Appunti di Fisica matematica

STATICA

I problemi della statica sono 2: il problema della ricerca delle posizioni di equilibrio e il

problema del calcolo delle reazioni vincolari in caso statico. Si hanno a disposizione sia le

equazioni cardinali della statica, sia il principio dei lavori virtuali.

Definiamo una posizione di equilibrio. ′

(, , )

Consideriamo innanzi tutto il caso di un punto materiale soggetto ad una forza

Diremo che, la posizione è di equilibrio per il punto materiale se, posto il punto

0

all’istante iniziale nella posizione con velocità nulla, il punto resta indefinitivamente in

0

quella posizione.

( ) =

0 0 ( )

{ → = ∀ ≥

0 0

( ) = 0

0

Determinazione statica della forza

Si intende per determinazione statica di una forza il valore numerico che tale forza assume

in corrispondenza di una posizione assegnata e quando la velocità è nulla.

0

Esempio:

( ) || ̂

= − −

(, )

0, = 0 (velocità nulla)

(, )

0, = ( − ) (per un altro punto qualsiasi)

Principio dei lavori virtuali, ovvero: regola d’oro dell’equilibrio

Consideriamo un sistema formato da corpi rigidi e punti materiali soggetto a vincoli

()

( , 0, )

olonomi, lisci e fissi. Consideriamo con la determinazione statica della

0

sollecitazione attiva valutata in corrispondenza della configurazione .

0

(ad esempio, la forza peso valutata su un punto del sistema con velocità iniziale nulla)

Condizione necessaria e sufficiente affinchè la configurazione sia di equilibrio per il

0

sistema è che il lavoro virtuale della determinazione statica della sollecitazione attiva sia

mai positivo, qualunque sia lo spostamento virtuale compiuto a partire dalla posizione e

0

sia nullo in corrispondenza di spostamenti reversibili.

(per capire: il sistema non deve tendere a compiere quel lavoro spontaneamente)

I vincoli sono olonomi, fissi e lisci. è configurazionale di equilibrio

0

()

≤ 0 ∀

{ ()

= 0 ∀

Dimostrazione: è condizione necessaria (relazione d’Alembert-Lagrange e simbolica)

Mettiamoci nelle ipotesi che è una posizione di equilibrio. Ciò vuol dire che, posto il

0

.

sistema in con atto di moto nullo, il corpo rimane in quiete nella posizione

0 0

Siamo delle ipotesi nelle quali vale la relazione di d’Alembert-Lagrange e l’equazione

simbolica della dinamica. Pertanto, la quiete, essendo un moto, deve soddisfare tali

relazioni, cosicchè scriveremo:

() ()

[ ] [ ]

+ ≤ 0 ∀

= =

0 0

{ () ()

[ ] [ ]

+ = 0 ∀

= =

0 0

Osservazione ,

Essendo il sistema in quiete in la sollecitazione d’inerzia in corrispondenza della quiete

0

è uguale a zero.

Applicazioni (per esempio, il quadro)

Determiniamo la condizione di quilibrio per un corpo rigido con un punto fisso e liscio.

I vincoli si presentano come vincoli bilateri, il che vuol dire che tutti gli spostamenti

virtuali sono reversibili. Ciò comporta che il principio dei lavori virtuali si può applicare

()

= 0 ∀.

secondo l’uguaglianza

Dobbiamo soltanto valutare il lavoro ed applicare il principio.

Valutiamo il lavoro elementare per un corpo rigido con un punto fisso.

= ∙ + ∙ = punto fisso → = ∙

Il corpo rigido con un punto fisso ruota istante per istante intorno ad assi di istantanea

rotazione. Pertanto, un generico spostamento del sistema implica una generica rotazione

∀

intorno ad un asse. Pertanto, nel dover valutare il equivale a dire che bisogna

.

considerare una qualunque rotazione, ovvero, qualunque sia il vettore

()

= 0 ∀,

Cosicchè, nel voler applicare la condizione di equilibrio scriveremo:

()

= 0 ∀ ↔ ∙ = 0 ∀

() ( )

, 0, = 0

Questo equivale a dire che la condizione di equilibrio è la seguente: (1)

0

ovvero, la determinazione statica del momento polare della sollecitazione attiva deve

essere uguale a zero.

(per capire: il sistema non deve tendere a ruotare)

Abbiamo trovato che un corpo rigido con asse fisso e liscio è in equilibrio in se vale la

0

(1). Questa è una condizione pura di equilibrio nel senso che può essere operativa in

quanto è priva delle incognite reazioni vincolari.

Ad esempio, consideriamo un corpo rigido con un punto fisso soggetto alla forza peso.

