Appunti di fisica 2: onde

ONDE PIANE

• Descritta ad esempio di una funzione E̅(x,t), spazialmente unidimensionale
• Le perturbazione, ad esempio elettrica, in un certo istante t0, assume lo stesso valore E(x0,t0) in tutti i punti del piano di equazione x=x0, ortogonale all'asse di propagazione

Tutte le funzioni d'onda soddisfano l'equazione differenziale

∂₂Ε₁ = 1/c₂ ∂₂Ε₀ equazione di D'ALEMBERT ∂x₂ ∂t₂

• Ε̅ sono del tipo Ε(x-vt) oppure Ε(x+vt), fenomeno di propagazione lungo Χ con velocità v
• Fissato l'istante t₀ ad una posizione x₀, si ha che ad una posizione x

X-vT = X₀-vT₀ cioè X-X₀ = vT-(t-t₀) nel caso ❶

ONDE ARMONICHE PIANE

• Sono onde armoniche descritte da equazioni del tipo Ε(x,t) = Ε₀sin k(x-vt)

E₀ = ampiezza dell'ondak = costante "numero d'onde"

Ε̅(Χ,t) = Ε₀sin(kx-vt) oppure Ε₀cos(kx-vt) *ω=kX pulsazione

• Definiamo λ (lunghezza d'onda) λ = x₂-x₁, dove x₂ e x₁ sono qualsiasi coppia di punti per cui l'onda armonica si ripete identica

Λ=2π/K

• Periodo T= 2π/ω

essendo ω=kν si ha λ = 2π ≅ ν≠ 2π = Tcχ, quindi Che

λ = Tν e Ricordando che N, frequenza di oscillazione,≠det≠ di N≅1/T, moltiplicando ambo i membri per ν si ottiene

λN=ν

Onde Piane

• Descritta ad esempio di una funzione E̅(x,t), spaziotempo unidimensionale
• Le perturbazioni, ad esempio elettriche, in un certo istante t₀ assumono un fissato valore E̅(x,t₀) in tutti i punti del piano di equazione x=x₀, ortogonale all'asse di propagazione

Tutte le funzioni d'onda soddisfano equazione differenziale

^∂2E̅/_∂x² = 1/_v² ∂²E̅/_∂t² equazione di D'ALEMBERT

1. E̅ è sono del tipo E(x-vt) oppure E(x+vt), fenomeno di propagazione lungo x con velocità v

fissato l'istante t₀ ad una posizione x₀, si ha che ad una posizione x

X - vt = X₀ - vt₀ cioè X-X₀ = v(t-t₀) nel caso 1

Onde Armoniche Piane

• Sono onde armoniche descritte da equazioni del tipo E(x,t)=E₀sin k(x-vt)
  • E₀ = ampiezza dell'onda
  • k = costante "numero d'onde"

E̅(x,t)=E₀sin( kx-ωt) oppure E_x(t)=E₀cos(kx-ωt) • ω = kv pulsazione

Definizione λ (lunghezza d'onda) λ = x₂- x₁, dove x₂ e x₁ sono qualsiasi coppia di punti per cui l'onda armonica si ripete identica

λ = 2π_K

Periodo T= 2π_ω

• essendo ω=kv si ha λ = 2π_ω T= 2π_v, ma 2π=Tc/v, quindi λc=vT

Ricordando che v_s frequenza di oscillazione è dato da V_s=1/T , moltiplicando ambo i membri per v si ottiene

→ λ V_s=v

PROPRIETÀ DELLE ONDE PIANE

E, B si propagano con la stessa velocità c = √1/ε₀μ₀ = 3·10⁸ m/s

I moduli dei campi sono legati dalla relazione di proporzionalità B = E/c

E, B sono ortogonali tra loro e alla direzione di propagazione; le onde EM sono onde trasversali e per esse è significativo il concetto di polarizzazione

Il verso del prodotto vettoriale E × B definisce il verso di propagazione dato da c

Le onde EM obbediscono al principio di sovrapposizione

ONDE EM IN MEZZI TRASPARENTI

• Le onde EM possono propagarsi anche in mezzi materiali che abbiano determinate caratteristiche detti dielettrici ideali
• In questi tipi di materiali le onde EM possono propagersi ad una velocità v, data da: v = c/n con n = indice di rifrazione del mezzo

ENERGIA DI UN'ONDA EM PIANA E VETTORE DI POINTING

• Nel vuoto la densità di energia ϱ legata al campo elettrico E e quella legata al campo magnetico B, valgono u_e = 1/2 ε₀E² u_m = B²/2μ₀ → DENSITÁ ISTANTANEA
• Per un'onda EM piana, tenuto conto della relazione B = E/c, si ha: u_m = 1/2μ₀(E²/c²) = 1/2 ε₀E² = u_e → U = 2U_e = ε₀E

VETTORE DI PÓYNTING

S = 1/μ₀ (E × B)

definisce direzione e verso della velocità di propagazione dell'onda; il suo modulo rappresenta l'energia EM che può unirsi di tempo pass attraverso l'unità di superficie ortogonale alla direzione di propagazione

INTENSITÀ DELL'ONDA

I = S_m = 1/2 ε