Appunti Fondamenti di meccanica

! PROPRIETÀ’ DEI GRUPPI DI ASSUR

! Dato un meccanismo base, se si aggiungono

1. k grupp i di Assur, i g.d.l. dell’intero meccaniscmo rimangono inva ria

! Dato un meccanismo scomponibile in gruppi di Assur,

2. ognuno di essi può essere risolto in maniera indipendente

3. n° maglie indipenden = n° diadi

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! RIPASSO TRIGONOMETRIA

! Mee in relazione le lunghezze dei la di un triangolo con uno dei

Teorema di Carnot o del coseno:

o suoi angoli

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! Esprime una relazione di proporzionalità tra le lunghezze dei la di un

Teorema di Eulero o del seno:

o

! triangolo e i seni dei rispevi angoli oppos

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! RISOLUZIONE DIADI

! DIADI I SPECIE

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Passo 1: lunghezza e orientazione di AC, angolo e veore che chiude il triangolo (diade) z e

3 3

! Passo 2 : angolo tra AB e BC

! Passo 3 : angolo tra AB e AC

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! DIADI II SPECIE

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Passo 1: lunghezza e orientazione di AC, angolo e veore che chiude il triangolo (diade) z e

3 3

! Passo 2: angolo tra AB e AC

! Passo 3: lunghezza AB

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! DIADI III SPECIE

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! METODO 1

o

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Passo 1: lunghezza e orientazione di AD, angolo e veore che chiude il poligono z e

! 3 3

Passo 2: angolo ausiliario

! Passo 3: lunghezza CD

! Paso 4: orientazione (angolo) AB

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! METODO 2

o

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Passo 1: lunghezza e orientazione di AD, angolo e veore che chiude il triangolo (diade) z e

! 3 3

Passo 2: orientazione AB e lunghezza CD

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! DIADI IV SPECIE

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Passo 1: lunghezza e orientazione di AD, angolo e veore che chiude il triangolo (diade) z e

3 3

! Passo 2: lunghezza BC e lunghezza CD

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! DIADI V SPECIE

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Passo 1: lunghezza AD e lunghezza CD, angolo e veore che chiude il triangolo (diade) z e

! 3 ͵

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! Analisi cinemaca di velocit`a per meccanismi piani in catena chiusa

! Lʼ analisi di velocit`a dei meccanismi consiste nel determinare la

ʼ velocit`a di qualsiasi punto del meccanismo una volta assegnate:

! 1. la ovvero il risultato dell analisi di posizione (i valori di tue le lunghezze zi e di tu gli angoli

ʼ

posizione del meccanismo,

! dei veori che rappresentano cinemacamente il meccanismo) per una data configurazione del meccanismo stesso;

θi

! 2. i il veore q   = q  q  ... q  T, nella medesima configurazione.

valori delle velocit`a delle coordinate libere, ovvero

!

!

! Le equazioni di chiusura di velocità si oengono Il significato delle

derivando le equazioni di chiusura di posizione rispeo al tempo.

equazioni di velocità è il seguente: percorrendo una maglia del meccanismo la somma delle differenze di velocit`a tra gli estremi dei

! la del poligono è nulla.

!

!

! Se il meccanismo ha piu` maglie, si scrive un’equazione veoriale per ciascuna maglia indipendente. Ogni velocita` z  i pu`o essere

! espressa come segue:

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! W = membro che si ALLUNGA ma non

i

! cambia direzione

W x z = membro che cambia ORIENTAZIO NE

! i i

ma non si allunga

!

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! Oengo quindi dopo la sostuzione

!

!

! Definito un sistema di riferimento `e possibile proieare l’equazione veoriale sui due assi x ed y. La veloci tà relava risulta

!

! il prodoo veoriale

!

!

!

! le equazioni di chiusura di velocit`a in forma scalare : allo stesso risultato si arriva derivando risp al tempo

!

!

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! Generalizzando, si consideri un meccanismo con m maglie indipenden e n gradi di libert`a, siano:

! • q  Rn il veore che conene le n coordinate libere;

∈

! • x  R il veore che conene le 2m coordinate condoe;

∈ 2m

! • f (q , x ), j = 1, . . . , 2m le equazioni scalari di chiusura di posizione delle m

j

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! Il problema può essere così riformulato

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! • R `e la matrice Jacobiana

[J] , ossia la matrice delle derivate parziali

∈ 2m×2m

! delle equazioni di chiusura di posizione rispeo alle incognite (le coordinate

! condoe). La matrice Jacobiana `e sempre una matrice quadrata.

! • {x } veore delle velocit`a incognite.

