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20 INDICE

d~h

2

d~r d ~r

~ −~r

= h =

=

2

dθ dθ dθ

~h

~v = ρ̇~r + ρθ̇

velocità radiale (componente radiale di )

v = ρ̇ ~v

ρ velocità trasversa

v = ρθ̇

θ d~h

d~v d~r ~h ~h ~h ~h 2

~a = = ρ̈~r + ρ̇ + ρ̇

θ̇ + ρθ̈ + ρθ̇ = ρ̈~r + 2 ρ̇

θ̇ + ρθ̈ ρθ̇ ~r

dt dt dt

d~h d~h dθ

· −

= = θ̇~r

dt dθ dt

~h ~h(θ(t))

= ~h

2

~a = (ρ̈ ρθ̇ )~r + (2 ρ̇ θ̇ + ρθ̈)

accelerazione radiale

2

a = ρ̈ + ρθ̇

ρ accelerazione trasversale

a = 2

ρ̇ θ̇ + ρθ̈

θ 1 d 2

(ρ θ̇)

a = 2

ρ̇ θ̇ + ρθ̈ =

θ ρ dt

1 d 1

2 2

(ρ θ̇) = (2ρρ̇ θ̇ + ρ θ̈) = 2

ρ̇ θ̇ + ρθ̈ = a θ

ρ dt ρ

0.5.3 Velocità areolare o areale

∆t << 1 2

πr 1 2

f racAα = => A = r α

2π 2

area tra e , la approssimo con l'area del settore circolare di

∆S P (t∆t) P (t)

raggio ρ

settore circolare di ampiezza e raggio allora 1 2

∆S ∆θ ρ ρ ∆θ

2

∆S 1 ∆θ

2

≈ ρ

∆t 2 ∆t

∆S 1 ∆θ

2

lim = lim ρ

∆t 2 ∆t

∆→0 ∆→0

0.5 Moto circolare 21

dS(t) 1 ∆θ 1

2 2 θ̇

= ρ lim => Ṡ(t) = ρ

dt 2 ∆t 2

∆→0

∆θ dθ

=

lim ∆t dt

∆→0 −

∆S = S(t + ∆t) S(t)

dS(t) −O

= velocit areale (velocit con cui il raggio vettore P descrive o spazza le aree)

dt

Accelerazione trasversale:

1 d 2 d 1 2 d d

2 2

a = (ρ θ̇) = ( ρ θ̇) = ( Ṡ) = 0 <=> Ṡ = 0 <=> Ṡ(t) costante

θ ρ dt ρ dt 2 ρ dt dt

Ipotesi: costante c

1 2

ρ θ̇ = =

a = 0 =>

θ 2 2

conosciamo: allora c

2

ρ θ̇ = c θ̇ = 2

ρ

2

a = a = ρ̈ ρθ̇

ρ

Se conosciamo la traettoria: ,

ρ = ρ(θ) ρ = ρ(θ(t))

1

d

ρ c

dρ(θ) dρ ρ

−c

= θ̇ = =

2

dt dθ ρ dθ dθ

„ „

Ž Ž

1 1

2 d d dθ

d ρ ρ ρ

−c −c ·

= =

dt dt dθ dθ dθ dt

21

1

2

d d

2

c

ρ ρ

−cθ̇ −

ρ̈ = =

2 2 2

dθ ρ θ

„ Ž

21 1

2

d d

2 2 2

c c c 1

ρ ρ

− − −

a = ρ = +

ρ 2 2 4 2 2

ρ dθ ρ ρ dθ ρ

Formula di Binet vale sempre se l'accelerazione trasversa è nulla.

0.5.4 Da cartesiana a intrinseca

1 2

ρ θ̇

Ṡ = 2

22 INDICE

8

> y

θ = arctan

< x

>

: 2 2

ρ = x + y

8

>

x = ρ cos θ

<

>

:

y = ρ sin θ

velocità angolare

θ̇ = ẏx−

ẋy

allora ẏx−

ẋy

2 =

θ = arctan f racyx θ̇ = x 2 2 2

x +y

y

1+ 2

x − −

1 ẏx ẋy ẏx ẋy

2 2

Ṡ = (x + y ) => Ṡ =

2 2

2 x + y 2

Quindi la curvatura: È 2 2

− −

1 a S̈ ÿ ẋ ẍ ẏ

a n = =

= 3

ρ 2 2 2 2

Ṡ Ṡ (

ẋ + ẏ )

C 2

0.6 Corpo rigido

Sistema meccanico costituito da inniti punti materiali tali che la distanza

tra qualunque punti si mantiene costante nel tempo (durante il moto)

2

corpo rigido

C : allora costante.

∀P, ∈ |P −

Q C Q| =

Vogliamo conoscere il moto di ogni suo punto:

, ∈ ∀P ∈

P = P (t) t C

R,

E' suciente conoscere il moto di punti (la posizione in ogni istante) di

3

punti non allineati di , e la congurazione (la posizione di ogni punto

3 C

all'istante iniziale).

Conosciamo:

∀P ∈

P = P (t ) C

0 0

0.6 Corpo rigido 23

Inoltre conosciamo: 8

>

> R = R(t)

>

>

< ∈

S = S(t) t R

>

>

>

>

: T = T (t)

Allora ∀P, => P (t)

Ho parametri perché ho

9 x , y , z ; x , y , z , x , y , z

R R R S S S T T T

Uso il vincolo di rigidità: È 2 2 2

− − −

|R(t)−S(t)| |R −S | (x x ) + (y y ) + (z z )

= costante = = R S R S R S

0 0

|R(t) − T (t)| = costante

|S(t) − T (t)| = costante

relazioni fra le coordinate allora ci sono parametri indipendenti

3 9 6

Quindi è un sistema a gradi di libertà

6

ssi

~k)

(O,~i, ~j,

Si introduce un nuovo sistema di riferimento detto appunto solidale con il

corpo rigido.