()

=

()

= (, )

Se il corpo non è molto esteso, la sollecitazione attiva può essere ridotta al proprio

risultante applicato al centro del campo che, in questo caso, coincide con il baricentro.

Pertanto, la sollecitazione attiva agente sul sistema si riduce a quest’unico vettore: sigma…

Nel voler determinare la configurazione di equilibrio, dobbiamo imporre che il momento

() ( ) ( )

, 0, = 0 ↔ × − = 0

polare sia uguale a zero e quindi: 0

Questa condizione si presenta se e solo se la retta passante per e per è un asse

verticale.

Altro esempio, consideriamo un corpo rigido con asse fisso e liscio.

In un corpo rigido con asse fisso e liscio, tutti gli spostamenti sono reversibili. Pertanto

()

= 0 ∀.

anche in questo caso vado a sfruttare unicamente l’uguaglianza

Valutiamo il lavoro per un corpo rigido con asse: ′ ′

= ∙ + ∙ = = → = (2)

Valutiamo un generico spostamento del sistema. In questo caso, il corpo non può che

ruotare intorno all’asse. Pertanto, un generico spostamento del sistema equivale a dire che

la (2) vale qualunque sia la variazione dell’angolo theta.

′

∀ ↔ ∀ ↔ ∀

()

= 0 ∀

Allora, scrivere equivale a dire che:

() ()

() ′ ′ ( )

= 0 ∀ ↔ = 0 ∀ ↔ , 0, = 0 (3)

0

La (3) è la condizione di equilibrio di qualunque corpo rigido con asse fisso e liscio. Anche

questa condizione è una condizione operativa.

Ad esempio, consideriamo un corpo rigido pesante con asse fisso e liscio.

In questo caso, la sollecitazione attiva si riduce a quest’unico vettore:

() {(, )}

= () ( )

= × − ∙ = 0 ↔ ∙ = 0

ll momento assiale sarà

Affinchè valga questa condizione, il piano individuato dall’asse fisso e dal

baricentro deve essere verticale.

Il principio dei lavori virtuali permette di determinare anche le incognite reazioni vincolari

sfruttando il cosiddetto postulato delle reazioni vincolari che stabilisce che non si altera lo

stato di quiete o di moto del sistema se, sopprimendo un vincolo lo si sostituisce con la

sollecitazione che esso esplicava prima della soppressione. Tale sollecitazione farà parte

dell’insieme delle forze attive sul sistema.

Applicazione

ad esempio, consideriamo la trave appoggiata. ,

Sopprimiamo un vincolo essenziale, in questo caso e sostituiamolo con la reazione che

esso esplicava prima della soppressione.

Ricorda: i vincoli sono lisci e bilateri.

() {(, ), (, )}

=

()

= ∙ + ∙

√2 √2 (0, ) (0, )

(− ) (0, )

= ,− = = tan = 2 tan

2 2

√2 √2

() ()

( ) (2 ) (−

= − tan + tan ↔ = tan + 2) (4)

2 2

Il principio dei lavori virtuali si applica come un’uguaglianza, in quanto in vincoli sono tutti

()

= 0 ∀ () = 0.

bilateri. Di conseguenza, scrivere equivale a dire che

In questo caso, il generico spostamento coincide con una generica rotazione e quindi

∀ tan .

possiamo dire √2 √2

(−

() = 0 + 2) = 0 ↔ =

Quindi la condizione diventa:

2 4

Ora vogliamo trovare il valore di . Quindi tolgo uno dei carrelli (punto fisso = doppio

carrello bilatero) e lo sostituisco con la reazione che esso esplicava.

√2

() ( ) (2 )

= − tan + tan

2 √2 √2

2 tan − tan = 0 ∀ tan ↔ =

2 4

Determiniamo .

= = = = =

√2

(− ) ( )

+ = 0 ↔

2 √2 √2

(− )

+ = 0 ∀ =

2 2

Da risolvere a casa:

togli a uno a uno i vincoli;

calcola il lavoro in base al diagramma degli spostamenti;

poni il lavoro calcolato uguale a zero;

determina le reazioni vincolari.

Equazioni cardinali della statica

Le equazioni cardinali della statica sono condizioni sull’esistenza delle incognite reazioni

vincolari. In generale, sono solo condizioni necessarie. Diventano sufficienti per un unico

corpo rigido.

Consideriamo un sistema materiale a vincoli olonomi fissi. Indichiamo con una

0

′ ′

, , ,

configurazione del sistema e siano rispettivamente le determinazioni statiche

del risultante e momento risultante della sollecitazione attiva e sollecitazione vincolare.

() ( )

= , 0,

0

() ( )

= , 0,

0

()

′ ′ ( )

= , 0,

0

()

&