Fisica matematica 2 - Appunti

Equilibrio dei sistemi dinamici

DEFINIZIONE

Una configurazione di equilibrio si dice stabile se il lavoro delle forze attive per raggiungere una qualunque configurazione vicina è negativo. Viceversa se esiste una configurazione vicina, per raggiungere la quale il lavoro delle sue forze attive è positivo, la configurazione si dice di equilibrio instabile.

Z * q dL < 0

1) L = γ(q0) Z * q

2) ∃q : L = γ(q) dL > 0

CASO CONSERVATIVO

Fra le configurazioni di equilibrio ci sono i punti di massimo e di minimo del potenziale.

Teorema 0.19.2. I punti di massimo di U(q) sono configurazioni di equilibrio stabile, i punti di minimo, di equilibrio instabile.

Sia un punto di massimo per U(q) allora

Z Z q q -L = dL = dU = U(q) - U(q) < 0 (stabile)

Nel caso di minimo

(instabile)-U (q) U (q) > 00.19.5 Integrale primo

Si chiama integrale primo del moto, la funzione:φ(x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) = costante durante il moto di P56 INDICE

0.19.6 Equazione dierenziale omogenea di 2 ordine

◦La più generale equazione dierenziale omogenea di ordine a coe-◦2cienti costanti. ∈(1) ẍ + a ẋ + a x = 0 a , a R1 0 1 0

Se sono soluzioni di e allora anche è∈x , x 2 (1) λ , λ λ x + λ xC1 2 1 2 1 1 2 2soluzione di (1).

insieme delle soluzioni di può essere strutturato come spazio vettoriale.

S : (1)dimS = 2EQUAZIONE CARATTERISTICA ASSOCIATA A :(1)2 0z + a z + a z = 01 0

Si dimostra che se è soluzione di allora è soluzione diα (2) x(t) = exp(αt)

allora 2(1) α + a α + a = 01 0 2ẋ(t) = α exp(αt); ẍ(t) = α exp(αt)2 2α exp(αt) + a α exp(αt) + a = 0 allora exp(αt)(α + a α + a ) = 01 0 1 0

Siano nel

campo complesso due soluzioni di allora: α, α (2)^{1 2 8>} x (t) = exp(α t)< 1 1>: x (t) = exp(α t)^{2 2} sono soluzioni di (1)

CASI distinte∈1) α, α R^{1 2} allora sono linearmente indipendenti exp(α t), exp(α t)^{1 2}

0.19 Equilibrio dei sistemi dinamici 57 sono una base per {exp(α t), exp(α t)} S^{1 2}

La più generale soluzione di :(1) ∀c ∈ x(t) = c exp(α t) + c exp(α t), c R(C)^{1 1 2 2 1 2}

8>x(0) = x< 0>: ẋ(0) = v 0

Allora c + c = x^{1 2 0} allora ẋ(t) = α c exp(α t) + α c exp(α t) α c + α c = v^{1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 0}

8>c + c = x< 1 2 0>: α c + α c = v^{1 1 2 2 0}

coincidenti:∈2) α = α R^{1 2} x (t) = exp(αt)¹ è soluzione costituiscono una base per {exp(αt), x (t) = t exp(αt) t exp(αt)}^2S

La più generale soluzione di :(1) ∀c ∈ x(t) = c exp(αt) + tc exp(αt), c R^{1 2 1}

1. α = p + ıq
2. −α = p ıq

Allora:

∈p, q Rx = exp(α t)

1 1 sono soluzioni indipendenti di

x = exp(α t) (1)2 28>x (t) = exp(p + ıq)t = exp(pt)(cos(qt) + ı sin(qt))

− −x (t) = exp(p ıq)t = exp(pt)(cos(qt) ı sin(qt))

258 INDICE

Facendo la semisomma di ottengo

x (t), x (t) exp(pt)(cos(qt))1 2

Facendo la semidierenza di ottengo

x (t), x (t) exp(pt)(sin(qt))1 2

La soluzione più generale di :

(1)x(t) = c exp(pt) cos(qt) + c exp(pt) sin(qt)1 22

2ẍ + ω x = 02 2z + ω = 0 ±ıω ±α , α = = p ıq con p = 0 q = ω1 2 ∀c ∈x(t) = c cos(ωt) + c sin(ωt) , c R1 2

