _Mt/^2ΩS₂

τ₃ = _Mt/^2ΩS₃

τ₄ = _Mt/^2ΩS₄

L’angolo di torsione unitario, θ_u è:

θ_u = _Mt/^{4GΩ2 n}∑_i=1 ^l_i/_Si

θ_u = _Mt/^4GΩ2 (^l₁/_S1 + ^l₂/_S2 + ^l₃/_S3 + ^l₄/_S4)