Il corpo è fermo rispetto agli assi solidali ~k

,~i ~j

C (O , , )

1 1 1 1

Quindi mi basta conoscere: ~k

,~i ~j

O , ,

1 1 1 1

O = (a , b , c )

1 t t t

~i ~i

= (t) = (α (t), α (t), α (t))

1 1 1 2 3

~j ~j

= (t) = (β (t), β (t), β (t))

1 1 1 2 3

~k ~k

= (t) = (γ (t), γ (t), γ (t))

1 1 1 2 3

coordinate, base ortonormale

~k

~i ~j

12 ( , , )

1 1 1

Deriviamo ~k

~i ~j

P O = x + y + z

1 1 1 1 1 1 1 d~k

d~i d~j

d(P O )

1 1 1 1

~k

~i ~j

= ẋ + ẏ + ż + x + y + z

1 1 1 1 1 1 1 1 1

dt dt dt dt

24 INDICE

Ma perché sono ssi rispetto a .

ẋ = ẏ = ż = 0 O

1 1 1 1

Quindi: d~k

d~i d~j

d(P O )

1 1 1 1

= x + y + z

1 1 1

dt dt dt dt

˙

˙ ˙

Ma so che: e e

~i ~k ~k

~i ~i ~j ~j

d ⊥ ⊥ ⊥

=

1 1 1 1 1 1 1

dt

Allora se allora esiste tale che

~b ~b

⊥ ∧

~a ~c = ~c ~a

Inoltre: ~b

~a

~c = ~a

Allora esistono tali che:

ω

~ , ω

~ , ω

~

1 2 3

˙

~i ~i

= ω

~

1 1 1

˙

~j ~j

= ω

~

1 2 1

˙

~k ~k

= ω

~

1 3 1

Teorema 0.6.1. E' possibile scegliere uguali tra loro, allora

ω

~ , ω

~ , ω

~ ω

~ =

1 2 3 1

ω

~ = ω

~ = ω

~

2 3

PROPRIETA'

Esiste tale che (Formule di Poisson)

~ ~

~ ~k

~i ~j

d

j

d

i d k

∧ ∧ ∧

ω

~ = ω

~ , = ω

~ , = ω

~

1

1 1

1 1 1

dt dt dt

ed esiste tale che ~ ~k

~i ~k

~i ~j

d

j

d d

∧ ∧ ∧

ω = ω ; = ω ; = ω

1

1 1

1 1 1 1 1 1 1

dt dt dt

Allora: 8

> ~i ~i

− ∧ − ||

(~ω ω

~ ) = 0 => ω

~ ω

~

< 1 1 1 1

> ~j ~j

: − ∧ − ||

(~ω ω

~ ) = 0 => ω

~ ω

~

1 1 1 1

Allora −

ω

~ ω

~ = 0 => ω

~ = ω

~

1 1

Allora è unico

ω

~

vettore di Poisson (velocità angolare o di )

~k

,~i ~j

ω

~ : C (O , , )

1 1 1 1

( sono costanti, non variano nel tempo

~k

~i ~j

P O = x + y + z x , y , z

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

perché il corpo è rigido)

0.6 Corpo rigido 25

P O ˙

˙ ˙

1 ~k

~i ~j

= x + y + z =

1 1 1 1 1 1

dt ~k ~k

~i ~j ~i ~j

∧ ∧ ∧ ∧

= x (ω ) + y (ω ) + z (ω ) = ω

~ (x + y + z )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

P O

1 ∧ −

= ω

~ (P O )

1

dt

(P O )

1 ∧ −

= ω

~ (P O )

1

dt

− −

dP d(P O) d(P O ) d(−O + O ) dO

1 1 1

∧(P −O

=> ~v (P ) = = = + = ω

~ )+

1

dt dt dt dt dt

Perché: − − − −

(P O) = (P O ) (O O )

1 1

Inoltre: dO 1 = ~v (O )

1

dt

dP dO 1 ∧ −

= + ω

~ (P O )

1

dt dt

E' la formula fondamentale della cinematica del corpo rigido

Allora ∧ − ∀P ∈ ∈

~v (P ) = ~v (O ) + ω

~ (P O ) C (∀O C)

1 1 1

Basta conoscere la velocità di e

~v (O ) ω

~

1

0.6.1 Moto di traslazione

Il moto si dice di traslazione se allora

∀t ∈ [t , t ] ω

~ (t) = 0 => ~v (P ) =

1 2

∀P ∈

~v (O ) C

1

Viceversa se per ipotesi ∀P ∈ ∧ −

~v (P ) = ~v (O ) C => ω (P O ) = 0

1 1

Scegliamo tale che non parallelo a allora

P P O ω

~ ω

~ =0

1

0.6.2 Moto di rotazione

Si parla di moto di rotazione se esistono due punti

∀t ∈ ∈

[t , t ] A, B C

1 2

fermi:

~v (A) = ~v (B) = 0

26 INDICE

Allora se e sono ssi tutta la retta è ssa(ferma)

A B => AB

∧ −

~v (P ) = ~v (O ) + ω

~ (P O)

1

Scegliamo retta allora

∈ ∧ −

O AB ~v (O ) = 0 => ~v (P ) = ω

~ (P O)∀P

1 1

Se retta

∈ ∧ −

M AB => ~v (M ) = 0 => 0 = ω

~ (M O ) =>

1

asse di rotazione.

||(M − ||

ω

~ O ) => ω

~

1

Sia l'angolo che un piano solidale con forma con un piano sso

θ = θ(t) C

nello spazio. dθ

ω

~ = ~a

dt

Dove versore diretto come l'asse di rotazione.

~a :

|ω| = θ̇.

Viceversa per ipotesi: allora ho un moto di rota-

∧ −

~v (P ) = ω

~ (P O )

1

zione

Infatti la retta passante per e parallelo a allora retta :

∀M ∈

r O ω

~ r

1 ∧ −

~v (M ) = ω

~ (M O ) = 0

1

Perché parallelo −

ω

~ (M O )

1

Se questo avviene ad un istante parleremo di stato cinetico di rotazione.

t

0.6.3 Moto di roto-traslazione o elicoidale

(traslazione)

~v (O )

1 (rotazione)

∧ −

ω

~ (P O )

1

0.7 Cinematica relativa del punto 27

0.7 Cinematica relativa del punto

sistemi di riferimento in moto qualunque l'uno rispetto all'altro, ~k)

(O,~i, ~j,

2

sistema assoluto (sso), sistema relativo (mobile).

