Appunti di Elettromagnetismo

Appunti di Elettromagnetismo

di MATTIA CAPECCIA

November 4, 2020

Contents

1 Elettrostatica nel vuoto. Campo elettrico e potenziale 5

1.1 Azioni elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Carica elettrica e legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Campo elettrostatico generato da sistemi di cariche con dis-

tribuzione spaziale fissa e nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Esempio I.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Esempio I.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8 Esempio 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.9 Esempio 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.10 Esempio 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.11 Prima equazione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.12 Potenziale elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.13 Esempio 1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.14 Esempio 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.15 Esempio 1.21 e 1.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.16 Il dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.17 Sviluppo in serie di multipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.18 Teorema di Stokes e terza equazione di Maxwell . . . . . . . . 21

2 Sistemi di conduttori e campo elettrostatico 22

2.1 Campo elettrostatico e distribuzioni di carica nei conduttori . 22

2.2 Esempio 2.1 - Conduttore neutro cavo . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Esempio 2.2 - Conduttore carico cavo . . . . . . . . . . . . . . 27

1

2.4 Esempio 2.3 - Il potere delle punte . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 La capacità elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Il caso di più conduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.7 Il condensatore elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8 Energia elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.9 Forza elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.10 Equazione di Poisson e il problema generale dell’elettrostatica

nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.11 Metodo della carica immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Elettrostatica in presenza di dielettrici 37

3.1 La costante dielettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Interpretazione microscopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Polarizzazione per deformazione . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.2 Polarizzazione per orientamento . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Il vettore polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Campo elettrico all’interno di un dielettrico . . . . . . . . . . 43

3.5 Formula di Lorentz per il calcolo di E . . . . . . . . . . . . . 43

l

3.6 Suscettività elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Equazioni dell’elettrostatica in presenza di dielettrici . . . . . 46

3.8 Il problema generale dell’elettrostatica in presenza di dielettrici 47

3.9 Esempio 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.10 Esempio 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.11 Il caso di più dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.12 L’energia elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.13 Esempio 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Corrente elettrica stazionaria 54

4.1 I conduttori e la corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Conservazione della carica elettrica-Equazione di continuità e

leggi di Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Resistenza elettrica e leggi di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Campo elettromotore e generatori elettrici . . . . . . . . . . . 59

5 Fenomeni magentici stazionari nel vuoto 60

5.1 Introduzione al magentismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

~

5.2 Forza di Lorentz e vettore induzione magnetica B . . . . . . . 61

2 ~

5.3 Esempio 5.1-Moto di una carica q con velocità ortogonale a B

uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.4 Esempio 5.2-Moto di una carica q con velocità inclinata di una

~

angolo θ rispetto a B uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.5 Azioni meccaniche su circuiti percorsi da corrente e teorema

di Ampére . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6 Esempio 5.7- Momento magnetico di un disco . . . . . . . . . 68

~

5.7 Campo B generato da correnti stazionarie nel vuoto . . . . . 69

0

5.8 Esempio 5.8-Campo magnetico generato da un filo percorso

da corrente a distanza r dal filo . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.9 Esempio 5.9-Campo magnetico generato sull’asse di una spira

percorsa da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.10 Esempio 5.11-Campo magnetico generato da un nastro con-

duttore infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.11 Seconda equazione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.12 Teorema della circuitazione di Ampère . . . . . . . . . . . . . 75

5.13 Quarta equazione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.14 Potenziale magnetostatico scalare . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.15 Potenziale vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.16 Esempio 5.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.17 Interazione tra circuiti percorsi da correnti stazionarie . . . . . 85

5.18 Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 Campo magnetico nella materia 89

6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2 Il modello atomico classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3 Intenistà di magnetizzazione. Correnti amperiane . . . . . . . 91

6.4 Passaggio della corrente nei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.5 Equazioni fondamentali della magnetostatica nella materia . . 98

6.6 Proprietà macroscopiche dei materiali . . . . . . . . . . . . . . 100

6.6.1 Diamagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.6.2 Paramagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.6.3 Solenoide con all’interno materiale magnetico . . . . . 101

6.6.4 Bobine di Helmotz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.6.5 Ferromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.7 Campo magnetico locale agente sugli atomi . . . . . . . . . . . 106

6.8 Precessione di Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.9 Interpretazione microscopica del diamagnetismo . . . . . . . . 109

3

6.10 Funzione di Lngevin per magnetismo nella materia . . . . . . 109

6.10.1 Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.10.2 Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.11 Circuiti magnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.11.1 Elettromagnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.11.2 Circuito toroidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.12 Magnete permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7 Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo 118

7.1 Induzione elettromagentica. Legge di Faraday-Neumann con

osservazioni sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.2 Legge di Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.3 Interpretazione fisica del fenomeno dell’induzione elettromag-

netica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.4 Caso di flusso tagliato in campo B costante ma non uniforme . 124

