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Cinematica di punto materiale
moti rettilinei
- x(t) = xo quiete
- x(t) variabile
x o
x punto iniziale = punto finale vm ≠ Ø
Δvm = Δx
velocità media
velocità istantanea v = dx/dt
a la velocità varia nel tempo nasce l'accelerazione
Δm = v - vo/t = ΔV/Δt
a = dv/dt acc. istantanea
m/s2
moto rettilineo uniforme
- v = cost.
- V = x - xo/t
- x(t) = xo + Vot legge oraria per posizione
- velocità istantanea e media sono le stesse
- accelerazione è Ø
diagrammi orari:
moto rett. uniformemente accelerato
- a ≠ cost. ≠ Ø
- a = Δv/Δt => v = vo + a t (1)
- x = xo + vot + 1/2 a t2 (1)
!!
- Vm = xo + x2/t = Vo + Vo/2 se moto è mrua
xo e Vo sono condizioni iniziali
1
... sostituendo t = v0 (da 1) si ottiene formula che lega a, v e senza t.
x = x0 + v0t + 1/2 a(t - v0)2 = x0 + v0 v0c - v0c2 + 1/2 v2 + 2v0v / a
Portand. kal pumo miembro e moltpluand per za
(x - x0) 2a = 2v0v - v02 + v2 = 2xv0
v2 = v20 + 2a (x - x0) conoscendo v inizale a e x ininale e
finale si tovra v sensa passare dal tempo
a(x - x0) = v2 - v20 / a2
ex g2 lg = 9.8 (m/s)2 a = g
v = v0 + gt
v0 : v0c = v2 - 2g (x - x0)
x = x0 + v0t = 1/2glt2
v0t = v0 : v0c = v2 - 2g (x - x0)
nell'istante finale
vc = yo - vo = v2 d yo = gt tempo che
bt = 2 v0 / g grave
che si muove su una linea retta impiega a cadere
sol. alternativa o = vo t: t/2 egt2 = b(v0 , 0 2)
Nm / hr = 1000 m = 3,6 Kg / hr = 1 m / s
B
AVB
o -- A VA---- B VB
x-A = AB = d VA > VB
x = A VAt
xB = d + VBt
XB,0
XA(t) = VAt + 1/2 at2
a t (XA(t) = σ XB(t))
VA(t) = VB(t)
V2B = V2A + 2a(x - x0)
posizione tende ad assumere
si deriva
si integra
\(\frac{v_z = \frac{ds}{dt} \hat{u}_T}\) velocità sempre tangente alla traiettoria
\(\Delta t \neq 0\) se \(P_A \neq\) zero completo, \(ds\) non è zero, è spazio percorso \(\Rightarrow ds \geq ds\)
Conoscendo le coord. cartesiane \(f(x(t), y(t))\) si può trovare traiettoria con \(y = f(x)\), velocità e accelerazioni con le coord. intrinseche moto è determinato
\(\frac{v_z = \frac{ds}{dt} \hat{u}_T}\) \(\Rightarrow \frac{\Delta \vec{v_z}}{\Delta t} = \vec{a}_m\), \(\frac{\overline{em}}{\Delta t \to 0}\) \(\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt}\)
\(\frac{\vec{v_z} = \frac{ds}{dt} \hat{u}_T + \frac{\hat{u}_n}{dt}}\)
\(\vec{a}_z \stackrel{\Delta}{=} \frac{d}{dt} \hat{u}_T + \nu \frac{d \hat{u}_T}{dt}\)
DERIVATE TEMPORALI DI UN VERSORE
\(\hat{u} (t)\)
\(\Delta \hat{u} = \hat{u} (t + \Delta t) - \hat{u} (t)\)
Quando \(\Delta t \to 0\), \(\triangle \hat{u}\) diventa tg alla traiettoria
Visto che \(\hat{u} (t)\) è \(\hat{u} (t + \Delta t)\) è linea e arco di circonferenza
Mandando \(\Delta t \to 0\) so che è la corda coincide con arco. \(\lim_{\Delta t \to 0} \Delta \hat{u} = \hat{u} = d\phi \hat{u}_n\)
Mandando \(\Delta t = 0\) il versore diventa tangente alla circonfereza e perpendicolare a \(\hat{u}\)
\(\frac{d \hat{u}}{dt}\) è ⎜⎜⎜ la derivata di un versore è sempre ⎜⎜⎜ al versore stesso
\(\left| \frac{d \hat{u}}{dt} \right| = \frac{d \hat{u}}{dt}\)
La derivata di un versore può non avere modulo 1
Moto circolare non uniforme
a = t ar + an
2(t) ≠ 0cioè moto circolare uniformemente acc.2(t) = 2oω = ωo + 20tθ = θo + ωot + ½20t2
ω2 = dθdt
A ω si può associare un aspetto vettoriale.Avendo un moto circolare a ω si associa un vettore v al piano.
ω (modulo ω (t))direzione ⊥ al piano circostantee verso tale che nel modo in cui metto la freccia p si muove in senso antiorario
v = ω × rvr = vn + o × r2 + ω2 rat = ω2 v + o × v
VP = 100 km/hat = 1 m/s2R = 20 m
a = √(at 2 + oωw)
Partendo dalla forza F, P deve avere F iniziale, altrimenti
ammine forma:
∫AB F·con&hat;{Z}·dс ≠ 0
LABCD∏ = LAB + LBC + LCD + LDA ≠ ∅
sono opposti
∫C forza pos non cons
F con&hat;{Z}·dс2
f conservativa ↔ F posizionale (cond. nec. e suff.)
F conservativa ↔ F posizionale (cond. nec.)
F = ∫C·∫B∫A fXY·dс
BC e ↔ sono ◊ alla forza ∅1
F non conservativa
centro di massa
di solito non è uno dei punti del sistema
cm = ∑ i i/M cm = ∑ i i/M cm = ∑ i i/M
i non dipende dal sdr. La posizione di
⃗ cm = ⃗ cm/dt = /dt [∑ i ⃗ i/M ] = ⃗ /M = ⃗ = ⃗ cm
⃗ cm = ⃗ cm/dt = /dt ∑ i ⃗ i/M
= ⃗ us/M = ⃗ /M = ⃗ cm
⃗ = ∑ i ⃗ i/M + ⃗ 0
teorema del moto del cdm o 1 teorema card
ex. mpi calcolo cdm
----------- 1 ⇢ 1 ---------- 2
1 + 2
0 = 1/M
= 31/2
= 1/1
Osservazioni:
P = P’ + P’’ = mtotVG + mtotVc
Vc // VG = 0 in un sist. nel baricentro e fermo
P’ = mtotVG solo moto medio, il moto interno non compare
punh materiali se P = 0 rimane comunque il moto interno
Per p.m. se LG = 0 = r’ = 0
Il teorema di König (energia cinetica)
Tc = Tcinterno + Tcinterno Tc = Σi ½ mi vi2 = Σi ½ mi (vi + vc)2
interne + ½ mi Vc2 = moto medio
+ moto medio + ½ mi vc2
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