~k

,~i ~j

(O , , )

1 1 1 1

Supponendo di conoscere il moto di rispetto al sistema relativo ( ) e

P O

1

il moto del sistema ( ) rispetto al sistema ( ), determinare il moto di

O O P

1

rispetto al sistema O ~k

~i ~j

(P O ) = x + y + z

1 1 1 1 1 1 1

Conosciamo e sono noti: 8

>

> x = x (t)

> 1 1

>

< y = y (t)

1 1

>

>

>

>

: z = z (t)

1 1

Œ

‚ −

d(P O )

1 (velocit di P rispetto al sistema (O ) velocit relativa di P ) =

~v (P ) = 1

1 dt O

1 ~k

~i ~j

x

˙ + y

˙ + z

˙

1 1 1 1 1 1

Perché sono ssi perché rispetto a il sistema è fermo

~k

~i ~j

( , , ) O

1 1 1 1

z~k

x~i y~j

P O = + + (velocità assoluta rispetto ad ( )

~k

~i ~j

~v (P ) = ẋ + ẏ + ż O

Œ – ™ ‚ Œ ‚ Œ

‚ − −

− d d(P O ) d(O O)

d(P O) 1 1

− −

(P O ) + (O O) =

= +

~v (P ) = 1 1

dt dt dt dt

O O O O

Sapendo che:

‚ Œ

d(P O ) ˙

˙ ˙

1 ~k ~k

~i ~j ~i ~j

= ẋ + ẏ + ż + x + y + z =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

dt O ~k ~k

~i ~j ~i ~j

∧ ∧ ∧ ∧(x ∧(P −O

= ~v (P )+x (~ω )+y (~ω )+z (~ω ) = ~v (P )+~ω +y +z ) = ~v (P )+~ω )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Allora: ∧ −

~v (P ) = ~v (P ) + ~v (O ) + ω (P O )

1 1 1

Dove ∧ −

~v (P ) = ~v (O ) + ω (P O )

τ 1 1

velocità di trascinamento, è la velocità che il punto avrebbe se

~v (P ) : P

τ 28 INDICE

fosse rigidamente connesso col corpo rigido ( ) e da esso trascinato nel suo

O

1

moto.

0.7.1 Teorema di composizione della velocità

~v (P ) = ~v (P ) + ~v (P )

1 τ

0.7.2 Accelerazione

‚ Œ

dp dO ˙

˙ ˙

1

~k ~k

~i ~j ~i ~j

= x

˙ + y

˙ + z

˙ + + x + y + z

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

dt dt

O

‚ Œ

2 2

d p d O ˙ ¨

˙ ˙ ¨ ¨

1 ~k ~k

~k ~i ~j ~i ~j

~i ~j + 2(

x

˙ + y

˙ + z

˙ ) + x + y + z

= x

¨ + y

¨ + z

¨ + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

2 2

dt dt

O accelerazione di relativa rispetto al sistema

~k

~i ~j

~a (P ) = x

¨ + y

¨ + z

¨ = P

1 1 1 1 1 1 1

O

1 ¨

¨ ¨ accelerazione che avrebbe se fossero

2 ~k

~i ~j

d O +x +y +z = x, y, z

~a (P ) = 1 1 1 1 1 1 1

τ 2

dt

sse, accelerazione di trascinamento, se fosse rigidamente connesso con

P O

1

e da esso trascinato nel suo moto.

˙

˙ ˙ ~k

~i ~j

2(

x

˙ + y

˙ + z

˙ ) = ~a

1 1 1 1 1 1 c ~k ~k

~i ~j ~i ~j

∧ ∧ ∧ ∧

~a = 2

x

˙ ω

~ + 2 y

˙ ω

~ + 2 z

˙ ω

~ = 2~ω (

ẋ + ẏ + ż )

c 1 1 1 1 1 1 1 1 1

~k

~i ~j

~v (P ) = ẋ + ẏ + ż

1 1 1 1

Quindi: ∧

~a = 2~ω ~v (P ) accelerazione complementare o di Coriolis

c 1

~a (P ) = ~a (P ) + ~a (P ) + ~a (P ) T eorema di Coriolis

1 τ c

0.8 Sistemi di riferimento equivalenti

DEFINIZIONE

(O) (O )

1

0.8 Sistemi di riferimento equivalenti 29

si dicono equivalenti se si muovono di pura traslazione uniforme l'uno rispet-

to all'altro.

Allora: ω

~ =0

Tutti i punti del sistema hanno la stessa velocità, costante nel tempo,

O

1

allora accelerazione nulla.

Comunque si prenda un punto allora allora

3

P ~a (P ) = ~a (P ) a , a = 0

R 1 c τ

Infatti: perché

~a = 0 ω

~ =0

c accelerazione che avrebbe se fosse solidale con allora

∀P, ~a (P ) (O ) ~a (P ) =

τ 1 τ

0

Si può vericare facilmente anche il viceversa:

se allora

3

∀P ∈ ≈

~a (P ) = ~a (P ) (O ) (O)

R

1 1

Per sistemi equivalenti, le equazioni del moto sono le stesse:

Principio di relatività Galileana

8

> ~

m~a = F

<

> ~

:

m~a = F

1

Le trasformazioni di Galileo, fanno passare da un sistema di riferimento ad

uno equivalente allora lasciano invariate le leggi della dinamica o del moto.

In generale: dati sistemi di riferimento e equivalenti sia

2 (O) (O ) ~u = ~u (t) =

1

~k

~i ~j

u + u + u

x 1 y 1 z 1

1 1 1

Œ ‚ Œ

‚ d~u

d~u ˙

˙ ˙

~k ~k ~k

~i ~j ~i ~j ~i ~j

∧ ∧ ∧

= u̇ +

u̇ +

u̇ +u u +u = +u ω

~ +u ω

~ +u ω

~ =

x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 j 1 z 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

dt dt

O O

1

€ Š

Perché: siccome i versori di sono ssi, (

~k

~i ~j d~

u

u̇ + u̇ + u̇ = O O

x 1 y 1 z 1 1 1

dt

1 1 1 O

1

e si muovono solo di traslazione uno rispetto all'altro)

O Œ ‚ Œ

‚ d~u

d~u ~k

~i ~j

∧ ∧

= + ω

~ (u + u + u ) = + ω

~ ~u

x 1 j 1 z 1

1 1 1

dt dt

O O

1 1

30 INDICE

€ Š € Š

Nel caso che allora la velocità di due sistemi di

dω dω

~u = ω

~ =

dt dt

O O 1

riferimento rispetto al vettore di Poisson è uguale.

0.9 Statica

PREMESSE

Massa: si ssa un punto : punto campione allora dove

+

P m(P ) m(P )

R

0 0 0

è la massa campione.