Se sostituisco allora allora

2 21 22−cc = c cos(γ), c = sin(γ) c = c + c c =1 2

È 21 22c + c c−γ = arctan 2c 1 − ∀c, ∈x(t) = c cos(γ) cos(ωt) c sin(γ) sin(ωt) = c

cos(ωt + γ) γ Rmoto oscillatorio armonico, moto sinusoidale∈x(t) = c cos(ωt + γ) c, γ R0.20 Moto unidimensionale di un punto sogget-to a forze conservativePotenziale → −UU (x) V (x) = (x)~mẍ = R1 2mẋ + V (x) = E2 22 −ẋ = [E V (x)]m Ê È2 − ±ẋ(t) = (E V (x)) = f (x)mDove: 2 −f (x) = (E V (x))m0.20 Moto unidimensionale di un punto soggetto a forze conservative590.20.1 Discussione alla weierstrassFissiamo il dato iniziale: x(t ) = x0 0caso orientiamo l'asse in modo che6ẋ(t ) = 1 ẋ(t ) = 0 x ẋ(t ) > 00 0 0caso 2 ẋ(t ) = 00È allora per la continuità se esiste tale che±ẋ(t) = f (x) ẋ(t ) > 0 t > t0 1 0Èdx∀t ∈ẋ(t) > 0 [t , t ] = ẋ(t) = f (x)0 1 dtPossibilità:1) 6f (x) = 0∀x > x0percorre tutto l'asse senza mai fermarsi:P x 1Èf (x)continua e limitata su [x , x]0 ZZ Zdx dxx t(x) x− ∈t(x)

questo è un integrale generalizzato in quanto lim = +∞ (x)x→xNel nostro caso sappiamo che vale: m-6f(x) = (x x) f(x) f(x) = 01 1Allora: Z dxxt(x) = ∫m-(x x) f(x)x 20 1Allora se la funzione è infinita rispetto al campione:1-x xDi ordine minore di allora l'integrale converge.1Se invece è di ordine maggiore o uguale a l'integrale diverge.1Allora: m1 1 2≈m -(x x)-(x x) f(x)2 1quindi non da contributo all'ordine dell'infinito.6f(x) = 01Ma siccome la molteplicità di allora alloram ≥m > 1 1 m 22Quindi l'integrale vale infinito e il mio punto non arriva mai a e si dice x0.21 Dinamica di un sistema di punti 61moto asintottico verso xLe curve di livello nello spazio delle fasi, rappresentano il grafico di v = v(x)0.21 Dinamica di un sistema di punti(P , m ), ..., (P , m )1 1 N NQuantità di moto: N N1X X~ 2Q = m ~v allora T = m ~vs s s s2s=1 s=1NX~ ∧

• −K(O) = m ~v (O P ) - momento angolare
• s ss=1 - CASI PARTICOLARI
• Corpo rigido in traslazione:
• ∀s~v = ~v = 1, ..., N
• ~Q = M~v12 2M vT =0.21.1
• BaricentroP N −O) Caso generalem (Ps s−G O = s=1 MPSe allora N −m (P G) = 0O = G s ss=1Derivando rispetto al tempo:N N NX X X− −m (~v ~v ) = 0 => m ~v ( m )~v = 0 => Q = M~vs s G s s s G Gs=1 s=1 s=1
• 0.21.2 Energia cinetica
• Si introduce un nuovo sistema di riferimento detto sistema baricentrico:
• con origine che trasla rispetto ad con velocità uguale a quella del ba-G (O)62 INDICEricentro (~v )G∀s = 1, ..., N allora~v = ~v + ~v ~v = ~vs 1s τ s τ s Gè la velocità rispetto al sistema e è la velocità relativa di rispetto~v (O) ~v Ps 1sal sistema baricentrico.~v = ~v + ~vs G 1sP N1 2T = m vss=1 s2 P N1 m (~v + ~v )(~v + ~v )T = s 1s G 1s Gs=12 N N N1 1X X X2 2 ·= m v +( m )v + ( ~v ) ~vs s 1s G1s G2 2s=1 s=1 s=1PAllora: N1212 22 + 0 + m vT = M v s 1sG s=1

NXM~v = m ~v = Q = 01s s 1s 1s=1quantità di moto rispetto al sistema relativo (G)Energia cinetica rispetto al sistema baricentrico è(G) TG0.21.3 Teorema di Konig1 2M v + TT = GG2Energia cinetica rispetto al sistema baricentrico∧ −~v (P ) = ω~ (P O)DEFINIZIONESia una retta nello spazio. Si chiama momento d'inerzia di un sistemarmeccanico rispetto a , il numero:r NX 2I = m rr s ss=10.21 Dinamica di un sistema di punti 63dove distanza di dar = P rs sCorpo rigido in stato cinetico di rotazione con velocità angolare Sia l'asseω~ . rdi rotazione. N N1 1 1X X 2 22 2T = = ( )ω = I ω