7.5 Circuiti in moto relativo e f.e.m. indotta . . . . . . . . . . . . 126

7.6 Forma locale della legge di Faraday-Neumann. Terza equzione

di Maxwell non stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.7 Fenomeno dell’autoinduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.8 Esempio 7.4 - Induttanza di un solenoide . . . . . . . . . . . . 132

7.9 Mutua induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.10 Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.10.1 Analisi energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.11 Legge di Felici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.11.1 Energia magnetica per un sistema di circuiti magneti-

camente accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.12 Energia magnetica e forze sui circuiti . . . . . . . . . . . . . . 137

7.12.1 Induttanza del cavo coassiale con conduttore centrale

di raggio a e conduttore esterno di raggio b . . . . . . . 138

7.12.2 Forza da applicare ad un solenoide per non variare la

sua lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.12.3 Esempio 7.18 - Forza di risucchio . . . . . . . . . . . . 138

7.13 Il completamento delle equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . 138

8 Onde elettromagnetiche 144

8.1 Onde piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.2 Conservazione dell’energia in presenza di campo elettromag-

netico. Il vettore di Poyinting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4

8.3 Potenziali elettrodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9 Elettrodinamica e Relatività 150

9.0.1 Spazio di Minkoski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.0.2 Covarianza relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.0.3 4-vettore potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.0.4 Il tensore elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . 155

1 Elettrostatica nel vuoto. Campo elettrico

e potenziale

1.1 Azioni elettriche

Semplici osservazioni sperimentali hanno mostrato che non esistono sole forze

di contatto, ma anche forze che possono esercitarsi a distanza, dette azioni

elettriche. Queste forze possono essere di duplice natura: attrattive o re-

pulsive. Due oggetti della medesima sostanza dopo essere stati strofinati si

respingono tra loro mentre due oggetti di sostanze diverse (vetro vs ambra)

si respingono. La convenzione attribuisce perciò la cosiddetta carica elettrica

positva ai corpi vetrosi e la carica elettrica negativa alle materie plastiche.

Concludiamo quindi che, dopo ”elettrizzazione per strofinio”:

• se un corpo A e un corpo B sono separatamente attratti da un corpo

C, allora A e B si respingono;

• se A è attratto da C e respinto da B (o viceversa) allora A e B si

attraggono

Il tutto si può riassumere dicendo che cariche elettriche dello stesso segno si

respingono mentre cariche elettriche di segno opposto si attraggono. Esistono

altre forme di elettrizzazione oltre a quella per strofinio che sono:

• Contatto: mediante semplice contatto meccanico

• Induzione: la sola vicinanza provoca spostamento di cariche

Sottolineiamo che tali fenomeni non sono sempre possibili. Bisogna dividere

infatti i materiali in due macrocategorie: conduttori e isolanti. Nei primi,

alcuni elettroni, detti di conduzione (1-2 per atomo) sono delocalizzati su

5

di un reticolo cristallino e sono ”liberi” di muoversi, negli isolanti invece, gli

elettroni sono dotati di una forte energia di legame col nucleo e sono vincolati

ad esso.

1.2 Carica elettrica e legge di Coulomb

Per la carica elettrica viene data quel che è detta, definizione operativa, ossia

mediante il suo strumento di misura, in questo caso l’elettroscopio.

Figure 1: L’elettroscopio a foglie

E’ evidente dalla figura come l’oggetto elettricamente carico fa si che le

cariche si spostino dall’oggetto al pomello, e dal pomello alle foglionline, di

solito d’oro. Dal momento che le cariche sono dello stesso segno le foglioline

si respingeranno e l’angolo di separazione tra di esse qunatifica la quantità

di carica. Una proprietà facilmente verificabile tramite l’elettroscopio è che,

in un sistema isolato, la somma algebrica delle cariche elettriche si mantiene

costante nel tempo.

Mediante la bilancia di torsione è invece possibile verificare che due o più

cariche instaurano tra di loro una forza uguale e contraria analoga alla legge

di attrazione gravitazionale, detta legge di Coulomb:

1 q q

1 2

~

f = r

~ (1)

21

21 3

4π r

0

Dove è detta costante dielettrica del vuoto e assume il valore:

0 2

C

−12

·

= 8, 854 10

0 2

·

N m

6

1.3 Campo elettrico

Data una carica puntiforme Q posta nello spazio fissa in un sistema di rifer-

imento inerziale, questa influenza a suo modo tutta una zona circostante ad

essa.

Figure 2: Distribuzione di carica o carica Q generica nello spazio rispetto ad

un punto P

Se poniamo allora una carica q detta carica di prova nella posizione ~r =

(x, y, z) definiamo il campo elettrico generato dalla carica Q:

~

F 1 q q

1 2

~

E(~

r ) = lim = ~r (2)

3

q 4π r

q→0 0

Evidenziamo il fatto che l’operazione di limite non è ovviamente intesa nel

senso dell’analisi matematica. E’ infatti noto che la carica risulti quantiz-

zata; con tale limite si intende perciò una carica che non influenzi lo spazio

circostante.