: punto materiale allora che dipende dal campione ssato e

+

∀P ∈

m(P ) R

dalla materia da cui è composto.

−→

P m(P ) : massa di P

Proprietà additiva della massa: Se sono punti materiali, di

P , P , ..., P n

1 2 n

massa ; allora la massa del sistema costituito dagli

m , m , ..., m m = m(P )

1 2 n i i

punti è:

n n

X

M = m i

i=1

Se il numero di punti è nito.

Volume

Se consideriamo inniti punti distribuiti su un corpo di volume V.

Si prende attorno al punto un elemento innitesimo di volume ; lo assi-

P dv

miliamo a punto materiale, allora avrà una sua massa innitesima −→

dv dm

Denizione dm 0

: densita del corpo nel punto P

ρ(P ) = dv

0.9 Statica 31

dm = ρ(P )dv Z Z Z

M = dm = ρ(P )dv = ρ(x, y, z)dv

V v V R

Se è costante allora il sistema si dice omogeneo allora

ρ(P ) M = ρ 1dv =

V

ρV

Caso sulla supercie

Considero elemento innitesimo di supercie,allora:

−→

dσ dm

DEFINIZIONE

dm

ρ(P ) = dσ

Allora: Z Z

dm = ρ(P )dσ => M = dm = ρ(P )dσ

σ σ

Considero il caso omogeneo, allora se è costante il sistema è omogeneo,

ρ(P )

allora: Z

M = 1dσ = ρS

σ

0.9.1 Distribuzione di massa su una curva unidimensio-

nale

Considero elemento innitesimo di curva

−→

dσ dm Z Z

dm

ρ(P ) = = dm = ρ(P )dσ => M = dm = ρ(P )dγ

dσ γ γ

Allora nel caso omogeneo: Z

M = ρ 1dγ = ρl(γ)

γ

32 INDICE

dove lunghezza di

l(γ) γ

M ASSA COST AN T E (RISP ET T O AL T EM P O)

0.10 Grado di libertà

Il grado di libertà di un sistema meccanico; è il numero di parametri

n

necessari e sucienti a descrivere in ogni istante la congurazione del siste-

ma, allora conosco la congurazione del sistema: se conosco dove si trova

ogni suo punto.

Gli parametri scelti per rappresentare la congurazione del sistema:

n si chiamano parametri Lagrangiani

q , q , ..., q

1 2 n

dove e

q i = 1, ..., n

R

i

La congurazione del sistema : n

C q = (q , ..., q ) R

1 n

0.10.1 Angoli di eulero

S'interseca il piano col piano , l'intersezione è detta linea dei

X Y XY

1 1

nodi(una retta), L

L'angolo azimut

ˆ

XL : ψ =

L'angolo longitudine

ˆ

LX : φ =

1

L'angolo nutazione

ˆ

ZZ : θ =

1

0.11 Nozioni - Principi

Un sistema di si dice libero in una congurazione se si può passare da

a)

quella ad ogni altra congurazione vicina geometricamente possibile.

Se esiste una congurazione vicina a cui il sistema non può passare, esso si

b)

0.11 Nozioni - Principi 33

dice vincolato. Il dispositivo che impedisce di passare a quella congurazione

si dice vincolo.

0.11.1 Spostamenti innitesimi

Consentiti

1)

Proibiti(a causa dei vincoli)

2)

0.11.2 Spostamenti consentiti

Reale: se avviene di fatto e posta il punto da una posizione iniziale

1) P

, ad un altro con velocità

P P ~v (P )

0 1

Virtuale: ttizio, immaginiamo noi che possa avvenire; avviene in un tem-

2)

po nullo con velocità innita. −→

dP reale

−→

δP virtuale

0.11.3 Spostamenti invertibili

Se esiste lo spostamento opposto o

−δP (−dP )

0.11.4 Spostamenti non invertibili

In caso contrario(a causa della presenza di vincoli)

0.11.5 Spostamenti proibiti

Parzialmente proibiti: se mi posso avvicinare.

Totalmente proibiti: se volessi portare in una posizione alla quale non

P P 1

34 INDICE

mi ci posso avvicinare in alcun modo

0.11.6 Congurazioni

C = (q , ...q )

1 n

si dice interna: se a partire da quella congurazione, ogni spostamento

1)

virtuale è invertibile.

se invece a partire da esiste uno spostamento virtuale non invertibile,

2) C

allora si dice di conne.

C 0

0.11.7 Vincoli

Interno: se è dovuto a punti che appartengono al sistema in esame (in

1)

un corpo rigido), vincolo di rigidità

Esterno: se è dovuto a dispositivi che non appartengono al sistema (il

2)

tavolo rispetto ad un oggetto che gli è sopra)

Fisso o scleronomo

3) Mobile o reonomo

4)

0.12 Forze

Una forza è un ente sico, in grado di alterare lo stato di quiete o di moto

di un sistema; cioè di variare la velocità dei punti del sistema; quindi in grado

di generare accelerazioni.

MATEMATICAMENTE

Una forza è un vettore applicato: ~

(

F , P )

vettore della forza

~

F :

: punto di applicazione della forza

P

0.12 Forze 35

Le forze non si sommano perché sono vettori applicati, non sono note forze

che dipendono dall'accelerazione.

Si conviene denire nulla una forza s'è nullo il suo vettore:

nulla se

~ ~

(

F , P ) F = 0

Una forza si dice costante se è costante ~

F

0.12.1 Postulato delle reazioni vincolari

Un qualunque sistema vincolato può essere reso libero a patto di intro-

durre un opportuno sistema di forze detto vincolari.

Forze:

-Reazioni vincolari: rappresenta l'azione dei vincoli (incognite)

-Forze attive: non dovute all'azione dei vincoli (tutte le altre)(note)

Forze vincolari ~

(

φ, P )

DEFINIZIONE

Un vincolo si dice liscio o privo di attrito s'è in grado di esplicare un azione

pari a quella di una sola reazione vincolare, avente la stessa direzione e il

verso opposto di uno spostamento totalmente proibito.

Forze:

Interne: se dovute all'azione di punti interni al sistema.

Esterne: se dovute all'azione di punti esterni al sistema.

0.12.2 Legge di azione e reazione

Se su un punto agisce una forza da parte di un punto , allora su

A B B

agisce una forza uguale e contraria con la stessa direzione.

