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TEORIA DEI VETTORI
Lezione sui vettori liberi e relative proprietà
Sia v un vettore libero, ovvero un insieme di infiniti segmenti orientati, aventi lo stesso modulo e la stessa direzione.
Con la notazione di Grassmann il vettore libero v si può scrivere in questo modo:
v = Pi - P0
Risultante (o somma) di più vettori liberi
Consideriamo n vettori liberi:
v1 = P1 - P0; v2 = P2 - P1; ... vn = Pn - Pn-1
S’intende per risultante (o somma degli n vettori liberi), e si indica con R, il vettore libero individuato da:
R = Pn - P0 = v1 + v2 + ... + vn
Esempio 1
(n = 4) v1 + v2 + v3 + v4 = R
Nota
R = 0 se e solo se il punto d’applicazione del 1o vettore libero coincide con il punto libero dell’ultimo vettore libero (P0 = Pn), cioè i vettori formano un poligono di vettori chiuso.
Esempio 2
(n = 2) v1 + v2 = R, con v1 = P1 - P0, v2 = P2 - P1
Consideriamo il caso con n = 2 in cui i vettori liberi hanno lo stesso punto di applicazione.
In questo caso la risultante coincide con la diagonale del parallelogramma.
Possiamo ora considerare il caso in cui 3 vettori liberi hanno lo stesso punto di applicazione.
Si dimostra che il risultante dei 3 vettori liberi coincide con la diagonale del parallelepipedo che ha per lati i tre vettori.
Le R congiunge i due estremi opposti.
Vettore libero opposto
Assegnato il vett. u, si dice il vettore opposto ed si scrive -u il vettore lib. che ha la stessa direzione, lo stesso modulo, ma verso opposto a quello del vett. lib. u.
Differenza fra due vettori liberi
S'intende per differenza fra due vett. lib. la somma del vettore u con l'opposto di v:
u - v = u + (-v)
con u - v = P1 - P2
con u = P1 - P0, v = P2 - P0
Nota: Le differenze fra i due vettori è uguale alla 2a diagonale del parallelogrammo.
Oss: Le proprietà dei vett. lib. sono tali da rendere l'insieme dei vettori lib. uno spazio vettoriale, e quindi godere delle 8 proprietà tipiche degli spazi vettoriali. Esso costituisce il 1o esempio utile storico di spazio vettoriale, infatti il nome spazio vettoriale è classica proprio di questo.
Angolo fra due vettori
S. presentino 4 es.
- Se v u vettori liberi; rette di v. t e:
d < π/2
- Se v u vettori liberi; rette di v. t:
d > π/2;
- u, v vettori liberi; u sul prolungamento di v:
d = π;
- u, v:
d = 0.
Si definisce angolo fra due vettori la parsi di piano esclusivo fra i due vettori e compresse tra 0 e π:
0 < d <= π.
Si scrive anche in questo modo: d = ÛÊ.
Prodotto scalare fra due vettori
Siano u e v vett. libera: s'intende per prodotto scalare (u; v) fra due vettori, detto "u scalare v", lo scalare individuato del prodotto fra i moduli dei vettori e il coseno dell'angolo compreso fra i due vettori: u, v = |u| |v| cos(iÊ):
= 0
1. Se d = π/2;
2. d = π
3. d = t
4. Se d < iπ/2.
Poiché y è nel piano individuato da e e b, possiamo scrivere y come loro combinazione lineare y = λ(x> b) + μe.
Aggiungiamo la condizione di compatibilità ε · b = 0.
μ =
Rinominando b = e3 otteniamo
Esistono, dunque, infiniti vettori y che soddisfano l'equazione vettoriale y x e = 0.
Economia di basi
Consideriamo le basi B e B' poniamo il problema di determinare la relazione che esiste tra le componenti di un vettore v in B e B'.
Esaminiamo il caso in cui le basi abbiano due elementi.
B = (e1, e2) e B' = (e1', e2') è un sistema ortonormale.
È possibile notare che le due basi sono sfalsate di un angolo α.
Le componenti dei vettori di B' in B coincidono con i coseni degli angoli formati dalle copie di vettora di B e B'.
Cioè: e1' = cos α e1 + sen α e2.
e2' = -sen α e1 + cos α e2.
(Rotazione lineare)
Introduzione le matrici di Trasformazione delle basi elle ha come righe le componenti della base B' nella base B: A = [ (A11, A12) (A21, A22) ]
(cos α, sen α)
(-sen α, cos α)
Dunque le leggi di variazione delle componenti delle basi si scrive: ei' = A ej e oppure ej' = Σi = 1Ajiei con j indice rispetto a B' e i indice rispetto a B.
Esempio
s = 9 ej' = ΣiAji ei = e : e2' = A21e1 + A22e2 = -sen α e1 + cos α e2.
Legge inverse
È la legge che permette di determinare gli elementi delle base B in funzione delle elle base B' ei = Σj = 1 ej' con Aji: cos eji.
Osservazione è mantenere di Trasformazione elle sono una matrice ortonormale.
si osserva che il valore assoluto coincide con il prodotto
tra il modulo del vettore e il braccio b (distanza tra la retta r e la retta d'
applicazione del vettore); esso ha il segno positivo (o negativo) e secondo che
il vettore r appare orario (o antiorario) rispetto all'osservatore e
Applicazioni
- Consideriamo una trave rigida su cui agisce una forza F in un punto P:
F = (-Fy, 0)
Si vuole calcolare il momento polare rispetto
al polo A della forza F:
MA = F x (A - P) dove (A - P) = (xa - xp, ya - yp)
= A - P = ( l/2 , 0, 0)
F x (A - P) = | 0 l/2 0 | = i(0) - j(0) + k( l/2F) = K - Fz = 0
MA = -Fz K
Ma può essere anche vista come componenti del momento assiale:
MZ = MA K oppure MA | MZ | K; utilizzando la regola di selezione,
Pz ➝ i|F| l/2 = MA = (MZ) K = -Fz | K
- Continuiamo a considerare una trave rigida su cui agisce una forza F
e calcoliamo il momento polare della forza rispetto il polo A
F = ( -F √2/2 , -F√2/2, 0) A - P = ( - √2/2 , 0, 0)
MA = - F√2/2 | 0 √2/2 0
= i(0) - j(0) + k( √2/2 = -LF√2
Inversione secolare
consideriamo un esempio di vettori applicati e indichiamo con
|
, | = , rispettivamente il polo dei risultante ed il momento
risultante; si dell'inversione secolare; la secolare individuato del
prodotto secolare tra il risultante ed il moment secolare:
| = | |
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