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FISICA MATEMATICA
1. Operatori matriciali sui vettori
Si indica con V uno spazio affine euclideo n-dimensionale reale, con V lo spazio vettoriale ad esso associato e con fi i una generica base ortonormale di V.
- Prodotto scalare ℝn: vettore × vettore = scalare
siano:
- a = (a1, ..., an)
- b = (b1, ..., bn)
a · b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn = aibi = k
- Prodotto vettoriale ℝ3: vettore × vettore = vettore
c = a × b = det(î ĵ k̂)
= det(a1 a2 a3)(b1 b2 b3)
= a1b2î3 - b1a2î3 + b1a3î2 - a1b3î2 + a2b3î1 - b2a3î1
c = (c1 = a2b3 - b2a3)
c = (c2 = b1a3 - a1b3)
c = (c3 = a1b2 - b1a2)
rispetto alla base {î1, î2, î3}
Simbolo di Levi-Civita εijk
dove i è un indice libero
ci = εijk ai bi k̂m
dove εijk è il simbolo di Levi-Civita, così definito:
εijk = 0 se almeno 2 indici uguali
εijk = 1 se gli indici sono una permutazione pari
εijk = -1 se gli indici sono una permutazione dispari
permutazione pari:
- (1 2 3)
- (2 3 1)
- (3 1 2)
permutazione dispari:
- (3 2 1)
- (2 1 3)
- (1 3 2)
Simbolo di Kronecker δijn
δij = {
- 0 se i ≠ j
- 1 se i = j
Nota: con la convenzione di Einstein si può scrivere δkk = n k = 1 ... n
Prodotti scalari speciali ℝn
a · a = ai2 = || a ||2 dove || a || = √ai2
a · b = 0 => a ⊥ b (cos 90° = 0)
Base ortonormale
Si hanno 3 condizioni:
- e1 · e1 = 1
- e1 · e2 = 0
- e1 · e3 = 0
- e2 · e2 = 1
- e2 · e3 = 0
- e3 · e3 = 1
Si può scrivere:
ijei · ej =
Incremento modulo di un vettore
w = λ v
|w| = |λ| |v|
con v = V1 e1 + V2 e2 + V3 e3
Operatori matriciali ℝn
Si definisce operatore matriciale un operatore lineare A che trasforma (sposta, ruota e allunga) un generico vettore y ∈ V in w ∈ V.
w = A v
(w1, w2, w3) componenti rispetto la stessa base ortonormale {ei}
= [A11 A12 A13] & emsp; [V1]
[A21 A22 A23] & emsp; [V2]
[A31 A32 A33] &emsp
primo teorema di Laplace
La somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna di una matrice per i rispettivi complementi algebrici è pari al determinante della matrice.
secondo teorema di Laplace
La somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna di una matrice per i complementi algebrici di un’altra riga o colonna della matrice è pari a zero.
I due teoremi si applicano pertanto:
∑iAikACij = ∑jAijACik
ovvero, in termini di operatori: ACTA = det A I
Teorema 4.10.1
Un operatore A è invertibile se e solo se det A ≠ 0. In tal caso:
A-1 = ACT / det A oppure ACij = ACji / det A
dimostrazione
Se esiste l’operatore inverso B si ha:
AB = BA = I
er il teorema di Binet: det (BA) = det B det A = 1 ⇒ det A ≠ 0
e invece det A ≠ 0 si ha:
A ( ACT / det A ) = ( ACT / det A ) A = I ⇒ A è invertibile, esiste l’operatore inverso
Nota: se det A ≠ 0 allora A è iniettiva e suriettiva
Nota: quando n = 1 : AC = AT e det A = ±1
11. Identità notevoli operatori matriciali
(AB)T = BTAT
dimostrazione
Si ricorda che ( AB ) v = w = ( AB )T wi confrontando le due espressioni si ottiene:
1 che ( AB ) v = A ( Bw ) = Bw = y = BTATw
(AB)T = BTAT
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