BARICENTRO (centro di massa) P n −

m (P O)

s s

s=1

G O = M

36 INDICE

P Allora:

Dove n m

M = s

s=1 P P P

n n n

m x m y m z

s s s s s s

s=1 s=1 s=1

x = y = z =

G G G

M M M

CORPO CONTINUO allora:

La densità : dm

ρ(P ) = dv R −

(P O)dm

V

G O = M

dove: Z

M = dm

V

allora: R −

(P O)ρdv

V

G O = M

CORPO CONTINUO SU UNA SUPERFICIE

R

R −

− (P O)ρ(P )dσ

(P O)dm σ

σ

− =

G O = M M

CURVE R −

(P O)ρ(P )dγ

γ

G O = M

0.12.3 Sistema di forze

~ ~ ~

(

F , P ), ( F , P ), ..., (

F , P )

1 1 2 2 N N

Denizione:

Si chiama vettore risultante del sistema di forze:

1) N

X

~ ~

R = F s

s=1

Data una forza e un punto si chiama momento della forza

~ 3

2) ( F , P ) O R

rispetto al polo il vettore:

O ~ ~ ∧ −

Ω(O) = F (O P )

0.12 Forze 37

Sia allora:

3

O R

1

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

∧(O −P ∧(O −O+O−P ∧(O −O) ∧(O −O)

Ω(O ) = F ) = F ) = F (O−P )+

F = Ω(O)+

F

1 1 1 1 1

Il momento di un sistema di forze rispetto ad un polo è:

3) O

N N

X X

~ ~ ~

∧ −

Ω(O) = F (O P ) = Ω (O)

s s s

s=1 s=1

Nel caso abbia :

3

O R

1 ~ ~ ~ ∧ −

Ω(O ) = Ω(O) + R (O O)

1 1

Se allora allora il momento non dipende dal polo

~ ~ ~

R = 0 Ω(O ) = Ω(O), O

1

Viceversa, se allora

~ ~ 3 3

∀O, ∈ ∧ − ∀O,

Ω(O ) = Ω(O) O , R (O O) = 0 O

R R

1 1 1 1

0.12.4 Sistemi particolari di forze

Una sola forza ~

1) ( F , P )

~ ~

R = F

~ ~ ∧ −

Ω(O) = F (O P )

Prendiamo sulla linea d'azione della forza, perché

~ ~ ∧ −

O Ω(O) = F (O P ) = 0

~ ||(O −

F P )

Coppia di forze: forze con vettore uguale ed opposto.

2) 2

~ ~

(

F , A); (

F , B) allora il momento di una coppia non dipende dalla scelta del

~ ~ ~

R = F F = 0

polo.

~ ~ ~ ∧ −

Ω = Ω(B) = F (B A)

Assegnato un sistema meccanico (di punti materiali)

Esaminiamo il sistema delle forze interne:

allora esiste

~ ~

(

F , A) (−

F , B) N

X

~ ~

R = F

i is

s=1

38 INDICE

Dove sono forze interne.

~ ~ ~

( F , P ), (

F , P ), ..., (

F , P )

i1 1 i2 2 iN N

non dipende dal punto.

~

Un sistema delle forze interne:

8

> ~

R =0

<

> ~

:

Ω(O) = 0∀O

In generale:

Il MOMENTO ASSIALE(di una forza)

~ ~

·

Ω = Ω(O) K

z

Dipende dall'asse ssato, ma non dal punto sull'asse)

O

0.12.5 Sistemi equivalenti di forze

~ ~ ~

(S) : (

F , P ), (

F , P ), ..., (

F , P )

1 1 2 2 N N

~

~

~ 0

0

0

0

0

0 0 )

, P

), ..., (

F

, P

), (

F

, P

(S ) : (

F M

M

2

2

1

1

Sono equivalenti, 0

(S) (S ) <=>

8

> ~ ~ 0

R = R

<

> ~ ~ 0 3

: ∈

Ω(O) = Ω (O)∀O R

Supponiamo sia per un particolare polo

~ ~ 0

Ω(O) = Ω (O) O

Calcoliamo ~ ~ ~ ∧ −

Ω(O ) = Ω(O) + R (O O)

1 1

~ ~ ~

0 0 0 ∧ −

Ω (O ) = Ω (O) + R (O O)

1 1

Allora se .

~ ~ ~ ~

0 0

Ω(O ) = Ω (O ) R = R

1 1

0.13 Forze peso

Dato un punto materiale di massa . Si chiama peso di , la forza:

P m P

tale che

~ ~

(

P , P ) P = m~g

0.14 Lavoro 39

dove è l'accelerazione di gravità, −g~k

~g ~g =

Sistema di punti materiali(discreto): ~ ~ ~

( P , m ), (

P , m ), ..., (

P , m )

1 1 2 2 N N

(S) : (m ~g , P ), (m ~g , P ), ..., (m ~g , P )

1 1 2 2 N N

Il sistema delle forze peso di un qualunque sistema meccanico è equivalente

al sistema costituito da una sola forza: ~

0

(S ) : ( F , G)

P (massa totale del corpo)

Dove è il baricentro e dove

~ N m

G F = M~g M = s

s=1

Questo vale anche se il corpo è continuo.

0.14 Lavoro

Lavoro elementare di una forza: ~

( F , P )

lavoro reale, dove è lo spostamento reale,

~ ·

dL = F dP dP P = (x, y, z)

dz~k

dx~i dy~j

dP = ~v dt = + +

~k

~ ~i

F = F + F ~y + F

x y z ~

| ||dP |

dL = F dx + F dy + F dz => dL = F cos α

x y z

Dove è l'angolo formato tra e ~

α dP F

Considero un sistema di forze:

~ ~ ~

(

F , P ), ( F , P ), ..., (

F , P )

1 1 2 2 N N

Lavoro elementare del sistema di forze:

DEFINIZIONE N N

X X ~ ·

dL = (dL) = F dP

s s s

s=1 s=1

Sistema meccanico a gradi di libertà:

n

parametri lagrangiani

q = (q , ..., q )

1 n

P = P (q , ..., q , t)

s s 1 n

40 INDICE

Inciso: se f (x , ..., x ), x = (x , ..., x )

1 n 1 n

∂f

df = dx dif f erenziale

∂x

∂f ∂f ∂f

df = ( dx , dx , ..., dx ) = ∆f

1 2 n

∂x ∂x ∂x

1 2 n

∂P ∂P

∂P s s

s dq + ... + dq + dt

dP = 1 n

s ∂q ∂q ∂t

1 n

n ∂P ∂P

X s s

dp = dq + dt

s k

∂q ∂t

k

k=1

N n n N N

∂P ∂P

∂P ∂P

X X X X X

s s

s s

~ ~ ~

·

dL = F ( F

dt) = ( )dt

dq + )dq + ( F

s s s

k k

∂q ∂t ∂q ∂t

k k

s=1 s=1 s=1

k=1 k=1

gradi di libertà

n numero di forze

N P ~

N ∂P

·

Q = F k = 1, ..., n

s

k s

s=1 ∂q k

Forze generalizzate di Lagrange o componenti lagrangiane delle forze.