1.4 Campo elettrostatico generato da sistemi di cariche

con distribuzione spaziale fissa e nota

Se consideriamo due cariche sorgenti puntiformi Q e Q sempre in un sistema

1 2

di riferimento inerziale e chiamiamo r

~ e r

~ i rispettivi vettori posizione, data

1 2

una carica di prova q nello spazio nella posizione ~r = (x, y, z) si verifica

che, la forza subita dalla carica q è pari alla somma vettoriale delle forze di

Coulomb esercitate su q singolarmente da Q e Q . Di conseguenza varrà lo

1 2

stesso criterio per il campo elettrico. Questo risultato è detto principio di

7

sovrapposizione. Se non si hanno due cariche ma N cariche sorgenti possiamo

generalizzare la legge nel modo seguente:

N Q

1 X i

~ −

(~r r

~ ) (3)

E (~r ) = i

0 3

|~r − |

4π r

~

0 i

i=1

Equazione che può essere scomposta sugli assi cartesiani ricordando che

p 2 2 2

|r| = x + y + z

Nel caso in cui non si stia parlando più di distribuzioni discrete di cariche

bensı̀ di distribuzioni continue, viene introdotta quel che è detta densità di

carica, che può essere di tipo lineare, superficiale o spaziale a seconda del

tipo di distribuzione, per poter esprimere la distribuzione continua di carica

dq: • Lineare dq = λ(x, y, z)dl

• Superficiale dq = σ(x, y, z)dS

• Volumetrica dq = ρ(x, y, z)dτ

Di conseguenza l’estensione dell’equazione 3 al caso continuo diventa rispet-

tivamente per i tre tipi di distribuzione l’integrale su tutta la distribuzione,

qualsiasi essa sia: ~

0 0 0 0

−

Z λ(x , y , z )(~r r )

1

~ 0

dl (4)

E (~r ) =

0 ~

4π 0 3

|~r − |

r

0 l ~

0 0 0 0

−

Z

1 σ(x , y , z )(~r r )

~ 0

E (~r ) = dS (5)

0 ~

4π 0 3

|~r − |

r

0 S ~

0 0 0 0

−

Z

1 ρ(x , y , z )(~r r )

~ 0

E (~r ) = dτ (6)

0 ~

4π 0 3

|~r − |

r

0 τ

1.5 Teorema di Gauss

Per semplificare determinate situazione laboriose a livello di calcoli ma anche

situazioni assai complesse, per esempio quando le cariche sono dislocate su

dei conduttori, si introduce uno strumento molto utile e si lasci dire potente,

il teorema di Gauss: int

Z 1 Q

X

~ ~ T OT

·

Φ ( E ) = E d S = Q = (7)

S 0 0 interne

0 0

S 8

Il flusso del campo elettrostatico nel vuoto attraverso una superficie chiusa

qualunque S è pari alla somma alegbrica delle cariche contenute all’interno

di S, divisa per . Eventuali cariche disposte esternamente alla superficie

0

chiusa S non portano alcun contributo al flusso.

9

Figure 3: Teorema di Gauss

Dimostrazione

Sia Q una carica all’interno di una superficie S. Il flusso elementare attraverso

~

l’elemento di superficie d S sarà:

1 Q 1 Q Q dS

n

~ ~ ~

·

dΦ ( E ) = E d S = n̂ dS = dS cos(θ) =

S 0 0 2 2 2

4π r 4π r 4π r

0 0 0

~ ~

Si noti che la proienzione del d S sul piano ortogonale ad E non è nient’altro

0

che la porzione solida di sfera passante per quel punto perciò:

2

dS = r dΩ

n

Sostituiamo nell’espressione precedente ed integriamo su tutto l’angolo solido

di 4π per trovare il flusso totale:

Z Q

Q 1

~ 2

r dΩ =

Φ(

E ) =

0 2

4π r

0 0

4π 10

Come semplice applicazione del principio di sovrapposizione dei campi elet-

trici, nel caso in cui siano presenti più cariche all’interno di S, al posto della

semplice carica si avrà la somma delle cariche o in termini generici di dis-

tribuzione: Z

1

~ ρ(x, y, z)dτ (8)

Φ(

E ) =

0

0 τ

E’ anche molto intuitivo vedere come cariche esterne non contribuiscano al

flusso. Infatti guardando la seconda foto della Figure[3] si osserva che i due

angoli rispetto alla normale delle due superficie sono opposti in segno, perciò

integrando sull’angolo solido si ottengono contributi uguali e opposti su ogni

elemento infinitesimo di superficie.

1.6 Esempio I.7

Sia una distribuzione di cariche con simmetria sferica caratterizzata da den-

sità ρ = ρ(r). Tale simmetrica porta ad avere un campo elettrico unicamente

diretto riadialmente. ~ ·

E = E (r) r̂

0 0

Di conseguenza il calcolo del flusso risulta particolarmente semplice:

Z

~ ~ ~ 2

· ·

Φ ( E ) = E d S = E (r) 4πr

S 0 0 0

S

Applicando il teorema di Gauss si ottiene che:

R ρ(r)dτ

sf era

E (r) =

0 2

4π r

0

1.7 Esempio I