R `e il

∈ 2m

! • [A] R derivate parziali delle equazioni di chiusura

`e la matrice delle di

∈ 2m×n

! posizione rispeo alle coordinate libere. La matrice [A] `e in generale una

matrice reangolare, nel caso di meccanismi ad un solo grado di libert`a, [A] `e

! un veore colonna ({A} R ).

∈ 2m

! • {q } Rn `e il veore delle velocit`a delle coordinate libere.

∈

! il sistema risultante dall’analisi di velocit`a `e sempre un

! sistema lineare indipendentemente da quali siano le incognite

! matrice Jacobiana non `e singolare (ed `e quindi inverbile), la soluzione del problema di analisi di velocit`a `e unica,

Inoltre, se la

ed `e data da

!

!

! Rappor di velocità

Possiamo, dalla formula precedente definire la matrice [K] come segue:

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!

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! [K] R `e la matrice dei rappor di velocit`a (o matrice dei coefficien di sensibilit`a). Gli della matrice sono de

∈ 2m×n elemen

coefficien di sensibilit`a), essi legano tra di loro sia velocit`a che spostamen infinitesimi. La matrice dei

! rappor di velocit`a (o

rappor di velocit`a pu`o essere vista anche come una (∂

matrice di derivate parziali delle incognite rispeo alle coordinate libere

! xj/∂qi). Esplicitando la j-esima componente del veore delle velocit`a incognite {x } risulta evidente che le velocit`a dei membri

! condo sono una combinazione lineare delle velocit`a delle coordinate libere. I coefficien di tali combinazioni lineari sono i

! rappor di velocit`a. Si no che la matrice dei rappor di velocit`a `e funzione esclusivamente della posizione del meccanismo e non

! della velocit`a ([K] = [K(q1, . . . , qn)]). Essendo dipenden dalla posizione e quindi dalla configurazione del meccanismo al variare di

quest’ulma i rappor di velocit`a variano, questo consente di oenere dei membri condo a parre da mo

! mo non uniformi

uniformi dei membri motore.

! Ciascuno rapporto di velocit`a K rappresenta il valore della j-esima velocit`a incognita quando sia unitaria la velocit`a della i-esima

ji

! coordinata libera e nulla quella di tue le altre coordinate libere.

Per meccanismi ad un solo grado di libert`a la matrice dei rappor di velocit`a si riduce ad un veore colonna e la velocit`a dei

! membri condo risulta proporzionale alla velocit`a del membro motore:

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! SINGOLARITÀ CINEMATICHE

! La possibilit`a di determinare le velocit`a incognite dell’analisi di velocit`a, nonch e i rappor di velocit`a di un mec- canismo `e

! legata alla condizione di inverbilit`a della matrice jacobiana [J]. E` quindi necessario che tale matrice non sia singolare, ovvero

! abbia rango pieno (nessuna sua riga o colonna deve essere combinazione lineare delle altre righe o colonne rispevamente).

ܬ

Configurazioni singolari: sono le configurazioni per le quali si ha det = 0. Esse vengono dee anche singolarità

! cinemache. Da un punto di vista fisico le singolarità cinemache sono configurazioni che comportano cricità nel movimento del

! meccanismo. una configurazione è singolare in relazione alla scelta delle coordinate libere e non in assoluto.

! Una se e solo se il suo determinante `e nullo: per trovare le configurazioni per le quali la matrice [J]

! matrice quadrata `e singolare

diventa singolare basta quindi imporre l’annullamento del determinante:

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! Le configurazioni per cui è verificata prendono il nome di configurazioni singolari o singolarit`a cinemache

. Cio`e scambiando tra di loro parte degli elemen di {x} con altrean elemen di {q} `e possibile oenere un nuovo Jacobiano che

! pu`o risultare non singolare per la stessa configurazione del meccanismo.

! Quando il meccanismo si trova in una configurazione singolare:

! • Non `e possibile calcolare univocamente la soluzione di velocit`a e accelerazione dei membri, in quanto queste richiederebbero

l’inversione dello jacobiano (che non `e inverbile perch`e `e singolare).

! • Il meccanismo perde alcuni gradi di libert`a sulle coordinate libere (ossia alcune delle grandezze scelte come coordinate libere non

! sono piu` propriamente tali). I gradi di libert`a persi sulle coordinate vengono travasa alle incognite, pertanto il numero

complessivo di gradi di libert`a del meccanismo non varia.

! • Portando il meccanismo in una configurazione singolare rispeo al membro sul quale agiscono forze/coppie resisten, `e possibile

! mantenere il meccanismo in posizione applicando forze/coppie motrici minime (ideal- mente nulle).

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! Analisi significato geometrico: (!!!)

! Esempio 1: quadrilatero arcolato

! Derivate rispeo al temp