N ∂P

X s

~ ∗

·

F = Q

s ∂t

s=1

Ne segue che: n

X ∗

dL = Q dq + Q dt

k k

k=1

CASO PARTICOLARE

Singolo punto libero:

~

(

F , P ), n = 3

P = P (x, y, z) 8

>

>

q = x

> 1

>

<

q = y

2

>

>

>

>

:

q = z

3

0.14 Lavoro 41

z~k

x~i y~j

P O = + + ∂P ∂P ~

= = i

∂q ∂x

1

∂P ∂P ~

= = j

∂q ∂y

2

∂P ∂P ~k

= =

∂q ∂z

3 ∂P

~ ~ ~i

· ·

Q = F = F = F

1 x

∂q 1

∂P ~

~ ~j

·

· = F = F

Q = F y

1 ∂q 2

∂P ~k

~ ~

· ·

F

Q = = F

F

=

1 z

∂q 3

~k

~ ~i ~j

F = F + F + F

x y z

LAVORO VIRTUALE DI UNA SINGOLA FORZA :

~

(

F , P )

~ ·

δL = F δP

dove è lo spostamento virtuale.

δP

Per un sistema di forze: ~ ~

(

F , P ), ..., (

F , P ) :

1 1 N N

N

X ~ ·

F δP

δL = s s

s=1

P = P (q , ..., q , t)

s s 1 n n ∂P ∂P

X s s

dP = dq + dt spostamento reale

s k

∂q ∂t

k

k=1 n ∂P

X s

δP = dq spostamentovirtuale

s k

∂q k

k=1

Perché in quanto istantaneo.

dt = 0

VINCOLI MOBILI

lo spostamento virtuale non tiene in considerazione di vincoli mobili e li con-

sidera come se fossero ssi.

42 INDICE

LAVORO FINITO (su una curva )

γ

di una forza ~

(

F , P )

Spostamento nito lungo una curva da a

γ P P

0 1

Z

Z P

P 1

1 ~ ~ ~

·

dL = (γ) F dP F = F (P, ~v , t)

L = (γ) P

P 0

0

DEFINIZIONE

Una forza si dice posizionale se il vettore dipende solo dalla posizione

~ ~

( F , P ) F

di (e non da e ): ~ ~

P ~v t F = F (P )

In generale: allora

~ ~ ~

F = F (x, y, z) F (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t)

0.15 espressioni o forme dierenziali

n N n

⊂ −→

f , ..., f : D R R

1 n 8

>

> f (x , ..., x )

> 1 1 n

>

<

−→

x = (x , ..., x ) ...

1 n >

>

>

>

: f (x , ..., x )

n 1 n

L'espressione: si dice espressione o forma dierenziale.

(1) f dx + ... + f dx

1 1 n n

L'espressione si dice dierenziale esatto se esiste:

(1) 8

> −→

f : D

< R

>

: −→

x f (x , ..., x )

1 n

tale che .

df = f dx + ... + f dx

1 1 n n

Ora da il suo dierenziale è:

f (x , ..., x )

1 n ∂f ∂f

df = dx + ... + dx = f dx + ... + f dx

1 n 1 1 n n

∂x ∂x

1 n

0.15 espressioni o forme dierenziali 43

Allora: perché sia un dierenziale esatto.

∂f ∂f

f = ; f =

1 n

∂x ∂x n

1

0.15.1 Teorema di Schwartz

Se e sono continue su allora coincidono

2 2

∂ f ∂ f D

∂y∂x ∂x∂y

in generale ∂f

∂f ∂f ∂f ∀i, 6

j

= = j = 1, ..., n i = j

1 2 i

∂x ∂x ∂x ∂x

2 1 j i

E' anche condizione suciente se è un dominio semplicemente connesso(se

D

è senza buchi) è condizione necessaria e suciente.

Allora ∂f

∂f j

=

i

∂x ∂x

j i

0.15.2 Lavoro elementare di ~

(

F , P )

~ ·

dL = F dP = F dx + F dy + F dz

x y z

In generale: , allora

~ ~ ~

F = F (P, ~v , t) F (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t)

Se è posizionale: allora

~ ~ ~ ~

(

F , P ) F = F (P ) = F (x, y, z) dL = F (x, y, z)dx +

x

forma dierenziale con

F (x, y, z)dy + F (x, y, z)dz n = 3

y z

DEFINIZIONE

Una forza si dice conservativa se il lavoro elementare è un dieren-

~

(

F , P ) dL

ziale esatto: cioè se esiste tale che

1

U (x, y, z) C dL = F dx+F dy+F dz =

x y z

dU

si chiama potenziale della forza

U

Allora: ∂U ∂U ∂U

dx + dy + dz

F dx + F dy + F dz =

x y z ∂x ∂y ∂z

44 INDICE

8

> ∂U

> F =

> x ∂x

>

< ∂U

F =

y

> ∂y

>

>

> ∂U

: F =

z ∂z

Allora gradiente di

∂U ∂U ∂U ∇U

( , , ) = U

∂x ∂y ∂z

Allora ~ ∇U

F =

Allora le condizioni necessarie e sucienti sono:

8

> ∂F

∂F

> y

=

x

> ∂y ∂x

>

< ∂F

∂F = z

x

> ∂z ∂x

>

>

> ∂F ∂F

y

: = z

∂z ∂y

Sia una forza conservativa e il suo potenziale.

~

(

F , P ) U (x, y, z)

Il lavoro nito lungo una curva da a

γ P P

0 1

dL = dU

Se la forza è conservativa il lavoro non dipende dalla traettoria (dipende solo

dagli estremi )

P , P

0 1

Sia una curva chiusa: −

γ L = U (P U (P ) = 0

1 0

Condizione necessaria e suciente anché la forza sia conservativa è

~

( F , P )

che il lavoro lungo una qualsiasi curva chiusa sia nullo.

