Appunti di Fisica Generale 1

GRANDEZZE FISICHE

Sono grandezze misurabili da un osservatore attraverso il confronto con un'unità di misura.

• Grandezza fisica = numero + unità di misura + errore
• Sono omogenee, dimensionate e adimensionate

Nella meccanica si hanno tre grandezze fondamentali:

• Lunghezza _[L] metro m
• Massa _[M] chilogrammo Kg
• Tempo _[T] secondo S

ANALISI DIMENSIONALE

• Il numero di destra e quello di sinistra di un'equazione devono essere omogenei
• Tutti gli addendi di ciascun membro di un'equazione devono essere omogenei

ERRORI DI MISURA E CIFRE SIGNIFICATIVE

CIFRE SIGNIFICATIVE

in un numero: tutte le cifre che compongono il numero eccetto gli eventuali zeri a sinistra di tutte le altre cifre.

• 2,5360 → 5 cifre significative
• 0,2536 → 4 cifre significative

Qualunque valore riportiamo a seguito della misurazione di una grandezza fisica è affetto da errore.

ERRORE ASSOLUTO:

È dimensionato; se scriviamo L = 3,5 m ± 0,05 m l'errore assoluto è dell'ordine del dm. Quindi: la posizione della cifra significativa più a destra indica qual è l'ordine di grandezza dell'errore assoluto.

ERRORE RELATIVO:

È adimensionato; è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore numerico della grandezza; indica la precisione di una misura, a un errore relativo minore corrisponde una precisione maggiore.

Esempio:

• L₁ = 1,83 m → ΔL₁/L₁ ≈ 10^-2
• L₂ = 4,382745,8 m → ΔL₂/L₂ ≈ 10^-9 → {10^(n-1)} n cifre signific.

→ Stesso errore assoluto ma diverso errore relativo

PROPAZIONE DELL'ERRORE:

Somma: x,y due grandezze, con Δx >> Δy

• x ± Δx ± y ± Δy ≈ x ± y ± Δx

Prodotto: x,y due grandezze, con Δx/x >> Δy/y

• (x ± Δx)(y ± Δy) ≈ xy ± x Δy ± y Δx

vettore velocità: misura la rapidità di uno spostamento

v_m = Δr / Δt ← velocità media

Δt = t₂ - t₁, Δt > 0

v_m = v(t₂), v(t₁) = v(t)

N.B.: la velocità che usiamo nel gergo comune è la velocità scalare media =

= lunghezza totale del percorso / Δt

vettore accelerazione: misura la rapidità con cui varia la velocità

una variazione di velocità, anche solo in direzione, mi comporta un'accelerazione

a_m = Δv / Δt ← accelerazione media

Δv? → serve il concetto di

velocità istantanea: v(t) = lim_Δt→0 Δr / Δt = d/dt r(t)

← derivata

accelerazione istantanea: a(t) = lim_Δt→0 Δv / Δt = d/dt v = d²r / dt²

Moto in due o tre dimensioni

\(\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) \hat{i} + y(t) \hat{j} + z(t) \hat{k}\)

\(\vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right)\)

\(\vec{a}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \left( \frac{dv_x}{dt}, \frac{dv_y}{dt}, \frac{dv_z}{dt} \right)\)

Dato che \(\Delta t>0\), \(\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\) e \(\vec{v}\) hanno stessa direzione è vero e \(\Delta \vec{v}\) per \(\Delta t \to 0\) indica la direzione

Ricaviamo un'espressione di a_c(t), partendo

dal fatto che | _v | = 1/∆t (similitudine)

[dove v = | _L |]

|a_c(t)| = lim _∆t→0 | _v | = v² / r

∆∆ = rc²

T = 1/ f

v = 2πr / T = 2πr f

a_c = ω² r ⇒ a_c(t) = -ω² r(t)

In particolare, se O' (associato a S') osserva un

oggetto in moto rettilineo uniforme, O associato a

S' vede l'oggetto che si muove secondo una

traiettoria curva (una spirale).

Moto Relativo Roto-Traslatorio Generico

Se il sistema S' si muove rispetto a S con accel.

velocità angolare  ^dω/_dt e accelerazione trasla-

zionale ā_s^g, si ha:

v⃗ = v⃗ - ω⃗ x r⃗ * - v⃗ _s^*

a⃗ = ā- 2ω⃗ x v⃗ * - ω⃗ x (ω⃗ x r⃗ ) - a_s^* - ā_s^*x r⃗ *

Dinamica del Punto Materiale

La dinamica del punto materiale studia le cause

del moto. Si basa nel principio classico di relatività

e sulle tre leggi di Newton.

Le Leggi di Newton

Prima di Newton si pensava che per far muovere un

corpo a velocità costante fosse necessaria qualche

influenza (=forza) ininterrotta cioè che lo stato

naturale di un corpo fosse la quiete.

Newton mostrò che non è così formulando la

TENSIONE DELLA FUNE

Bisogna fare due approssimazioni sulla fune:

• La fune è inestensibile
• La fune è di massa trascurabile

La seconda approssimazione è importante perché se la fune ha massa trascurabile la tensione e la forza in modulo in tutti i punti della fune tra cui non è frapposta alcuna massa. Se la fune avesse una massa, non sarebbe così. Consideriamo ad esempio una catena fatta di tanti anelli, ognuno di massa m.

primo anello (sinistra): T₀=m₁a

secondo              - T₁=(m₁+m)a

N-esimo                 - T_N=(m₁+Nm)a

Quindi la tensione non è la stessa in tutti gli anelli.

CARRUCOLA MOBILE

Se il blocco superiore ha un moto relativo a quello inferiore verso sinistra, le due accelerazioni sono diverse.

In generale non è corretto dire che l'attrito si oppone al moto (l'attrito ha verso opposto alla velocità relativa tra le superfici; si oppone cioè al moto relativo delle superfici a contatto).

L'attrito tra superfici (radente) è dovuto a interazioni a livello molecolare.

Il modulo della forza di attrito è indipendente dalla velocità relativa tra le superfici ed è proporzionale alla reazione normale.

Forza d'attrito dinamico:

|_d| = μ_d |_N|

Forza d'attrito statico:

|_s| ≤ μ_s |_N|

Ha modulo via via crescente

μ_s > μ_d

FORZE DI RESISTENZA NEI FLUIDI

Un corpo che si muove in un fluido subisce una forza d'attrito chiamata resistenza viscosa. Questa forza aumenta all'aumentare della velocità del corpo.

Per velocità relativamente basse e oggetti piccoli e

Lavoro di una forza

Definiamo il lavoro di una forza F costante, compiuto durante uno spostamento rettilineo Δr:

Lf = F · Δr

Il prodotto scalare fa sì che l’unica componente della forza che conta nel calcolo del lavoro è quella lungo lo spostamento.

La definizione più generale è:

Lf = ∫γF · dr

⇒ lavoro compiuto da una forza che varia punto per punto durante lo spostamento lungo la curva γ

Definizione intuitiva dell’integrale: somma di tanti contributi Fi · Δri in ciascuno dei quali la forza è costante.

Unità di misura: Joule 1 J = 1 N·m

Il lavoro ha un segno:

• lavoro positivo = aumento di energia
• lavoro negativo = diminuzione di energia

Lavoro ed energia sono strettamente connessi.