I

L = dL = 0

γ

0.16 Legge fondamentale della dinamica

Se su un punto di massa agisce una forza di vettore , rispetto ad

~

P m F

un osservatore , allora l'accelerazione di è data da: ~

O P m~a = F

Quantità di moto di : ~

P Q = m~v

0.16 Legge fondamentale della dinamica 45

Se è costante:

m ~

d Q ~

= F

dt

Se sul punto agisce una forza ~ ~

P F : m~a = F

1 1 1

Se su agisce una forza ~ ~

P F : m~a = F

2 2 2 ~ ~

m(~a + ~a ) = F + F

1 2 1 2

Dove è il vettore delle reazioni vincolari.

~ ~ ~ ~

m~a = R = F + Φ Φ

~ ~

m~a = F + Φ (O)

− − ∧

~a = ~a ~a ~a dove ~a = 2~ω ~v

1 τ c c 1

− −

(O ) m~a = m~a m~a m~a

1 1 τ c

Forze : dovute all'azione di corpi o dovute al moto del sistema di riferimento.

In particolare: reazioni vincolari rispetto al sistema e reazioni vin-

Φ O Φ

1

colari rispetto al sistema (O )

1

~ ~ − −

m~a = F + Φ m~a m~a

1 τ c

forza di trascinamento.

~

F = m~a =

τ τ forza di Coriolis.

~

F = m~a =

c c

~ ~ ~ ~ ~

− −

m~a = F + Φ F F = R

1 τ c 1

Dove e sono forze ttizie.

~ ~

F F

τ c

Concezioni:

assoluta : sono forze solo quelle dovute all'azione di corpi, non quelle do-

1)

vute al sistema di riferimento(forze ttizie) allora la legge di Newton vale

solo per sistemi inerziali(cioè equivalenti al sistema delle stelle sse)

relativa: sono forze anche quelle dovute al modo del sistema, la legge di

2)

Newton vale per qualunque sistema di riferimento.

~ ~ ~

R = F + Φ

~ ~ ~

R = F + Φ

1 1 1

~

Φ = Φ

1

~ ~ ~ ~

− −

F = F F F

1 τ c

46 INDICE

Noi ci poniamo nella concezione relativa.

In particolare se è inerziale: allora ,

~ ~

O F = F = 0 ~a = ~a (~ω = 0)

1 τ c 1

~ ~

m~a = m~a = F + Φ

1

Se mi basta conoscere per ricavare il moto.

~ ~ ~ ~

m~a = F + Φ F , P hi

~ ~ − −

m~a = F + Φ m~a m~a

1 τ c

Problema della dinamica relativa:

note le forze che agiscono su , determinare il moto di rispetto a s

P P O P

1

rispetto a (O)

~ ~ ~

m~a = R = F + Φ

0.17 Equazioni dierenziali

Sia: si chiama

n+1

× −→ −→ ∈

F : I (t, x , ..., x ) F (t, x , ..., x )

R R R

1 n 1 n

equazione dierenziale di ordine n: n

d x ) = 0 (1)

F (t, x, ẋ, ..., n

dt

Una soluzione di è una funzione ∈

(1) x = x(t), t R

−→

x : I R

−→

t x(t)

che sostituita in la soddisfa identicamente, cioè:

(1) n

d x

∀t ∈ I, F (t, x, ẋ, ..., ) = 0

n

dt

La si dice di tipo o forma normale se può essere esplicitata rispetto alla

(1)

derivata di ordine massima (o ennesima).

(n−1)x

n

d x d

= f (t, x, ẋ, ..., ) in incognita x(t)

n (n−1)

dt dt

Caso particolare −

(n 1)

Delle equazioni dierenziali del primo ordine di tipo normale e sarà della

forma: ẋ = f (t, x)

0.17 Equazioni dierenziali 47

Si può passare da una funzione dierenziale a un sistema di funzioni die-

renziali del primo ordine, si parte da funzioni denite:

n f , ..., f

1 n

n

× −→

f , ..., f : I R R

1 n −→

(t, x , ..., x ) f (t, x , ..., x )

1 n i 1 n

Il sistema che nasce, diventa:

8

> x

˙ = f (t, x , ..., x )

> 1 1 1 n

>

>

>

>

> .

>

>

<

(∗∗) : .

>

>

>

>

> .

>

>

>

>

: x

˙ = f (t, x , ..., x )

n n 1 n

sistema di equazioni dierenziali di primo ordine in incognite.

n

Una soluzione è una n-pla di funzioni:

8

> x = x (t)

> 1 1

>

>

>

>

> ∈

x = x (t) t I

> 2 2

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

: x = x (t)

n n

Che sostituisco in lo soddisfano identicamente cioè ∀t ∈

(∗∗) I

NOTA

Se in forma abbreviata indichi con:

n

∈ −

x = (x , ..., x ) f = (f , ..., f ) n pla di f unzioni

R

1 n 1 n

Il mio sistema si scrive: ẋ = f (t, x)

(

x

˙ , ..., x

˙ ) = (f (t, x , ..., f (t, x ))

1 n 1 n

CASO AUTONOMO

48 INDICE

Se le non dipendono da ;

f t f = f (x , ..., x )

i i i 1 n

In forma vettoriale: ẋ = f (x)

8

>

x

˙ = f (x , ..., x )

> 1 1 1 n

>

>

>

>

>

.

>

>

<

(3) : .

>

>

>

>

>

.

>

>

>

>

:

x

˙ = f (x , ..., x )

n n 1 n

Teorema 0.17.1 .

(Teorema di Chauchy) Sia e sia 0

02

0 01 ∈

∈ )

, ..., x

, x

t x = (x

R

0 n

ssati:

n

R

Supponiamo che la siano di classe (Liepschiziane)

n 1

−→

f : C

R R

Allora esiste una ed una sola soluzione denita in un

x(t) = (x (t), ..., x (t))

1 n

intorno di tale che:

I t 0 8

>

> 01

x (t ) = x

> 1 0

>

>

>

> 02

x (t ) = x

< 2 0

>

> .

>

>

>

>

> 0

x (t ) = x

: n 0 n

PROBLEMA DI CAUCHY

8

> ẋ = f (x)

<

0

(3 ) > 0

: x(t ) = x dato iniziale

0

dove ( )= istante iniziale

t

0

La soluzione è unica quando il dato iniziale è ssato, se no in generale le

soluzioni sono innite.

0.18 equazioni di secondo grado(normale) 49

0.18 equazioni di secondo grado(normale)

è equivalente a un sistema di equazioni dierenziali del

ẍ = f (t, x, ẋ) 2

primo ordine.

x = x

1

x = ẋ = x

˙

2 1

ẍ = x

˙

2 8

> x

˙ = f (t, x , x )

< 2 1 2

>

: x = x

˙

2 1

8

> x

˙ = x = f (t , x , x )

< 1 2 1 1 1 2

>

: x

˙ = f (t, x , x ) = f (t , x , x )

2 1 2 2 1 1 2

Nel caso autonomo:

se e soltanto se

(4)ẍ = f (x, ẋ) 8

> x

˙ = x

< 1 2

>

: x

˙ = f (x, ẋ)

2 esiste ed è

Allora del teorema di Cauchy: ssati e 2

02

0 01 ∈

∈ )

, x

t x = (x R

R

0

unica la soluzione tale che:

8

> 01 01

x (t ) = x x(t ) = x

< 1 0 0

> 02 02

:

x (t ) = x ẋ(t ) = x

2 0 0

Data: ẍ = f (x, ẋ)

esiste ed è unica la soluzione che soddisfa il dato iniziale:

x(t)

8

> 01

x(t ) = x

< 0

> 02

: ẋ(t ) = x

0

~

m~a = R ~a = (ẍ, ÿ, z̈)

~

R = (R , R , R )

x y z

50 INDICE

8

>

>

mẍ = R

> x

>

<

mÿ = R y

>

>

>

>

:

mz̈ = R z

~ ~ ~

R = R(t, p, ~v ) = R(t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż)

8

> R

>

ẍ = (t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż)

x

> m

>

< R

(5) y

ÿ = (t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż)

> m

>

>

> R

:

z̈ = (t, x, y, z, ẋ, ẏ, ż)

z

m

Sistema di equazioni dierenziali del ordine nelle incognite .

3 2 3 x(t), y(t), z(t)

La soluzione di questo sistema esiste ed è unica .

(5)

che soddisfa il dato iniziale:

P (t) = (x(t), y(t), z(t) 8

>

>

x(t ) = x

> 0 0

>

<

y(t ) = y

0 0

>

>

>

>

:

z(t ) = z

0 0

e 8

>

> ẋ(t ) = x

˙

> 0 0

>

< ẏ(t ) = y

˙

0 0

>

>

>

>

: ż(t ) = z

˙

0 0

Signica avere ssati e .

P (t ) = (x , y , z ) ~v (t ) = ( x

˙ , y

˙ , z

˙ )

0 0 0 0 0 0 0 0

Quindi il moto del punto è univocamente determinato dal conoscere la posi-

zione e la velocità del punto nell'istante iniziale.

0.19 Equilibrio dei sistemi dinamici 51

0.19 Equilibrio dei sistemi dinamici

0.19.1 Punto materiale

DEFINIZIONE

Una congurazione si dice di equilibrio per un punto se

3

P P P (t) =

R

0

è soluzione dell'equazione del moto per , soddisfacente il dato iniziale:

∀t

P P

0 8

> P (t ) = P

< 0 0

>

:

~v (t ) = 0

0

Cioè se posto nella congurazione all'istante iniziale con velocità nulla,

P P 0

esso ivi rimane a tutti gli istanti successivi.

~

m~a = R

Supponiamo che le forze siano posizionali:

~ ~ 1

R = R(P ) C

Allora:

Teorema 0.19.1. Condizione necessaria e suciente anché una congu-

razione sia di equilibrio è che ~

P R(P ) = 0

0

~

R(x, y, z) = 0

Sia congurazione di equilibrio:

P 0

Allora ha come soluzione se ,

2

d P

m = R(P ) P (t) = P P (t ) = P ~v (t ) = 0

0 0 0 0

2

dt

sostituisco a P (t) = P 0 2

dP d P

=0 e =0

2

dt dt

~ ~ ~

0 = R(P (t)) = R(P ) => R(P ) = 0

0 0

~

R(P ) (x, y, z) = P

0

DEFINIZIONE:

Una congurazione si dice di equilibrio se posto il sistema

n

q = (q , ..., q ) R

1 n

52 INDICE

in quiete all'istante iniziale, rimane in quiete a tutti gli istanti successivi.

q

In particolare il sistema è in equilibrio in se e soltanto se lo è ogni punto

q

del sistema P , ..., P

1 n

~ ~ ∀s

(

F , Φ ) = 1, ..., N

s s allora allora

~ ~ ~ ~ ~ ~

F + Φ = 0 F + F + Φ + Φ = 0

s s is es is es

n n n n

X X X X

~ ~ ~ ~

F + F + Φ + Φ = 0

is es is es

s=1 s=1 s=1 s=1

Denisco come il vettore di tutte le forze attive interne che agiscono sul

~

F i

sistema.

~

F = 0

i

~

Φ = 0

i

Allora (condizione necessaria)

~ ~

1)

F + Φ = 0

e e

Fissato un polo moltiplichiamo per

3

∈ −

O (O P )

R s

~ ~ ~ ~

× − × − × − × −

F (O P ) + F (O P ) + Φ (O P ) + Φ (O P ) = 0

is s es s is s es s

Dove: ~ ~

× −

F (O P ) = Ω (O)

is s is

Sommando per allora ~ ~ ~ ~

s = 1, ..., n Ω (O) + Ω (O) + Ψ (O) + Ψ (O) = 0

i e i e

8

> ~

Ω (O) = 0

< i

> ~

:

Ψ (O) = 0

i

allora nell'equilibrio (condizione necessaria)

~ ~

∀O 2) Ω (O) + Ψ (O) = 0

e e

8

> ~ ~

F + Φ = 0

< e e

> ~ ~

:

Ω + Ψ = 0

e e

Trovo sempre l'equilibrio? No, in generale non sono condizioni sucienti per

l'equilibrio.

In un corpo rigido invece sono sucienti per l'equilibrio di un corpo rigido


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kimiko88

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Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher kimiko88 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica matematica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof Caliceti Emanuela.

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